Mở đầu Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa, tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử • Bài toán chia hết, phần nguyên; • Bài toán[.]
Mở đầu Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị ta dựa vào định nghĩa, tính chất toán tử sai phân để giải số tốn sơ cấp, đơn cử: • Bài tốn chia hết, phần ngun; • Bài tốn đếm giải tích tổ hợp; • Bài tốn giới hạn hàm số; • Bài tốn bất đẳng thức; • Tính tổng dãy số; • Xác định số hạng tổng quát dãy số Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào dạng toán kể trên, ta cịn tìm thấy nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương pháp sai phân vào giải toán thực tiễn Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng tốn tử sai phân vào giải số toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào trình dạy học thân, Em lựa chọn đề tài ứng dụng toán tử sai phân vào giải số tốn sơ cấp Luận văn có nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu định nghĩa tính chất tốn tử sai phân; • Đọc hiểu ý tưởng vận dụng toán tử sai phân vào giải mơt số tốn sơ cấp trình bày báo [5], [6] • Sưu tầm số toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mà tập giải cách vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân; • Trình bày tường minh lời giải số toán sở vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân Ngồi ra, luận văn trình bày cách giải khác toán so sánh phương pháp giải với lời giải ứng dụng tính chất tốn tử sai phân người đọc đưa nhận xét, so sánh lời giải với Chương Kiến thức chuẩn bị Chương sử dụng để nhắc lại kiến thức thường trình bày giáo trình giảng dạy bậc đại học Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4] - [7] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 [5] Cho h số thực khác hàm f (x) Khi f (x + h) f (x) số thực, ta gọi ∆h f (x) = f (x + h) − f (x) sai phân bậc f x với bước nhảy h Cho hàm f, g số thực c, ta có ∆h (f + g) = ∆h f (x) + ∆h g(x) ∆h (cf (x)) = c∆h f (x) Ký hiệu ∆0h f (x) If (x) thay cho f (x) Với số nguyên n > 1, định nghĩa sai phân bậc n ∆nh f (x) = ∆n (∆n−1 h f )(x) Ví dụ ∆2h f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x), ∆3h f (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x) Bằng quy nạp, chứng minh ∆nh f (x) = n X (−1)n−k Cnk f (x + kh), (1.1) k=0 Cn0 = Với k > 0, ta có n n(n − 1) (n − k) k Cn = = k k! Chú ý với nhiều công thức, cho n số thực Nếu h = ta viết ∆ bỏ qua số h Ví dụ, trường hợp dãy {xn }, có ∆xn = xn+1 − xn Nhận xét (i) Cho hàm f (x), n = 0, 1, 2, , f (x + n) = n X Cnk ∆k f (x); k=0 trường hợp đặc biệt, ∆m f (n) số khác với số nguyên dương n f (n) = n X Cnk ∆k f (0) k=0 (ii) Nếu P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn , với an 6= với x, ta có: ∆nh P (x) = an n!hn ∆m h P (x) = 0, với m > n Với k số nguyên dương cho trước Như hàm x, Cxk có tính chất: k (a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1 (vì ∆Cxk = Cxk−1 ) (b) Ta có ∆r Cxk = Cxk−r , với r k ∆r Cxk = 0, với r > k k+1 (c) C1k + C2k + + Cnk = Cn+1 Tương tự (i), f (x) đa thức có bậc m f (x) = m X Cxk ∆k f (0) k=0 (1.2) 1.2 Một số tính chất tốn tử sai phân Tính chất 1.2.1 [4] Nếu c = const ∆c = Chứng minh Nếu c = const ∆c = c − c = Tính chất 1.2.2 [4] Ta có ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0(m > n) Chứng minh Ta có ∆(xn ) = (x + h)n − xn = n.hxn−1 + ∆2 (xn ) = ∆(nxn−1 h) + = n.h∆(xn−1 ) + n(n − 1).h2 (xn−2 ) + ∆n (xn ) = n!hn Từ Tính chất 1.4.2, suy ∆m (xn ) = 0, ∀m > n Tính chất 1.2.3 [4] Nếu P (x) đa thức bậc n ta có: ∆P (x) = P (x + h) − P (x) n X hi (i) p (x) = i! i=1 Tính chất 1.2.4 [4] f (x + nh) = n X Cni ∆i f (x) i=0 Chứng minh Ta có f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x) Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được: f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h) = (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h) = = (1 + ∆)n f (x) n X = Cni ∆i f (x) i=0 Tính chất 1.2.5 [4] n ∆ f (x) = n X Cni (−1)i Cin f (x + (n − i)h) i=0 Chứng minh Ta có ∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x) n X = (−1)i Cin (1 + ∆)n−i f (x) = i=0 n X (−1)i Cin f (x + (n − i)h) i=0 Tính chất 1.2.6 [4] Giả sử f ∈ C n [a; b] (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), đó: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1) n h Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với n = 1, ta có cơng thức số gia hữu hạn: f (x + h) − f (x) = f (x + θh) h Giả sử công thức với k = n, nghĩa là: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh) n h Ta chứng minh công thức với k = n + Thật vậy, ta có: ∆n+1 f (x) = ∆[∆n f (x)] = ∆[hn f (n) (x + θ0 nh)], θ0 ∈ (0; 1) Áp dụng cơng thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ0 nh) ta có ∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ0 nh) = hn [f (n) (x + θ0 nh + h) − f (n) (x + θ0 nh)] = h(n+1) f (n+1) (x + θ0 nh + θ”h); với (θ0 , θ” ∈ (0; 1)) Đặt θ = θ0 n+θ” n+1 ∈ (0; 1), ta có ∆(n+1) f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h) Tính chất 1.2.7 [4] Nếu f (x) xác định tập số nguyên h = 1; kí hiệu xk = f (k); k = 0, 1, n X ∆xi = xn+1 − x1 i=1 Chứng minh Ta có: n X ∆xi = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + + (xn+1 − xn ) = xn+1 − x1 , i=1 với ∆xi = xi+1 − xi Vậy n X ∆xi = xn+1 − x1 i=1 Giả sử ∆ toán tử sai phân D hàm giá trị thực Với hàm giá trị thực f tồn giới hạn: df f (x + h) − f (x) = lim dx h→0 h Cho h = thay biến x n ta có tốn tử sai phân ∆ Như ∆ có tính chất tốn tử sai phân D.Ta xét số tính chất thơng qua định lý sau với D(xn ) = nxn−1 D(f (x)) = n Định lý 1.2.1 [7] Nếu f (x) = x − = x(x − 1) (x − n + 1) ∆f (x) = nx n−1 − n Trong x − kí hiệu giai thừa Chứng minh Ta có ∆f (x) = f (x + 1) − f (x) n n ∆f (x) = (x + 1) − − (x) − ∆f (x) = (x + 1)x (x + − n + 1) − x(x − 1) (x − n + 1) ∆f (x) = (x + 1)x (x − n + 2) − x(x − 1) (x − n + 1) ∆f (x) = ([x + 1] − [x − n + 1])(x(x − 1) (x − n + 2)) ∆f (x) = nx n−1 − Nếu f (x) = ex df dx = ex Khi ta tìm hàm f cho ∆f = f Từ ta có định lý sau Định lý 1.2.2 [7] Nếu f (x) = 2x ∆f (x) = ∆2x = 2x Chứng minh ∆f (x) = ∆2x ∆f (x) = 2x+1 − 2x ∆f (x) = 2x (2 − 1) ∆f (x) = 2x x x Định lý 1.2.3 [7] Nếu f (x) = k ∆f (x) = k−1 Chứng minh Dựa vào tính chất dương tương tự Định lý 1.2.1 ta có x ∆f (x) = ∆ k k x− ∆f (x) = ∆ k! k ∆f (x) = ∆x − k! k−1 ∆f (x) = kx − k! k−1 x− ∆f (x) = (k − 1)! x ∆f (x) = k−1 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính Định nghĩa 1.3.1 [4] Phương trình sai phân tuyến tính hệ thức tuyến tính sai phân cấp dạng: F (un , ∆un , ∆2 un , , ∆k un ) = 0, ∆k un sai phân cấp k un , k bậc phương trình sai phân Định nghĩa 1.3.2 [4] Phương trình sai phân tuyến tính hàm un hệ thức tuyến tính giá trị hàm un điểm khác Phương trình sai phân tuyến tính tổng qt có dạng: a0 un+k + a1 un+k−1 + + ak un = fn , (1.3) a0 , a1 , , ak (với a0 6= 0, ak 6= 0) hệ số biểu thị số cho trước hay hàm số n, fn hàm số biến n, un ẩn số cần tìm Định nghĩa 1.3.3 [4] + Nếu fn ≡ (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính nhất; + Nếu fn 6≡ (1.3) gọi phương trình sai phân tuyến tính khơng nhất; + Nếu fn ≡ a0 , a1 , , ak số, a0 6= 0, ak 6= (1.3) trở thành a0 un+k + a1 un+k−1 + + ak un = (1.4) Đây phương trình sai phân tuyến tính bậc k với hệ số + Nếu a0 , a1 , , ak hàm số n (1.3) phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên Định nghĩa 1.3.4 [4] + Hàm số un thỏa mãn (1.3) nghiệm phương trình sai phân tuyến tính (1.3) + Hàm số un thỏa mãn (1.4) gọi nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính (1.4) Nếu với tập giá trị ban đầu u0 , u1 , , uk−1 ta xác định tham số C1 , C2 , , Ck để nghiệm un trở thành nghiệm riêng (1.4), nghĩa đồng thời thỏa mãn (1.4) un = ui , i = 0, k − Cấu trúc nghiệm: Định lý 1.3.1 [4] Nghiệm tổng quát (1.3) un = un + u∗n , un nghiệm tổng quát (1.4), u∗n nghiệm riêng (1.3) Định lý 1.3.2 [4] Nghiệm tổng quát (1.4) có dạng: un = C1 un1 + C2 un2 + + Ck unk , un1 , un2 , , unk k nghiệm độc lập tuyến tính (1.4) C1 , C2 , , Ck số tùy ý Định lý 1.3.3 [4] Xét phương trình đặc trưng: a0 λk + a1 λk−1 + + ak = (1.5) + Trường hợp Nếu (1.5) có k nghiệm thực khác λ1 , λ2 , , λk hệ {λn1 , λ,2 , λnk } hệ k nghiệm độc lập tuyến tính (1.5) Khi nghiệm tổng quát (1.5) un = C1 λn1 + C2 λ2 + + Ck λnk , Ci , i = 1, 2, , k số tùy ý + Trường hợp Nếu (1.5) có nghiệm thực λj bội s nghiệm λnj ta bổ sung thêm s − nghiệm nλnj , n2 λnj , , ns−1 λnj nghiệm độc lập tuyến tính (1.5) Khi un = k X Ci λni + s−1 X Cji ni λnj , i=1 j6=i=1 Cji Ci số tùy ý + Trường hợp Nếu (1.5) có nghiệm phức λj = r(cos ϕ + i sin ϕ), tanϕ = b/a, r = |λj | = √ a2 + b2 ta lấy thêm nghiệm rn cos nϕ, rn sin nϕ Khi un = k X Ci λni + rn (Cj1 cos nϕ + Cj2 sin nϕ), j6=i=1 Ci , Cj1 , Cj2 (i = 1, 2, , k) số tùy ý Phương pháp tìm nghiệm riêng Phương pháp Phương pháp chọn (hệ số bất định) Trong số trường hợp đặc biệt hàm fn , ta tìm u∗n cách đơn giản Để xác định tham số dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định * Trường hợp Nếu fn = Pm (n) đa thức bậc m n, m ∈ N + (1.5) khơng có nghiệm λ = ta chọn u∗n = Qm (n) + (1.5) có nghiệm λ = bội s ta chọn u∗n = ns Qm (n) * Trường hợp Nếu fn = αn Pm (n), α 6= 0, m ∈ N, Pm (n) đa thức bậc m n 10 ... 6)n ] 19 Chương Ứng dụng toán tử sai phân vào giải số toán dành cho học sinh khá, giỏi Tốn tử sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng, khơng góp phần giải tốn dãy số mà cịn giúp giải số tốn khác... minh lời giải số tốn sở vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân Ngồi ra, luận văn trình bày cách giải khác toán so sánh phương pháp giải với lời giải ứng dụng tính chất tốn tử sai phân người... chúng tơi xét số ứng dụng tốn tử sai phân vào giải số toán sơ cấp tốn tìm số hạng tổng qt, tốn tính tổng, toán bất đẳng thức, toán chia hết, phần nguyên, toán tổ hợp, toán giới hạn số toán khác Nội