WWW.VIETMATHS.COM
TRƯ
ỜNG THPT CHUY
ÊN NGUYÊN T
ẤT TH
ÀNH
TỔ: TOÁN
THI TH
Ử ĐẠI HỌC NĂM
H
ỌC 201
3
Môn thi: TOÁN; Lớp 12– Khối D
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ SỐ 3
PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
2 3 ( 1) 1
y x mx m x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
.
2. Tìm
m
để đường thẳng
2 1
y x
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn điểm
C 0;1
nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng
30
.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình
1
cos cos cos2 1.
4 4 3
x x x
2. Giải phương trình
3
3 1
1 12
2 6.2 1.
2
2
x x
x
x
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
4
0
tan x
I dx
4cosx sin x cosx
.
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với
mặt phẳng (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45
0
. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC. Tính thể tích khối đa diện MABC theo a.
Câu V (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số dương tùy ý thỏa mãn
abc 8
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 1 1
P
2a b 6 2b c 6 2c a 6
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(
1;2) và đường thẳng (
):
3 4 7 0
x y
. Viết
phương trình đường tròn đi qua điểm A và cắt đường thẳng (
) tại hai điểm B, C sao cho
ABC vuông tại A
và có diện tích bằng
4
5
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 1 2
:
2 1 1
x y z
và điểm A(2;1;2). Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa
sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
1
3
.
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển
( )
10
1 2x
+ .
( )
2
2
3 4x 4x
+ +
=
0
a
+
1
a
x+
2
a
x
2
+ .+
14
a
x
14
. Tìm giá trị của a
6
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I(2;
3). Biết đỉnh A, C lần lượt
thuộc các đường thẳng x + y + 3 = 0 và x +2y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
1
: 2
1
x t
d y t
z
;
WWW.VIETMATHS.COM
2
2 1 1
:
1 2 2
x y z
d
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
1
d
và
2
d
, sao cho khoảng cách từ
1
d
đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ
2
d
đến (P).
Câu VI.b (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
log ( 2 8) 6
8 2 .3 2.3
x x y x y
y x
.
Hết
TRƯ
ỜNG THPT CHUY
ÊN NGUYÊN T
ẤT TH
ÀNH
TỔ: TOÁN
ĐÁP ÁN
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 3
C
âu
N
ỘI DUNG
ĐI
ỂM
Câu
1
I.1
Với m=1 ta có
3 2
2 3 1
y x x
TXĐ: D=R
Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
0,25
-Ta có:
' 6 ( 1)
y x x
0
' 0
1
x
y
x
-BBT:
x
0 1
y’
+ 0
-
0 +
y
1
0
0,25
Hàm s
ố đồng biến tr
ên m
ỗi khoảng (
;0) và (1;
)
, h
àm s
ố nghịch biến tr
ên kho
ảng (0;1)
.
Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y
CĐ
=1, đạt cực tiểu tại x=1 và y
CT
=0.
0,25
Đồ thị:
- Ta có
1
'' 12 6 '' 0
2
y x y x
1 1
( ; )
2 2
I là điểm uốn của đồ thị.
- Đồ thị (C) cắt trục Oy tại
A 0;1
- Đồ thi cắt trục Ox tại
1
B 1;0 ;C ;0
2
0,25
I.2
Hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (Cm) của hàm số:
3 2
2 3 ( 1) 1
y x mx m x
là nghiệm
phương trình:
3 2
2 3 ( 1) 1 2 1
x mx m x x
0,25
WWW.VIETMATHS.COM
2
2
0 1
(2 3 3) 0
2 3 3 0 (*)
x y
x x mx m
x mx m
Đư
ờng thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm A; C; B phân biệt v
à C n
ằm giữa A v
à B khi và ch
ỉ khi
PT (*) có 2 nghiệm trái dấu
2.( 3) 0 3
m m
0,25
Khi đó tọa độ A và B thỏa mãn
3
2
3
.
2
A B
A B
m
x x
m
x x
và
2 1
2 1
A A
B B
y x
y x
( vì A và B thuộc (d))
0,25
AB =
30
2 2
( ) ( ) 30
B A B A
x x y y
2
2 2
9 3
( ) 6 ( ) 4 . 6 4. 6
4 2
B A B A B A
m m
x x x x x x
2
0
9 8 0 : 3
8
9
m
m m tmdk m
m
.
0,25
CÂU II
II.1
1
cos cos cos2 1
4 4 3
x x x
2
1
2cos .cos 2cos 1 1
4 3
x x
0,25
2
3 2 osx 2cos 4
c x
2
2cos 3 2 cos 4 0
x x
0,25
2
(cos 2 2)( cos )=0
2
x x
2
cos
2
x
3
2
4
x k
.
0,5
II.2
Giải: Viết lại phương trình có dạng:
3
3
3
2 2
2 6 2 1
2 2
x x
x x
(1)
0,25
Đặt
3
3
3 3
3
2 2 2 2
2 2 2 3.2 2 6
2 2 2 2
x x x x x
x x x x
t t t
0,25
Khi đó phương trình (1) có dạng:
3
2
6 6 1 1 2 1
2
x
x
t t t t
0,25
x x
(2 1)(2 2) 0
x
2 2 x 1
0,25
Câu II
Ta có:
4
2
0
tan x
I dx
4 tan x cos x
0,25
Đặt:
2
dx
tan x 4 t dt
cos x
. Đổi cận: Với
x 0 t 4; x t 3
4
Suy ra:
3
4
(t 4).dt
I
t
0,25
3
4
4
(1 )dt
t
3
4
(t 4ln t )
4
4ln 1
3
0,5
Câu
IV
BC AB
BC (SAB) BC SB
0,25
WWW.VIETMATHS.COM
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A. Theo chương tr
ình Chu
ẩn
VI.a
(2,0
điểm)
1. (1,0 đi
ểm)
Gọi AH là đường cao của
ABC
, ta có
4
( ; )
5
AH d A
.
1 4 1 4
. . . 2
2 5 2 5
ABC
S AH BC BC BC
. Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính của đường
tròn cần tìm, ta có
1
1
2
R AI BC
.
0,25
Suy ra góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc
SBA
.
Theo giả thiết
SBA
= 45
0
.
G
ọi M l
à trung đi
ểm của SC, H l
à trung đi
ểm của AC.
Tam giác SAC vuông tại A nên MA = MS = MC, tam giác SBC vuông tại B nên MB = MC = MS.
Suy ra M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
0,25
T
am giác SAB vuông cân t
ại A, do đó SA = AB = a.
SA
(ABC), MH // SA nên MH
(ABC). Suy ra MH là đư
ờng cao khối chóp M.ABC.
0,25
Suy ra
3
M.ABC ABC
1 a
V MH.S
3 12
.
0,25
Câu V
1 1 1 1 1 1 1
P P
b c a
2a b 6 2b c 6 2c a 6 2
a 3 b 3 c 3
2 2 2
.
Đặt:
; ; , , 0& . . 1
2 2 2
a b c
x y z x y z x y z
Khi đó:
1 1 1 1
2 2 3 2 3 2 3
P
x y y z z x
.
0,25
Mà ta có:
2 ; 1 2 2 3 2( 1)
x y xy x x x y xy x
1 1
2 3
2( 1)
x y
xy x
.
Tương tự:
1 1
2 3
2( 1)
y z
yz y
,
1 1
2 3
2( 1)
z x
zx z
Suy ra:
1 1 1 1
4
1 1 1
P
xy x yz y zx z
0.25
1 1 1 1 1
4 4 4
1 ( 1) ( 1) 1 1 ) 1
xy xy
x x
P P
xy x x yz y xy zx z xy x xy x x xy
Vậy maxP =
1
4
khi x = y = z = 1.
0,5
H
M
C
B
A
S
WWW.VIETMATHS.COM
Phương trình tham số của đường thẳng (
):
x 1 4t
y 1 3t
ì
= - +
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
.
I
Î
(
)
Þ
I(-1+4t; 1 + 3t). Ta có AI = 1
Û
16t
2
+ (3t – 1)
2
= 1
Û
t = 0 hoặc t =
9
5
.
0,25
+ t = 0
Þ
I(-1; 1). Phương trình của đường tròn là (x + 1)
2
+ (y – 1)
2
= 1.
0,25
+ t =
9
5
Þ
I(-
1
25
;
43
25
). Phương trình của đường tròn là (x +
1
25
)
2
+ (y –
43
25
)
2
= 1.
0,25
2. (1,0 đi
ểm)
Đường thẳng
đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là
u
= (2 ; -1 ; 1). Gọi
n
= (a ; b ; c ) là vtpt
của (P). Vì
( )
P
nên
. 0
n u
.
0,25
2a – b + c = 0
b = 2a + c
n
=(a; 2a + c ; c ) .
Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0
ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0.
0,5
d(A ; (P)) =
1
3
2 2 2
1
3
(2 )
a
a a c c
2
0
a c
0
a c
.
Ch
ọn a = 1 , c =
-
1
Suy ra phương tr
ình c
ủa mặt phẳng (P) l
à x + y
–
z = 0
.
0,25
VII.a
(1,0
điểm)
Cho khai triển
( )
10
1 2x
+
.
( )
2
2
3 4x 4x
+ +
=
0
a
+
1
a
x +
2
a
x
2
+ .+
14
a
x
14
. Tìm giá trị của a
6
.
( )
10
1 2x
+
.
( )
2
2
3 4x 4x
+ +
=
( )
10
1 2x
+
.
( )
2
2
2 1 2x
é ù
+ +
ê ú
ë û
= 4
( )
10
1 2x
+
+ 4
( )
12
1 2x
+
+
( )
14
1 2x
+
0,25
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
10
1 2x
+ là 4.2
6
.
6
10
C
.
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
12
1 2x
+ là 4.2
6
.
6
12
C
.
Hệ số của x
6
trong khai triển 4
( )
14
1 2x
+ là 2
6
.
6
14
C
.
0,5
Vậy a
6
= 4.2
6
.
6
10
C
+ 4.2
6
.
6
12
C
+ 2
6
.
6
14
C
= 482496.
0,25
B. Theo chương tr
ình Nâng cao
VI.b
(2,0
điểm)
1. (1,0 đi
ểm)
Vì
đi
ểm A thuộc đ
ư
ờng thẳng x + y + 3 = 0 v
à C thu
ộc đ
ư
ờng thẳng x+ 2y +
3 = 0 nên A(a;
-
a
–
3)
và C(- 2c – 3 ; c).
0,25
I là trung điểm của AC
2 3 4 1
3 6 4
a c a
a c c
A(-1; -2); C(5 ;-4)
0,25
Đường thẳng BD đi qua điểm I(2 ; -3 ) và có vtcp là
u
=(1;3) có ptts là
x 2 t
y 3 3t
B
BD
B(2+t ; -3 +3t). Khi đó :
AB
= (3 +t ;–1+3t);
CB
= (- 3+t; 1+3t)
. 0
AB CB
Û
t =
±
1.
0,25
V
ậy A(
-
1;
-
2); C(5 ;
-
4), B(3;0) và D(1;
-
6) ho
ặc A(
-
1;
-
2); C(5 ;
-
4), B(1;
-
6) và D(3;0)
0,25
2. (1,0 đi
ểm)
1
d
đi qua điểm A(1;2;1) và vtcp là :
1
1; 1;0
u
;
2
d
đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là:
2
1; 2;2
u
.
0,25
WWW.VIETMATHS.COM
Gọi
n
là một vtpt của (P), vì (P) song song với
1
d
và
2
d
nên
n
= [
1 2
;
u u
] = (-2 ; -2 ; -1)
(P): 2x + 2y + z + D = 0.
0,25
d(A; (P) = 2d( B;(P)) 7 2. 5
D D
7 2(5 )
7 2(5 )
D D
D D
3
17
3
D
D
0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z -
17
3
= 0.
0,25
VII.b
(1,0
điểm)
Giải hệ phương trình
2
log ( 2 8) 6 (1)
8 2 .3 2.3 (2)
x x y x y
y x
.
Đi
ều kiện: y
–
2x + 8 > 0
(1)
y – 2x + 8 =
6
2
2
y x
.
0,25
Thay
2
y x
vào phương trình (2), ta được
2 3
8 2 .3 2.3
x x x x
8 18 2.27
x x x
8 18
2
27 27
x x
3
2 2
2
3 3
x x
0,25
Đặt: t =
2
3
x
(t > 0)
Ta có phương trình
3 2
2 0 1 2 0
t t t t t
.
0
1 .
0
x
t
y
Vậy nghiệm của hệ phương trình (0;0).
0,5
. 4.2 6 . 6 10 C . Hệ số của x 6 trong khai triển 4 ( ) 12 1 2x + là 4.2 6 . 6 12 C . Hệ số của x 6 trong khai triển 4 ( ) 14 1 2x + là 2 6 . 6 14 C . 0,5 Vậy a 6 = 4.2 6 . 6 10 C + 4.2 6 . 6 12 C +. CHUY ÊN NGUYÊN T ẤT TH ÀNH TỔ: TOÁN THI TH Ử ĐẠI HỌC NĂM H ỌC 201 3 Môn thi: TOÁN; Lớp 12– Khối D Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ SỐ 3 PHẦN CHUNG DÀNH CHO. phương trình 2 log ( 2 8) 6 8 2 .3 2.3 x x y x y y x . Hết TRƯ ỜNG THPT CHUY ÊN NGUYÊN T ẤT TH ÀNH TỔ: TOÁN ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 3 C âu N ỘI DUNG