ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA THỊ KIM THOA CÁC SỐ TỔ HỢP VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC K[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA THỊ KIM THOA CÁC SỐ TỔ HỢP VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHOA THỊ KIM THOA CÁC SỐ TỔ HỢP VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - 2017 c iii Mục lục Mở đầu 1 Các số nhị thức: khía cạnh đại số tổ hợp 1.1 Đồng thức số nhị thức: chứng minh đại số tổ hợp 1.2 Nghịch đảo số nhị thức 21 Một số ứng dụng số nhị thức thống kê 29 2.1 Một số khái niệm xác suất 29 2.2 Phân bố nhị thức 31 2.3 Hồi quy Catalan 38 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 c iv Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn GS.TSKH Hà Huy Khoái (Trường Đại học Thăng Long) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể Lớp B, cao học Tốn khóa (2015 - 2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh, Huyện Kiến Thụy, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến bố mẹ đại gia đình ln động viên chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành tốt luận văn c Mở đầu Các số nhị thức đề tài đề cập nhiều tài liệu Toán học trường THPT Với công thức số nhị thức, người ta thường dùng phương pháp chứng minh quy nạp Phương pháp có ưu điểm dễ hiểu, gọn, nhiều làm "ý nghĩa tổ hợp" đẳng thức Điều làm cho học sinh khơng hiểu sâu vấn đề, khó khăn vận dụng Vì thế, tơi chọn nghiên cứu đề tài " Các số tổ hợp số ứng dụng thống kê" làm luận văn thạc sĩ Một phần luận văn dành để trình bày nhiều cơng thức số tổ hợp với hai cách chứng minh: chứng minh đại số chứng minh tổ hợp, nhằm giúp độc giả hiểu sâu chất vấn đề Phần lại luận văn dành để giới thiệu số ứng dụng số tổ hợp thống kê, với mục đích giúp người đọc, đặc biệt em học sinh thấy rõ ứng dụng Toán học đời sống thực tiễn Luận văn gồm hai chương: • Chương Các số nhị thức: khía cạnh đại số tổ hợp dành để trình bày đồng thức số nhị thức, phân tích khía cạnh đại số tổ hợp số nhị thức tính đối xứng; tính chất tổng dịng, tổng cột, tổng đường chéo, tính chẵn c lẻ số nhị thức; nghịch đảo số nhị thức trình bày chương Tài liệu sử dụng tài liệu số [2] • Chương Một số ứng dụng số nhị thức thống kê trình bày số khái niệm xác suất, phân bố nhị thức phép hồi quy Catalan Tài liệu sử dụng tài liệu số [1] [2] Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2017 Tác giả Khoa Thị Kim Thoa c Chương Các số nhị thức: khía cạnh đại số tổ hợp 1.1 Đồng thức số nhị thức: chứng minh đại số tổ hợp Bảng tam giác Pascal số nhị thức n n n n n n n n n 1 1 2 3 4 5 10 10 6 15 20 15 7 21 35 35 21 8 28 56 70 56 28 n ∑ c 16 32 64 128 256 Mệnh đề 1.1.1 Các số tổ hợp nk thỏa mãn quan hệ hồi quy Pascal (1.1) n =1 với n ≥ : cột bên trái =0 với k ≥ : dòng k n n−1 n−1 = + với n ≥ (1.1) k k−1 k • Các số nhị thức bn,k hệ số xk khai triển nhị thức n (1 + x) = n ∑ bn,k xk k=0 Mệnh đề 1.1.2 Các số nhị thức thỏa mãn quan hệ hồi quy Pascal (1.1) Hệ 1.1.3 Với k, n ∈ N, n = bn,k k • Vì số tổ hợp có giá trị với số nhị thức nên theo hệ 1.1.3 chúng gọi số nhị thức Mệnh đề 1.1.4 Với số nguyên không âm n k, n nk = k! k (1.2) với nk = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) Hệ 1.1.5 Với số nguyên không âm n k, n n! = k k!(n − k)! c (1.3) Chứng minh đại số, chứng minh tổ hợp • Chứng minh đại số đẳng thức thực biến đổi đại số Thông thường, người ta dùng phương pháp quy nạp Phương pháp quy nạp có ưu điểm đưa chứng minh ngắn gọn, nhược điểm lớn nhiều không làm rõ chất vấn đề ý nghĩa cơng thức • Chứng minh tổ hợp dùng nhằm khắc phục nhược điểm nêu Cụ thể chứng minh đẳng thức phương pháp tổ hợp, người ta thường tính đại lượng hai vế đẳng thức theo hai cách khác Từ thấy rõ chất vấn đề xét Chúng ta minh hoạ hai phương pháp nêu qua số ví dụ Tính đối xứng Một số đồng thức khái quát tính chất dễ dàng nhận thấy tam giác Pascal Một tính chất dịng tam giác Pascal có tính xi ngược, đọc giống từ phải sang trái từ trái sang phải Ví dụ quan sát tính đối xứng dịng 8: 28 56 70 56 28 Mệnh đề 1.1.6 (Tính đối xứng theo dòng) Với số nguyên n, k mà ≤ k ≤ n, n n = k n−k (1.4) Chứng minh (Chứng minh đại số) Sử dụng phương trình ( 1.3 ) ta có kết phép chứng minh đại số n n! n! n = = = k k!(n − k)! (n − k)!k! n−k c Chứng minh (Chứng minh tổ hợp) Đại lượng vế trái đẳng thức (1.4 ) số cách khác để chọn k phần tử từ tập n phần tử Vế phải cách khác để chọn (n-k) phần tử lại từ tập Vì cách chọn k phần tử từ tập n phần tử cách chọn (n-k) phần tử lại n phần tử nên hai cách chọn có số lượng Tính chất tổng dịng Một tính chất khác tam giác Pascal tổng hạng tử dòng lũy thừa Ví dụ dịng 8, + + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + + = 256 = 28 Mệnh đề 1.1.7 (Tính chất tổng dịng) Tổng hạng tử dòng n tam giác Pascal 2n , tức là: n n ∑ k = 2n k=0 (1.5) Chứng minh (Chứng minh tổ hợp ).Theo hệ 1.1.3, số hạng vế trái số cách chọn tập lực lượng k từ tập S gồm n phần tử, làm với giá trị k Như vậy, số tập tập hữu hạn S có n phần tử 2n Chứng minh (Chứng minh đại số) Thay x = vào hai vế phương trình khai triển nhị thức ta kết sau đây, n n n x (1 + x)n = ∑ k k=0 n n =∑ x x=1 k=0 k ⇒ (1 + x)n n x=1 c n n n =∑ k k=0 ... Các số nhị thức: khía cạnh đại số tổ hợp 1.1 Đồng thức số nhị thức: chứng minh đại số tổ hợp 1.2 Nghịch đảo số nhị thức 21 Một số ứng dụng số nhị thức thống kê 29 2.1 Một số. .. cơng thức số tổ hợp với hai cách chứng minh: chứng minh đại số chứng minh tổ hợp, nhằm giúp độc giả hiểu sâu chất vấn đề Phần lại luận văn dành để giới thiệu số ứng dụng số tổ hợp thống kê, với... nghĩa tổ hợp" đẳng thức Điều làm cho học sinh không hiểu sâu vấn đề, khó khăn vận dụng Vì thế, tơi chọn nghiên cứu đề tài " Các số tổ hợp số ứng dụng thống kê" làm luận văn thạc sĩ Một phần luận văn