SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TỈNH THÁINGUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINHLỚP10THPT CHUYÊN
NĂMHỌC 2012 - 2013
MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
.
5 6 2 3
x x x
P
x x x x
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình:
2
2 1 3 0. 1x m x m
a. Chứng minh rằng với
m
phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
b. Tìm các giá trị của
m
để
22
12
xx
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3 (3,0 điểm)
a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2
3x 2x 5x 2 0yy
.
b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như
sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào
bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi.
Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu
bình phương của hai số nguyên (dạng
22
ab
).
Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác
ABC
, lấy điểm
M
nằm trong tam giác
ABC
, các đường
thẳng
,,AM BM CM
cắt các cạnh
,,BC CA AB
tương ứng tại
', ', '.A B C
a. Chứng minh rằng:
' ' '
1.
AA' ' '
MA MB MC
BB CC
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
MA' ' '
MA MB MC
f
MB MC
Hết
Họ và tên thí sinh:
SBD:
ĐÁP ÁN MÔNTOÁN CHUYÊN TIN.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a
(1 điểm)
Điều kiện:
0
4*
9
x
x
x
0,25
2 9 3 2 1
23
23
x x x
P
xx
xx
0,25
2 9 3 3 2 1 2
2
2 3 2 3
x x x x x
xx
x x x x
1 2 1
.
2 3 3
x x x
x x x
0,5
b
(1 điểm)
Với điều kiện (*)
4
1
3
P
x
0,25
Với
x
, để
P
thì
3 1; 2; 4x
0,25
4; 2; 5;1; 7x
0,25
1;4;16; 25;49x
0,25
Câu 2
a
(1 điểm)
Ta có
2
2
' 1 3 3 4m m m m
0,5
=
2
37
0, .
24
mm
0,5
b
(1 điểm)
Ta có
12
12
21
3
x x m
x x m
0,25
22
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2x 4 1 2 3 4 10 10x x x x x m m m m
0,25
=
2
5 15 15
2.
2 4 4
m
0,25
Vậy
22
12
xx
đạt giá trị nhỏ nhất là
15
4
khi
5
.
4
m
0,25
Câu 3
a
(1,5 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với
2
2x 1 3x 5x 2y
0,25
Vì
x
nên
2x 1 0
do đó
22
3x 5x 2 12x 20x 8 1
4 4 6x 7
2x 1 2x 1 2x 1
y y y
0,25
Do
,xy
nên
1
2x 1
là số nguyên, do đó
2x 1 1
hoặc
0,5
A
B
C
M
A'
B'
C'
2x 1 1
Từ đó tìm được 2 nghiệm
1;0 , 0; 2 .
0,5
b
(1,5 điểm)
Ta thấy
2012 1 30 .64 28
0,5
Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách
0,5
Lần đầu bốc 28 viên sỏi. Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số
viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên.
0,5
Câu 4
(1 điểm)
+ Ta có
22
x y x y x y
. Đây là tích của hai số nguyên có
cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra
22
xy
hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn
thì sẽ chia hết cho 4.
0,5
+ Ngược lại
- Nếu
n
lẻ thì
2
2
2 1 1n k k k
.
- Nếu
n
chia hết cho 4 thì
22
4 1 1n k k k
.
Vậy điều kiện cần và đủ để một số biểu diễn dưới dạng hiệu bình
phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4.
0,5
+ Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 1007 số lẻ và 503 số chia
hết cho 4. Vậy tổng số có 1510 số
0,5
Câu 5
a
(1 điểm)
Gọi
1 2 3
; ; ;
ABC MBC MCA MAB
S S S S S S S S
0,25
1 2 3 1 2 3
' ' '
1
AA' ' '
MA MB MC S S S S S S
BB CC S S S S
0,75
b
(1 điểm)
Ta có
1 2 3
1 1 1
AA' ' AA'
11
' ' '
MA MA S S S S S
MA MA MA S S S
Tương tự ta có
3 1 1 2
23
;
''
MB S S MC S S
MB S MC S
0,5
Do đó
2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 3
1 2 3 1 2 2 3 3 1
6
S S S S S S S S S S S S
f
S S S S S S S S S
0,25
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
1 2 3
S S S M
là trọng tâm của
tam giác
ABC
.
0,25
Chú ý: Nếu thísinh làm theo cách khác so với đáp án mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm
tối đa.
. TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) . phương của hai số nguyên là: Số đó là số lẻ hoặc chia hết cho 4. 0,5 + Trong các số tự nhiên từ 1 đến 2013 có 100 7 số lẻ và 503 số chia hết cho 4. Vậy tổng số có 1 510 số 0,5 Câu 5. biểu thức: . MA' ' ' MA MB MC f MB MC Hết Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN. Câu Nội dung Điểm Câu 1 a (1 điểm) Điều kiện: 0 4* 9 x x x