Bài 1 (4,0 điểm) 1 1 Thực hiện phép tính 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 32 4 5 2 3 4 9 5 7 25 49 125 7 5 142 3 8 3 A 1 2 Cho 2023a b c và 1 1 1 1 2023a b b c c a Tính [.]
Bài 1: (4,0 điểm) 1.1 Thực phép tính A 12 2 3 8 1.2 Cho a b c 2023 Tính Q 10 5 25 49 125.7 14 1 1 a b b c c a 2023 a b c bc ca ab 1.3 Rút gọn biểu thức M = Bài 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho 2.2.Tìm x, y, z biết: 2 1 3 2.4 3.5 4.6 2020.2022 ac 2021a 2022c a c Chứng minh rằng: b d bd 2021b 2022 d z 10 y 10 x 3z y x x 3y z 40 10 2.3 Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ lệ : : Nhưng làm việc thực tế số người thay đổi nên chia lại số mét đường cho ba tổ tỉ lệ với : : Do có tổ làm nhiều dự định 10 mét đường Tính số mét đường tổ làm thực tế Bài 3: (4,0 điểm) 3.1 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 2012 hợp số 3.2 Tìm cặp số nguyên x; y thoả mãn: y( x ) x( x ) ( x ) Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Kẻ MH, NK vng góc với BC (H, K thuộc BC) Gọi I giao điểm MN BC 1) Chứng minh HBM KCN I trung điểm đoạn thẳng MN 2) Qua I kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt tia phân giác Ax góc BAC P PNC Chứng minh PMB 3) Chứng minh M di động AB N di động tia đối tia CA thỏa mãn BM = CN P điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a b c 2 bc ac ab = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Câu Bài 1: 4đ Y Nôi dung Phần đề 1.1 1đ A 12 2 2 8 Điểm 4đ 10 5 25 49 125.7 14 Phần giải 74 A 12 12 9 3 12 12 3 1 12 4 10 10 1 10 12 3 1 59.73 23 10 12 12 3 10 1.2 2đ 0,25 0,25 0,25 0,25 Phần đề 1 1 a b b c c a 2023 a b c Tính Q bc ca ab Cho a b c 2023 Phần giải a b c Ta có Q 1 1 1 bc ca ab 1 Q a b c 2023 2 2023 bc ca ab 1,0 1,0 Phần đề 1.3 1đ M= M 2 1 3 2.4 3.5 4.6 2020.2022 Phần giải 2 1 1 1 1 3 2.4 3.5 4.6 2020.2022 0,25 M= 3.3 4.4 5.5 2021.2021 2.4 3.5 4.6 2020.2022 M= 3.4.5 2021 3.4.5 2021 2.3.4 2020 4.5.6 2022 0,25 0,25 2021 M= 2022 M= Bài 2: 4đ 2.1 1đ 0,25 2021 2022 Cho Phần đề 4đ ac 2021a 2022c a c Chứng minh rằng: b d bd 2021b 2022 d Phần giải 2 a c a c a c a.c a2 c2 Từ giả thiết ta có: b d b d b d b.d b2 d 2.2 a.c 2022c 2021a 2022c 2021a b.d 2022d 2021b 2022d 2021b 0,5đ 0,5đ Phần đề z 10 y 10 x 3z y x Tìm x, y, z biết: x 3y z 40 10 Phần giải z 10 y 10 x 3z z 10 y 10 x 3z 16 z 10 y 40 x 30 y 30 y 40 x 10 x 3z 13 100 3 y x x y z x y z 40 x; y; z 15;20;50 10 12 10 Ta có: 2.3 2đ 0,25 0,25 0,5 Phần đề Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ lệ : 6: Nhưng làm việc thực tế số người thay đổi nên chia lại số mét đường cho ba tổ tỉ lệ với 4: 5: Do có tổ làm nhiều dự định 10 mét đường Tính số mét đường tổ làm thực tế Phần giải Gọi số mét đường tổ phải làm A (m; A > 0) 0,25 Số mét đường tổ dự định chia a; b; c ( a > 0; b > 0; c > 0; mét ) Số mét đường tổ thực tế làm chia x; y; z (m; x > 0; y > 0; z > 0) Theo đề bài, Số m đường tổ dự định chia a; b; c tỉ lệ với 5: 6: ta có: a b c abc A 5A A 7A a= ;b= ;c= 18 18 18 Theo đề bài, Số m đường tổ thực tế làm chia x; y; z x y z x yz A 4A A tỉ lệ với 4: 5: ta có: ;y= ;z= x= 15 15 2A So sánh a x; b y; c z z > c nên tổ tổ làm nhiều so với dự định 2A 7A A A z–c= = 10 A 900 (thỏa mãn) 18 90 90 900 4.900 2.900 Vậy x = 240 ; y = 300 ; z = 360 15 15 Số mét đường ba tổ thực tế phân chia là: 240m; 300m; 360m Phần đề Bài 3: (4đ) 3.1 2đ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p 2012 hợp số Phần giải Cách 1: + Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p 3k 1 k , k 1 + Với p 3k suy p 2012 3k 1 2012 9k 6k 2013 p 2012 Với p 3k suy p 2012 3k 1 2012 9k 6k 2013 p 2012 2 Vậy p 2012 hợp số Cách 2: Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p không chia hết cho Khi : p khơng chia hết cho Suy ra: p chia dư nên Vậy p 2012 hợp số 3.2 2đ p 2012 3 Phần đề Tìm cặp số nguyên y( x ) x( x ) ( x ) Phần giải x; y thoả mãn: 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: y( x ) x( x ) ( x ) 0, 25 ( x )( y x ) Do : x x y ước Lập bảng: 0,25 0,25 y(x - 2)+ x(x - 2) - (x - 2)= 5 x2 5 1 x y 1 1 5 x 3 y 5 5 Vậy cặp số nguyên x; y : 3;3 , 1; 5 , 3;3 , 7; 5 Bài 4: (6đ) Phần đề (6đ) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Kẻ MH, NK vng góc với BC (H, K thuộc BC) Gọi I giao điểm MN BC 1) Chứng minh HBM KCN I trung điểm đoạn thẳng MN 2) Qua I kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt tia phân giác Ax PNC góc BAC P Chứng minh PMB 3) Chứng minh M di động AB N di động tia đối tia CA thỏa mãn BM = CN P điểm cố định Phần giải 1,0 0,25 6đ 4.1 (2,5đ) (vì ABC cân), mà (đối đỉnh) + Ta có ABC ACB ACB NCK hay MBH NCK ABC NCK NCK (cmt) Xét HBM KCN có: BM = CN (gt); MBH HBM KCN (cạnh huyền- góc nhọn) 4.2 (2,0đ) 4.3 (1,5đ) Bài 5: 2đ + Vì HBM KCN suy HM = KN MH BC ( gt ) KNI MH / / NK HMI NK BC ( gt ) KNI (cmt); MHI NKI 900 ; HM = Xét HMI KNI có HMI KN (cmt) Từ HMI KNI (g.c.g) IM IN Vậy I trung điểm MN Chứng minh IPM IPN (c.g.c) nên MP = NP Chứng minh ABP ACP(c.g.c) suy PB = PC PNC Chứng minh BMP CNP(c.c.c) Suy PMB ACP Vì ABP ACP ABP NCP Từ BMP CNP MBP ACP 900 (2 góc kề bù nhau) Từ suy NCP 900 Từ PB AB , suy P cố định MBP Phần đề 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 2đ Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: a bc b c ac ab Phần giải 2 Vì a b c nên a 1b 1 ab a b Tương tự ta có : Suy : Mà a bc a bc b ac c c (1) 0,25đ b b a a (2); (3) bc b c ac a c 0,25đ ab b ac c ab ab c ab a bc 2a abc b ac 2b abc c ab (4) 2c abc 0,25đ (5) 0,25đ Từ (4) (5) suy ra: Tổng a bc b ac c ab 2 20điểm ...Câu Bài 1: 4đ Y Nôi dung Phần đề 1. 1 1? ? A 12 2 2 8 Điểm 4đ 10 5 25 49 ? ?12 5.7 14 Phần giải 74 A 12 12 9 3 12 12 3 1? ?? 12 4 10 10 ? ?1 10 12 3 1? ?? 59.73... 2022c 2021a 2022c 2021a b.d 2022d 2021b 2022d 2021b 0,5đ 0,5đ Phần đề z 10 y 10 x 3z y x Tìm x, y, z biết: x 3y z 40 10 Phần giải z 10 y 10 x 3z z 10 y ? ?10 x ... suy p 2 012 3k 1? ?? 2 012 9k 6k 2 013 p 2 012 Với p 3k suy p 2 012 3k 1? ?? 2 012 9k 6k 2 013 p 2 012 2 Vậy p 2 012 hợp số Cách 2: Vì p số nguyên