Bài 1

Bài 1 (4,0 điểm) 1 1 Thực hiện phép tính     12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 32 4 5 2 3 4 9 5 7 25 49 125 7 5 142 3 8 3 A       1 2 Cho    2023a b c và       1 1 1 1 2023a b b c c a Tính [.]

Bài 1: (4,0 điểm) 1.1 Thực phép tính A 12 2   3 8 1.2 Cho a  b  c  2023 Tính Q   10 5  25 49 125.7   14 1 1    a  b b  c c  a 2023 a b c   bc ca ab 1.3 Rút gọn biểu thức M = Bài 2: (4,0 điểm) 2.1 Cho 2.2.Tìm x, y, z biết: 2      1          3 2.4  3.5  4.6   2020.2022  ac 2021a  2022c a c   Chứng minh rằng: b d bd 2021b  2022 d z  10 y 10 x  3z y  x x  3y  z  40   10 2.3 Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ lệ : : Nhưng làm việc thực tế số người thay đổi nên chia lại số mét đường cho ba tổ tỉ lệ với : : Do có tổ làm nhiều dự định 10 mét đường Tính số mét đường tổ làm thực tế Bài 3: (4,0 điểm) 3.1 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  2012 hợp số 3.2 Tìm cặp số nguyên  x; y  thoả mãn: y( x  )  x( x  )  (  x )  Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Kẻ MH, NK vng góc với BC (H, K thuộc BC) Gọi I giao điểm MN BC 1) Chứng minh HBM  KCN I trung điểm đoạn thẳng MN 2) Qua I kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt tia phân giác Ax góc BAC P   PNC  Chứng minh PMB 3) Chứng minh M di động AB N di động tia đối tia CA thỏa mãn BM = CN P điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn:  a  b  c  Chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Câu Bài 1: 4đ Y Nôi dung Phần đề 1.1 1đ A 12 2    2 8  Điểm 4đ 10 5  25 49 125.7   14 Phần giải   74 A  12 12  9 3   12 12 3  1 12 4 10 10 1   10  12  3  1 59.73  23  10 12      12 3 10    1.2 2đ 0,25 0,25  0,25 0,25 Phần đề 1 1    a  b b  c c  a 2023 a b c Tính Q    bc ca ab Cho a  b  c  2023 Phần giải  a   b   c  Ta có Q    1    1    1  bc  ca  ab  1   Q  a  b  c     2023   2  2023 bc ca ab 1,0 1,0 Phần đề 1.3 1đ M= M 2      1          3 2.4  3.5  4.6   2020.2022  Phần giải 2      1  1  1   1   3 2.4  3.5  4.6   2020.2022  0,25 M=  3.3  4.4  5.5   2021.2021         2.4  3.5  4.6   2020.2022  M=  3.4.5 2021   3.4.5 2021       2.3.4 2020   4.5.6 2022  0,25 0,25  2021    M=        2022  M= Bài 2: 4đ 2.1 1đ 0,25 2021 2022 Cho Phần đề 4đ ac 2021a  2022c a c   Chứng minh rằng: b d bd 2021b  2022 d Phần giải 2 a c a c a  c  a.c a2 c2   Từ giả thiết ta có:          b d b d b d b.d b2 d  2.2 a.c 2022c 2021a 2022c  2021a    b.d 2022d 2021b 2022d  2021b 0,5đ 0,5đ Phần đề z  10 y 10 x  3z y  x Tìm x, y, z biết: x  3y  z  40   10 Phần giải z  10 y 10 x  3z  z  10 y  10 x  3z     16  z  10 y 40 x  30 y 30 y  40 x      10 x  3z 13 100 3 y  x  x y z x  y  z 40         x; y; z   15;20;50  10  12  10 Ta có: 2.3 2đ 0,25 0,25 0,5 Phần đề Một đơn vị công nhân sửa đường dự định phân chia số mét đường cho ba tổ theo tỉ lệ : 6: Nhưng làm việc thực tế số người thay đổi nên chia lại số mét đường cho ba tổ tỉ lệ với 4: 5: Do có tổ làm nhiều dự định 10 mét đường Tính số mét đường tổ làm thực tế Phần giải Gọi số mét đường tổ phải làm A (m; A > 0) 0,25 Số mét đường tổ dự định chia a; b; c ( a > 0; b > 0; c > 0; mét ) Số mét đường tổ thực tế làm chia x; y; z (m; x > 0; y > 0; z > 0) Theo đề bài, Số m đường tổ dự định chia a; b; c tỉ lệ với 5: 6: ta có: a b c abc A 5A A 7A a= ;b= ;c=       18 18 18 Theo đề bài, Số m đường tổ thực tế làm chia x; y; z x y z x yz A 4A A tỉ lệ với 4: 5: ta có:    ;y= ;z=  x=   15 15 2A So sánh a x; b y; c z z > c nên tổ tổ làm nhiều so với dự định 2A 7A A A z–c= =   10  A  900 (thỏa mãn) 18 90 90 900 4.900 2.900 Vậy x =  240 ; y =  300 ; z =  360 15 15 Số mét đường ba tổ thực tế phân chia là: 240m; 300m; 360m Phần đề Bài 3: (4đ) 3.1 2đ Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p  2012 hợp số Phần giải Cách 1: + Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng p  3k  1 k  , k  1 + Với p  3k      suy p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013  p  2012  Với p  3k  suy p  2012   3k  1  2012  9k  6k  2013  p  2012  2 Vậy p  2012 hợp số Cách 2: Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p không chia hết cho Khi : p khơng chia hết cho Suy ra: p chia dư nên Vậy p  2012 hợp số 3.2 2đ p  2012 3 Phần đề Tìm cặp số nguyên y( x  )  x( x  )  (  x )  Phần giải  x; y  thoả mãn: 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: y( x  )  x( x  )  (  x )  0, 25 ( x  )( y  x  )  Do : x  x  y  ước Lập bảng: 0,25 0,25 y(x - 2)+ x(x - 2) - (x - 2)= 5 x2 5 1 x  y 1 1 5 x 3 y 5 5 Vậy cặp số nguyên  x; y  :  3;3 , 1; 5  ,  3;3 ,  7; 5  Bài 4: (6đ) Phần đề (6đ) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Kẻ MH, NK vng góc với BC (H, K thuộc BC) Gọi I giao điểm MN BC 1) Chứng minh HBM  KCN I trung điểm đoạn thẳng MN 2) Qua I kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt tia phân giác Ax   PNC  góc BAC P Chứng minh PMB 3) Chứng minh M di động AB N di động tia đối tia CA thỏa mãn BM = CN P điểm cố định Phần giải 1,0 0,25 6đ 4.1 (2,5đ)  (vì ABC cân), mà   (đối đỉnh) + Ta có  ABC  ACB ACB  NCK  hay MBH   NCK  ABC  NCK    NCK  (cmt) Xét HBM KCN có: BM = CN (gt); MBH  HBM  KCN (cạnh huyền- góc nhọn) 4.2 (2,0đ) 4.3 (1,5đ) Bài 5: 2đ + Vì HBM  KCN suy HM = KN  MH  BC ( gt )   KNI   MH / / NK  HMI  NK  BC ( gt )    KNI  (cmt); MHI   NKI   900 ; HM = Xét HMI KNI có HMI KN (cmt) Từ HMI  KNI (g.c.g)  IM  IN Vậy I trung điểm MN Chứng minh IPM  IPN (c.g.c) nên MP = NP Chứng minh ABP  ACP(c.g.c) suy PB = PC   PNC  Chứng minh BMP  CNP(c.c.c) Suy PMB   ACP  Vì ABP  ACP  ABP   NCP  Từ BMP  CNP  MBP   ACP   900 (2 góc kề bù nhau) Từ suy NCP   900 Từ PB  AB , suy P cố định  MBP Phần đề 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 2đ Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn:  a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc  b c  ac  ab  Phần giải 2 Vì  a  b  c  nên  a  1b  1   ab   a  b  Tương tự ta có : Suy : Mà a bc  a bc   b ac c c (1) 0,25đ b b a a (2); (3)   bc  b  c ac  a  c 0,25đ ab  b ac    c ab  ab c ab    a bc 2a abc   b ac 2b abc  c ab  (4) 2c abc 0,25đ  (5) 0,25đ Từ (4) (5) suy ra: Tổng a bc   b ac   c ab  2 20điểm ...Câu Bài 1: 4đ Y Nôi dung Phần đề 1. 1 1? ? A 12 2    2 8  Điểm 4đ 10 5  25 49 ? ?12 5.7   14 Phần giải   74 A  12 12  9 3   12 12 3  1? ?? 12 4 10 10 ? ?1   10  12  3  1? ?? 59.73... 2022c 2021a 2022c  2021a    b.d 2022d 2021b 2022d  2021b 0,5đ 0,5đ Phần đề z  10 y 10 x  3z y  x Tìm x, y, z biết: x  3y  z  40   10 Phần giải z  10 y 10 x  3z  z  10 y  ? ?10 x ...      suy p  2 012   3k  1? ??  2 012  9k  6k  2 013  p  2 012  Với p  3k  suy p  2 012   3k  1? ??  2 012  9k  6k  2 013  p  2 012  2 Vậy p  2 012 hợp số Cách 2: Vì p số nguyên