Luận Văn Thạc Sĩ Các Bài Toán Về Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác 13.Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ XUYẾN CHI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ XUYẾN CHI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.0113 Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHAN HUY KHẢI HÀ NỘI - 2014 z Mục lục Mở đầu Một số ký hiệu Kiến thức sở 1.1 Các hệ thức lượng tam giác 1.2 Các công thức lượng giác 1.3 Các hệ thức lượng giác tam giác 5 Hệ 2.1 2.2 2.3 thức lượng tam giác thường 11 Hệ thức lượng giác không điều kiện 11 Hệ thức lượng giác có điều kiện 21 Bài tập đề nghị 23 Hệ thức lượng tam giác vuông 25 3.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác vuông 25 3.2 Bài tập đề nghị 36 Hệ thức lượng tam giác cân 38 4.1 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác cân 38 4.2 Bài tập đề nghị 45 Hệ 5.1 5.2 5.3 thức lượng tam giác 47 Sử dụng biến đổi đẳng thức nhận dạng tam giác 47 Nhận dạng tam giác từ hệ điều kiện 51 Bài tập đề nghị 55 Hệ thức lượng tam giác đặc biệt khác 6.1 Các yếu tố tam giác cho dạng cấp số 6.2 Các yếu tố tam giác cho dạng hình học 6.3 Bài tập đề nghị Phụ lục Kết luận Tài liệu tham khảo z 56 56 65 81 83 98 99 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Phan Huy Khải người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, khích lệ giúp đỡ em suốt q trình học tập thực khóa luận Hà Nội, ngày 15 tháng 02 năm 2014 Học viên Trần Thị Xuyến Chi z Mở đầu Hệ thức lượng tam giác nội dung quan trọng trường phổ thông, thường gặp đề thi tuyển sinh vào đại học kỳ thi học sinh giỏi cấp Đây chuyên đề hay tương đối khó với học sinh phổ thơng Để có nhìn tồn cảnh chun đề này, luận văn sâu vào nghiên cứu toán hệ thức lượng tam giác Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Kiến thức sở Chương Hệ thức lượng tam giác thường Chương Hệ thức lượng tam giác vuông Chương Hệ thức lượng tam giác cân Chương Hệ thức lượng tam giác Chương Hệ thức lượng tam giác đặc biệt khác Bây nói kỹ chương tiêu biểu, ví dụ chương Trong chương chúng tơi trình bày phần sau: Nhận dạng tam giác vuông Trong mục đưa đặc điểm tiêu biểu tam giác vuông Phương pháp để chứng minh tam giác vuông biến đổi biểu thức đưa đặc điểm Các ví dụ nhận dạng tam giác vng Ở chúng tơi trình bày ví dụ tiêu biểu phân loại từ dễ đến khó Hệ thống phân loại tập tam giác vuông Phần cuối luận văn phụ lục Trong chúng tơi trình bày cách thiết lập hệ thức lượng giác tam giác dựa vào mối liên hệ yếu tố tam giác nghiệm phương trình bậc ba Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! z Một số ký hiệu ABC A, B, C a, b, c , hb , hc ma , mb , mc la , lb , lc R r , rb , rc S a+b+c p= đpcm Tam giác ABC Các góc đỉnh tam giác ABC Các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C Đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A, B, C Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Diện tích tam giác Nửa chu vi tam giác Điều phải chứng minh z Chương Kiến thức sở 1.1 Các hệ thức lượng tam giác Định lý hàm số sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lý hàm số cosin Định lý hàm số tang a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C A−B a−b = A+B a+b tan B−C b − c tan = B+C b+c tan C −A c − a tan = C +A c+a tan tan Định lý hàm số cotang cot A + cot B + cot C = Độ dài đường trung tuyến z a2 + b2 + c2 4S 2b2 + 2c2 − a2 = 2a2 + 2c2 − b2 mb = 2a2 + 2b2 − c2 m2c = m2a Độ dài đường phân giác r 2bc A 2bc p(p − a) la = cos = b+c b + c r bc B 2ca p(p − b) 2ca cos = lb = c+a c + a r ca 2ab C 2ab p(p − c) lc = cos = a+b a+b ab Cơng thức tính diện tích 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 abc = 4R = pr = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc q = p(p − a)(p − b)(p − c) Định lý hình chiếu  C B = b cos C + c cos B a = r cot + cot 2   C A b = r cot + cot = c cos A + a cos C 2  B A = a cos B + b cos A c = r cot + cot 2  Công thức tính bán kính Bán kính đường trịn nội tiếp r= S A B C = (p − a) tan = (p − b) tan = (p − c) tan p 2 z Bán kính đường tròn ngoại tiếp a b c abc = = = 4S sin A sin B sin C Bán kính đường trịn bàng tiếp S A = p tan = p−a B S rb = p tan = p−b C S rc = p tan = p−c R= 1.2 Các công thức lượng giác Các hệ thức lượng giác sin2 α + cos2 α = cos α cot α = sin α sin α tan α = cos α tan α cot α = 1 + tan2 α = cos2 α + cot2 α = sin2 α Công thức cộng cung sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β tan α + tan β tan(α + β) = − tan α tan β tan α − tan β tan(α − β) = + tan α tan β Công thức nhân cung sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α z tan α − tan2 α sin 3α = sin α − sin3 α cos 3α = cos3 α − cos α tan α − tan3 α tan 3α = − tan2 α tan 2α = Công thức biến tổng thành tích α−β α+β cos 2 α+β α−β sin α − sin β = cos sin 2 α+β α−β cos α + cos β = cos cos 2 α−β α+β sin cos α − cos β = −2 sin 2 sin(α + β) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β) tan α − tan β = cos α cos β sin(α + β) cot α + cot β = sin α sin β sin(α − β) cot α − cot β = sin α sin β sin α + sin β = sin Công thức biến tích thành tổng sin(α + β) + sin(α − β) cos(α + β) + cos(α − β) cos α cos β = cos(α − β) − cos(α + β) sin α sin β = sin α cos β = Giá trị lượng giác góc (cung) có liên quan đặc biệt z ... thức lượng tam giác thường Hệ thức lượng tam giác thường dạng toán toán hệ thức lượng tam giác Vì kết cho tam giác đặc biệt khác tam giác vuông, tam giác cân, tam giác Bài toán hệ thức lượng tam. .. này, luận văn sâu vào nghiên cứu toán hệ thức lượng tam giác Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Kiến thức sở Chương Hệ thức lượng tam giác thường Chương Hệ thức lượng tam giác vuông Chương Hệ thức. .. Kiến thức sở 1.1 Các hệ thức lượng tam giác 1.2 Các công thức lượng giác 1.3 Các hệ thức lượng giác tam giác 5 Hệ 2.1 2.2 2.3 thức lượng tam giác thường