LUANAN final DVI ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI 2012 z ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TS Nguyễn Hữu Dư PGS TS Vũ Hoàng Linh HÀ NỘI - 2012 z Mơc lơc Lêi cam ®oan i Lêi c¶m ¬n ii Danh s¸ch c¸c ký hiƯu vii Mở đầu KiÕn thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa ví dụ vÒ thang thêi gian 1.2 TÝnh kh¶ vi 10 1.3 TÝnh kh¶ tÝch 11 1.4 TÝnh håi quy 15 1.5 Hàm mũ thang thời gian 16 1.6 Phơng trình động lực tuyến tính 18 1.7 Tính ổn định mũ phơng trình ®éng lùc th−êng trªn thang thêi gian 19 1.7.1 Khái niệm ổn định mò 20 1.7.2 TÝnh ổn định mũ phơng trình động lực tuyến tính hÖ sè h»ng 22 Bài toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn thang thời gian 26 2.1 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính 27 2.1.1 Chỉ số phơng trình động lùc Èn tuyÕn tÝnh 28 2.1.2 C¸ch giải toán Cauchy 31 z iv 2.1.3 Cách giải phơng trình động lực ẩn tuyến tính có hệ số sè 37 2.2 Phơng trình ®éng lùc Èn tun tÝnh víi nhiƠu phi tun tháa m·n ®iỊu kiƯn Lipschitz 39 2.2.1 Cách giải 40 2.2.2 Mô tả không gian nghiệm 42 2.3 Phơng trình động lực Èn tùa tuyÕn tÝnh 44 2.4 KÕt luËn cña Ch−¬ng 48 Tính ổn định phơng trình động lực ẩn thang thời gian 49 3.1 Xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn phơng pháp hàm Lyapunov 49 3.1.1 Các định nghĩa ổn định phơng trình động lùc Èn 50 3.1.2 Các mệnh đề 52 3.1.3 Sử dụng phơng pháp hàm Lyapunov xét tính ổn định phơng trình động lực ẩn 54 3.1.4 Phơng pháp hàm Lyapunov áp dụng cho phơng trình động lùc Èn víi phÇn tun tÝnh cã hƯ sè h»ng 63 3.2 Bán kính ổn định phơng trình ®éng lùc Èn tun tÝnh hƯ sè h»ng trªn thang thêi gian 68 3.2.1 Phổ phơng trình động lực ẩn tuyến tính 71 3.2.2 Kh¸i niƯm vỊ b¸n kÝnh ổn định 72 3.2.3 Sù b»ng bán kính ổn định thực phức 74 3.3 KÕt ln cđa Ch−¬ng 83 Các phép biến đổi Lyapunov định lý Floquet cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính 85 4.1 Thang thời gian tuần hoàn 86 z v 4.2 C¸c phÐp biÕn ®æi Lyapunov 88 4.3 Định lý Floquet cho phơng trình động lùc Èn tun tÝnh 92 4.4 KÕt ln cđa Ch−¬ng 102 Kết bàn luận 103 Kết luận nghiên cứu 103 Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 105 Tài liệu tham kh¶o 106 z vi Danh sách ký hiệu C = Tập tất số phức C(X, Y ) = Tập tất hàm liên tục từ X vào Y Crd(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục Crd (T, X) = Tập tất hàm : Tk X khả vi rd-liên tục CrdR(T, X) = Tập tất hàm : T X rd-liên tục hồi quy CN1 (Tk , Rm ) = x(·) ∈ Crd(Tk , Rm ) : Pρ(t) x(t) kh¶ vi t Tk (Tk , Rmìm ) = {L· ∈ Crd(Tk , Rm×m ) : Pρ(t) Lt khả vi rd-liên tục Tk } CN,rd det A = Định thức ma trận A GL(Rm ) = Tập tự đẳng cấu tuyến tính không gian Rm inf = infimum = = Phần ¶o cđa sè phøc λ im A = MiỊn gi¸ trị toán tử A K = R hay C Kmìn = Tập tất m ì nma trận có phần tử thuộc K ker A = Hạch toán tử A L(X) = Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X Ln = Nh¸nh chÝnh cđa logarithm phøc víi miỊn gi¸ trị [i, i) D() = Miền xác định hµm ϕ z vii R(Tk , X) = TËp tÊt hàm hồi quy, xác định T nhận giá trị X R+ (Tk , R) = Tập tất hàm hồi quy dơng, xác định T nhận giá trị R R+ = Tập tất số thực không âm S = S(T) = Miền ổn định mũ thang thời gian T N = Tập tất số tự nhiên N0 = Tập tất số tự nhiên khác S = Biên tập S Q = Tập tất số hữu tỷ R = Tập tất số thực rank A = Hạng cđa ma trËn A τ } Z = Tập tất số nguyên z viii Mở đầu Lý thuyết thang thời gian (time scale), lần đợc trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ ông vào năm 1988 (với hớng dÉn cđa Bernd Aulbach, xem [49]) nh»m thèng nhÊt gi¶i tích liên tục rời rạc Việc nghiên cứu lý thuyết thang thời gian đà dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mô hình mật độ côn trùng, hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lợng tử mô hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết "phơng trình động lực" thang thời gian, dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian hỗn hợp trờng hợp liên tục rời rạc Ta biết rằng, có nhiều kết phơng trình vi phân đợc thực dễ dàng tự nhiên cho phơng trình sai phân Tuy nhiên, có kết dễ dàng trình bày cho phơng trình vi phân lại không đơn giản cho sai phân ngợc lại Việc nghiên cứu phơng trình động lực thang thời gian cho ta nhìn sáng sủa để khắc phục tính không quán phơng trình vi phân liên tục phơng trình sai phân rời rạc Ngoài ra, điều tránh đợc việc kết đợc chứng minh hai lần, lần cho phơng trình vi phân lần khác cho phơng trình sai phân Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình vi phân thờng Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết tổng quát thu đợc tơng tự với kết phơng trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú nên kết thu đợc tổng quát hay z nhiều kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trng thang thời gian thống mở rộng Cho đến đà có hàng chục sách hàng ngàn báo viết thang thời gian Các yếu tố giải tích thang thời gian đà đợc tác giả nghiên cứu cách sâu rộng tơng đối đầy đủ Và từ nhiều kết quen thuộc trờng hợp liên tục rời rạc đà đợc "chuyển dịch" sang thang thời gian Chẳng hạn, hệ động lực thờng thang thời gian, đà có kết sâu sắc ổn định, tính dao động, toán giá trị biên, Mặt khác, năm gần phơng trình vi phân đại số đợc quan tâm cách rộng rÃi phơng diện lý thuyết lẫn thực tế Dạng tổng quát phơng trình vi phân đại sè lµ f (t, x0 (t), x(t)) = 0, (1) phơng trình tuyến tính hóa có dạng At x0 (t) = Bt x(t) + qt , (2) A and B hàm ma trận cho trớc Các phơng trình (1) (2) xuất nhiều toán thực tế, chẳng hạn nh mạch điện, phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot, Nếu ma trận At khả nghịch với t R, ta nhân phía trớc hai vế (2) với A1 t để đợc phơng trình vi phân thờng Tuy nhiên, có t0 để At0 suy biến vài giả thiết cần phải đợc đặt Một cách để giải (2) đa khái niệm số phơng trình Dựa khái niệm này, ta nghiên cứu phơng trình (2) cách phân tích thành phơng trình vi phân thờng quan hệ đại số Về cách giải toán Cauchy phơng trình (2) ta tham khảo [46] Cùng với lý thuyết phơng trình vi phân đại số, có quan tâm khác đến phơng trình sai phân đại số xuất chúng nhiều lĩnh vực thực tế, nh mô hình động lực Leontiev, mô hình tăng trởng dân số Leslie, toán điều khiển tối u suy biến (xem z [26, 32]) Ngoài ra, phơng trình sai phân đại số xuất cách tự nhiên sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải phơng trình vi phân đại số phơng trình vi phân đại số phần, Vấn đề đà đợc quan tâm lớn nhà nghiên cứu [26, 46, 58] Khái niệm số phơng trình sai phân ẩn tuyến tính có hệ số biến thiªn Anx(n + 1) = Bn x(n) + qn (3) đợc giới thiệu [39, 64] cách giải toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên nhiều điểm đợc nghiên cứu [9, 11] Sau đó, khái niệm số đà đợc mở réng cho tr−êng hỵp phi tun [8] f (n, x(n + 1), x(n)) = (4) Cã mèi quan hÖ gần gũi phơng trình sai phân đại số tuyến tính phơng trình vi phân đại số tuyến tính, cụ thể là, phơng pháp Euler áp dụng cho phơng trình vi phân đại số tuyến tính có số dẫn đến phơng trình sai phân đại số tuyến tính có số (xem [9, 11]) vµ nghiƯm nhÊt cđa bµi toán giá trị ban đầu nh toán giá trị biên đợc rời rạc hóa hội tụ nghiệm toán liên tục tơng ứng Sử dụng khái niệm giải tích thang thời gian, ta viết lại phơng trình (2) (3) dới dạng Atx∆ (t) = Bt x(t) + qt , (5) f (t, x∆ (t), x(t)) = 0, (6) hay víi d¹ng tổng quát với t thuộc thang thời gian T toán tử đạo hàm T Một cách tự nhiên, câu hỏi đợc đặt là: Liệu kết đà biết phơng trình (2) hay phơng trình (3); phơng trình (1) hay phơng trình (4) đợc mở rộng thống lần lợt cho phơng trình động lực ẩn có dạng (5); (6) hay không? Đây lý để chóng t«i z ... trình động lực ẩn tuyến tính cho số lớp phơng trình động lực ẩn phi tuyến thang thời gian ã Chơng nghiên cứu tính ổn định phơng trình động lực ẩn Phần đầu chơng xét tính ổn định phơng trình động. .. NGUYỄN CHÍ LIÊM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 62 46 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:... để bán kính ổn định thực bán kính ổn định phức ã Chơng trình bày phép biến đổi Lyapunov định lý Floquet áp dụng cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính Vì thời gian khả nhiều hạn chế nên luận án