Kltn đặc trưng và một số ứng dụng của phân phối chuẩn

Mục Lục Lời cảm ơn .2 Lời nói đầu .3 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Moment 1.2 Không gian 1.3 Ước lượng xác suất đuôi .7 1.4 Kỳ vọng có điều kiện 1.5 Hàm đặc trưng 11 1.6 Đối xứng hóa .13 1.7 Khả tích .14 CHƯƠNG 2: PHÂN PHỐI CHUẨN 16 2.1 Phân phối chuẩn nhiều chiều 16 2.2 Hàm đặc trưng giải tích 20 2.3 Khai triển Hermite 22 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN .27 3.1 Đặc trưng phân phối chuẩn theo phân phối tổ hợp tuyến tính .27 3.2 Đặc trưng phân phối chuẩn theo tổng biến ngẫu nhiên độc lập 32 3.3 Tính ổn định ổn định yếu đặc trưng 38 3.4 Moment điều kiện .45 Kết luận 62 Lời nói đầu Trong khoa học đời sống hàng ngày thêng gặp tượng “biến cố” ngẫu nhiên Đó biến cố mà ta khơng thể dự đốn cách chắn chúng xảy hay không xảy Lý thuyết xác suất thống kê mơn tốn học nghiên cứu tìm quy luật phân phối đưa phương pháp tính tốn xác suất, tượng biến cố ngẫu nhiên Ngày lý thuyết xác suất thống kê trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Nó cơng cụ khơng thể thiếu được, cần đánh giá may, nguy rủi ro Có nhiều quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn chiếm vị trí quan trọng, trung tâm kết luận thống kê sau Hầu hết tượng sinh học tự nhiên(như chiều cao, trọng lượng thể, mật độ xương,vv…), nghiên cứu địa chất (hàm lượng nước đá, hàm lượng số nguyên tố hóa học) mơ tả luật phân phối chuẩn cách xác Chính mà luật phân phối chuẩn ứng dụng rộng rãi khoa học thực nghiệm Với lý chọn đề tài “Đặc trưng số ứng dụng phân phối chuẩn” Luận văn chia làm ba chương: Chương I : Một số kiến thức bản: Trình bày kiến thức xác suất sở cần thiết cho việc trình bày chương sau Chương II : Phân phối chuẩn: Trình bày phân phối chuẩn nhiều chiều, số tính chất phân phối chuẩn nhiều chiều Khai triển Hermite định lý Cramer, định lý Marcinkiewicz Chương III: Đặc trưng phân phối chuẩn: Trình bày số đặc trưng phân phối chuẩn theo phân phối tổ hợp tuyến tính theo tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tính ổn định ổn định yếu đặc trưng Một số ứng dụng phân phối chuẩn để chứng minh định lý giới hạn trung tâm, điều kiện để biến ngẫu nhiên chuẩn, Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận góp ý phê bình thầy giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2011 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Moment Cho không gian xác suất biến ngẫu nhiên X Với số thực , moment tuyệt đối bậc r X xác định Moment thường bậc r = 0,1, định nghĩa Rõ ràng dãy số thực dãy moment biến ngẫu nhiên X; xảy trường hợp hai biến ngẫu nhiên với phân phối khác lại có moment Chúng ta có số kết quan trọng sau: Mệnh đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Chebyshev) Nếu f : hàm không giảm víi tất t > cho ta có (1.1) Chøng minh ThËt vậy, Mệnh đề 1.1.2 Nếu f: hàm số thỏa mãn f(x) = f(0)+ X Ef(X) = f(0)+ Hơn nữa, g (1.2) vế phải (1.2) hữu hạn Ef(X) < Chứng minh áp dụng giả thiết f(x) = f(0)+ cho X định lý Fubini ta cú Từ Ef(X) = f(0)+ (Đpcm ) Hệ 1.1.3 Nếu với số nguyên r > (1.3) Nếu với số thực r > (1.4) Chứng minh ¸p dơng mệnh đề 1.1.2 cho f(x)= g(t)= ta cã c«ng thøc (1.4) Vì EX = với =max , áp dụng mệnh đề 1.2.2 riêng rẽ biến ta có c«ng thøc (1.3) 1.2 Khơng gian Víi p > 0, ký hiƯu khơng gian Banach lớp tương đương hầu chắn biến ngẫu nhiên p- khả tích,  - đo X với chuẩn Khi X , ta nói X p- khả tích; đặc biệt, X bình phương khả tích Ta nói th× ta nãi d·y n Nếu héi tơ ®Õn X theo nghĩa bình phương trung bình Chúng ta có vài bất đẳng thức quan trọng đây: Định lý 1.2.1 i) (Bất đẳng thức Minkowski) Với , (1.5) ii) (Bất đẳng thức Holder) Với EXY iii) (1.6) (Bất đẳng thức tam giác) Với (1.7) Đặc biệt trường hợp p = q =2, bất đẳng thức Holder (1.6) trở thành EXY thường xuyên sử dụng biết đến lµ Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 1.3 Ước lượng xác suất Ta biết hàm N(x) = P( Gi¶ thiÕt N : mô tả xác suất đuôi biến ngẫu nhiên X hàm không tăng cho Ta có số kết sau: Định lý 1.3.1 Nếu tồn C > 1, < q 0, nghĩa chọn n cho víi x > 0, N(x) Dựa vào định lý 1.3.1 (1.4) ta có kết sau Hệ 1.3.2 Nếu tồn < q < víi x > , E cho N(2x) víi Hệ 1.3.3 Giả sử có C > cho với < q < ta tìm mà N(Cx) với x > Khi ®ã (1.9) với p Hệ 1.3.4 Giả sử có C > 1, K < cho N(Cx) với x đủ lớn Khi (1.10) với p Định lý 1.3.5 Nếu có C > 1,1 < K < , cho N(Cx) (1.11) với x > , tồn M < , cho N(x) Chứng minh Như chứng minh định lý 1.3.1 giả sử Đặt Khi (12) dẫn tới N( từ (1.12) Do đó, sử dụng phép quy nạp ta (1.13) Thật với n = (1.13) trở thành đẳng thức Giả sử (1.13) với n=k thỡ Từ có Chọn n đủ lớn để 1+ tõ (1.13) cã N( Chọn M đủ lớn ta có N(x) n cho với x Khi từ b Với x > m cố định, có N(x) = Hệ 1.3.6 Nếu tồn C < tồn , cho N cho E exp( chọn Hệ 1.3.7 Nếu tồn C < tồn , cho E exp( cho N 1.4 Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa 1.4.1 Cho ( một không gian xác suất Nếu -trường X biến ngẫu nhiên khả tích kỳ vọng điều kiện X cho  biến ngẫu nhiên Z đo được,  - khả tích cho với A Chúng ta có số tính chất sau kỳ vọng có điều kiện Định lý 1.4.2 i) Nếu Y biến ngẫu nhiên  - đo cho X XY khả tích E ii) Nếu iii) Nếu ,thì  ; - trường biểu thị độc Nếu X khả tích g(x) hàm lồi cho E v) Nếu  vi) Nếu X,Y khả tích a,b E vii) Nếu X  độc lập, E E trường sinh hợp iv) - trường tầm thường E lập, , g( Sau ta sử dụng tới kết sau: Định lý 1.4.3 Giả sử , víi n chuẩn họ giảm trường,nghĩa Nếu X khả tích, ,  giao tất theo Chứng minh Trước hết giả sử X bình phương khả tích Khơng tổng qt ta xét trường hợp EX = Ký hiệu , theo bất đẳng thức Jensen EX n ≥0 dãy giảm không âm Đặc Từ biệt EX n hội tụ Với m < n cố định Khi Theo định lý 1.4.1 có Do E Do Cauchy cho hội tụ theo chuẩn khả tích, d·y hội tụ hội tụ, thỏa mãn điều kiện Điều cho thấy X bình phương Nếu X khơng bình phương khả tích, với tìm N cho với tất n, m > N có E cho thấy E Thực tế giới hạn Điều tháa m·n điều kiện Cauchy hội tụ ThËt vËy, rõ ràng n nên  – đo Với A , ta có 10 - đo với Từ ... III: Đặc trưng phân phối chuẩn: Trình bày số đặc trưng phân phối chuẩn theo phân phối tổ hợp tuyến tính theo tổng biến ngẫu nhiên độc lập Tính ổn định ổn định yếu đặc trưng Một số ứng dụng phân phối. .. lượng số nguyên tố hóa học) mơ tả luật phân phối chuẩn cách xác Chính mà luật phân phối chuẩn ứng dụng rộng rãi khoa học thực nghiệm Với lý chọn đề tài ? ?Đặc trưng số ứng dụng phân phối chuẩn? ??... I : Một số kiến thức bản: Trình bày kiến thức xác suất sở cần thiết cho việc trình bày chương sau Chương II : Phân phối chuẩn: Trình bày phân phối chuẩn nhiều chiều, số tính chất phân phối chuẩn