ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 c ĐẠI[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀM THỊ HỒNG NGUN LÝ BÀI TỐN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀM THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ BÀI TỐN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÂM THÙY DƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016 c Môc lôc Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert 1.1.2 Một số khái niệm liên quan 1.2 Bài toán điểm bất ®éng 1.3 Bài toán đặt không chỉnh 11 1.3.1 Khái niệm toán chỉnh kh«ng chØnh 11 1.3.2 Các phương pháp hiệu chỉnh 13 1.4 Nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân 17 1.4.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 17 1.4.2 Phương pháp toán phụ 22 1.4.3 Thuật toán nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân 25 Nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt c 28 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt 28 2.2 Nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt KÕt luËn 35 43 Tµi liƯu tham khảo 44 c i lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực, không trùng lặp với đề tài khác tài liệu trích dẫn luận văn đà rõ nguồn gốc Tác giả Đàm Thị Hồng c ii lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô đà bảo tận tình cho ý kiến đóng góp quí báu suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm, Phòng sau đại học Ban Chủ nhiệm khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Đại hoc Thái Nguyên đà tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới anh, chị em học viên K22 đà trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Tác giả xin kính tặng người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh Tác giả Đàm Thị Hồng c iii Mơc lơc c iv Mét sè ký hiƯu viết tắt H không gian Hilbert thực E không gian Banach thực h., i tích vô hướng H k.k chuẩn D(A) miền xác định ánh xạ N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số thực I toán tử đồng tập rỗng x với xn x0 dÃy {xn } héi tơ m¹nh vỊ x0 xn * x0 d·y {xn } héi tơ u vỊ x0 c H A x Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động ánh xạ T toán có nhiều ứng dụng giải tích, lý thuyết phương trình Trong nhiều trường hợp, việc giải phương trình quy việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn như, cho ánh xạ f (x) = y X, y X không gian tuyến tính, phần tử cố định điểm bất động ánh xạ F X f nghiệm phương trình xác định bëi F (x) = x + f (x) − y Những định lý điểm bất động tiếng đà xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến: '' Nguyên lý điểm bất động Brouder (1912)'', '' Nguyên lý ánh xạ co Bannach (1922)'' kết kinh điển đà mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Hơn nữa, định lý điểm bất động ứng dụng toán học mà có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác, là: xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, Do đó, toán tìm điểm bất động vấn đề quan tâm nhiều nhà toán học Mục đích luận văn nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh Nguyên lý toán phụ để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ giả co chặt, trường hợp riêng họ ánh xạ không giÃn, không gian Hilbert Khái niệm ánh xạ giả co chặt nhà toán học F E Brouder W V Petryshyn [5] đưa năm 1967 Họ đà định nghĩa rằng, ánh xạ định tập lồi đóng C không gian Hilbert c H T xác - giả co chặt ánh xạ T tháa m·n: k T (x) − T (y) k2 ≤k x − y k2 +λ k (I − T )(x) − (I − T )(y) k2 víi ≤ λ < Trong trêng hỵp λ = ánh xạ - giả co chặt ánh xạ không giÃn i - giả co chặt, {Ti }∞ i=1 tõ mét tËp låi ®ãng T C không gian Hilbert H vào H , cho F = ∞ i=1 F ix (Ti ) 6= φ, Cho họ vô hạn ánh xạ F ix (Ti ) tập điểm bất động ánh xạ Ti Xét toán: Tìm u F Phương pháp toán phụ đề xuất Cohen [7] vào năm 1980 nghiên cứu toán tối ưu Năm 1988, Cohen [8] vận dụng phương pháp nguyên lý toán phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển: Tìm u C cho hF (u∗ ) , v − u∗ i ≥ v ∈ C, víi F : C→H (0.1) ánh xạ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz Đối với phương pháp toán phụ đòi hỏi ánh xạ mạnh Vậy ánh xạ F F có tính chất đơn điệu có tính chất đơn điệu có cách để tìm nghiệm cho toán (0.1) không? Để giải vấn đề này, năm 2000, J Baasansuren A A Khan [4] đà đề xuất phương pháp mới, kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Brouder-Tikhonov với phương pháp toán phụ gọi là: Với phương pháp ''Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh'' này, thay cho việc xác định xác nghiệm u toán (0.1), họ xác định dÃy nghiệm xấp xỉ {zn }n0 bất đẳng thức biến phân đà chỉnh hóa chứng minh hội tụ mạnh dÃy nghiệm toán (0.1) c {zn }n≥0 tíi nghiƯm u∗ cđa bµi ... 25 Nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt c 28 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chỈt ... lý toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt Trong chương chia làm hai phần: ã Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ giả co chặt. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀM THỊ HỒNG NGUN LÝ BÀI TỐN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN