Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên Năm 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2018 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ DUY BÌNH CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY Ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC Thái Nguyên - Năm 2018 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY" hồn thành nhận thức tơi, không trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình cơng bố Thái Ngun, tháng năm 2018 Người viết Luận văn Lê Duy Bình Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS Phạm Việt Đức i c Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới PGS TS Phạm Việt Đức, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Lê Duy Bình ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục ii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 1.2 Giả khoảng cách Caratheodory 10 1.3 Không gian phức hyperbolic 11 1.4 Hàm đa điều hòa 13 Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 15 2.1 Metric vi phân Kobayashi 15 2.2 Metric vi phân Caratheodory 26 2.3 Metric vi phân Sibony 31 2.4 Mối quan hệ metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 38 iii c Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 iv c Mở đầu Lý thuyết không gian phức hyperbolic S Kobayashi đưa từ đầu năm 70, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Trong giải tích phức metric bất biến đóng vai trò quan trọng, số kết chứng minh S Kobayashi, S.G Krantz, S Fu, J.E Fornaess, I Graham, Những cơng trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu giải tích phức Tuy nhiên, nhiều tính chất metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony biết đến Mục đích đề tài trình bày kiến thức metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory metric vi phân Sibony Từ trình bày kết Fornaess Lee [2] Nội dung đề tài chia làm chương: Chương trình bày kiến thức giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Caratheodory khơng gian phức Hyperbolic Các tính chất giả khoảng cách Kobayashi, Caratheodory Chương trình bày khái niệm, tính chất, số mối liên hệ metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory metric vi phân Sibony c Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức Metric Bergman-Poincaré Metric Bergman-Poincaré đĩa đơn vị D Dr định nghĩa sau: 4dzd¯ z ds2 = , 2 ∀z ∈ D (1 − |z| ) ds2r = 4r2 dzd¯ z (r2 , 2 − |z| ) ∀z ∈ Dr Khi đó, chuẩn vectơ tiếp xúc sinh metric Bergman-Poincaré D Dr xác định bởi: Với z ∈ D (hoặc z ∈ Dr ) v ∈ Tz D (hoặc v ∈ Tz Dr ) vectơ tiếp xúc z , ta có 2|z|euc − |z|2 2|z/r|euc = − |z/r|2 |v|hyp,z = |v|hyp,r,z |v|hyp,z chuẩn Euclide C Các chuẩn |v|hyp,z |v|hyp,r,z gọi chuẩn hyperbolic D, Dr tương ứng c 1.1.2 Bổ đề (Schwarz-Pick) Giả sử f : D → D ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị vào Khi đó: |f (z)| ≤ − |f (z)|2 − |z|2 Chứng minh Lấy a cố định thuộc D Đặt g(z) = z+a z − f (a) h(z) = 1+a ¯z − f (a)z Khi g h tự đẳng cấu đĩa, biến thành a f (a) thành tương ứng Đặt F = h ◦ f ◦ g Ta có f : D → D chỉnh hình, F (0) = − |a|2 f (a) F (0) = h (f (a))f (a)g (0) = − |f (a)|2 0 0 Theo bổ đề Schwarz, ta có |F (0)| ≤ dấu xảy F tự đẳng cấu, tức f tự đẳng cấu Từ ta có |f (z)| ≤ − |f (z)|2 − |z|2 Bổ đề chứng minh 1.1.3 Khoảng cách Bergman-Poincaré Khoảng cách sinh metric Bergman-Poincaré đĩa đơn vị D, ký hiệu ρD gọi khoảng cách Bergman-Poincaré Sử dụng định nghĩa c khoảng cách sinh làm độ dài chuẩn hyperbolic đĩa đơn vị mở D, ta xác định cơng thức khoảng cách Bergman-Poincaré sau: Lấy a ∈ D, < a < 1.Gọi z(t) = x(t) + iy(t), ≤ t ≤ 1, đường cong D nối điểm gốc ∈ D với a ∈ D Khi độ dài cung nối ứng với chuẩn hyperbolic thỏa mãn `= R1 = R1 ≥ Ra o |z (t)|hyp dt = 2 1/2 2(x (t) +y (t) ) 2 1−x(t) −y(t) 2dx 1−x2 R1 2|z (t)| dt 1−|z(t)| dt ≥ R1 2|x0 (t)| dt 1−|x(t)| = ln 1+a 1−a Điều chứng tỏ đoạn thẳng nối từ đến a đường nối ngắn ρD (0, a) = ln 1+a , 1−a khoảng cách Bergman-Poincaré bất biến qua phép quay, ta có ρD (0, a) = ln + |a| , ∀a ∈ D, − |a| Lấy hai điểm a, b ∈ D, phép biến đổi w = mà biến b thành biến a thành z−b 1−¯bz tự đẳng cấu D a−b 1−a¯b Khi ta nhận ... nhiên, nhiều tính chất metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony biết đến Mục đích đề tài trình bày kiến thức metric vi phân Kobayashi, metric vi phân Caratheodory metric vi phân Sibony Từ trình... 13 Các metric vi phân Kobayashi, Caratheodory Sibony 15 2.1 Metric vi phân Kobayashi 15 2.2 Metric vi phân Caratheodory 26 2.3 Metric vi phân Sibony ... đoan nội dung luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "CÁC METRIC VI PHÂN KOBAYASHI, CARATHEODORY VÀ SIBONY" hồn thành nhận thức tơi, khơng trùng lặp với luận văn, luận án cơng trình