Chương 6 Chương 6 Dao động điều hòa Dao động tắt dần Dao động cưỡng bức GV Đặng Đức Dũng Mã học phần PH1110+PH1111 1 Bài 1 Dao động điều hòa • 1 Thành lập phương trình dao động điều hòa • Tác dụng lên[.]
Chương Dao động điều hòa- Dao động tắt dầnDao động cưỡng GV: Đặng Đức Dũng Mã học phần PH1110+PH1111 Bài 1: Dao động điều hịa • Thành lập phương trình dao động điều hịa 𝐹đℎ 𝑁 𝑃 • Tác dụng lên vật m có lực: 𝐹đℎ ; 𝑃 𝑁 • Phương trình định luật II Newton: 𝐹đℎ + 𝑃 + 𝑁 = 𝑚𝑎Ԧ (1) • Chiếu phương trình (1) xuống phương chuyển động: −𝐹đℎ = 𝑚𝑎 −𝑘𝑥 = • Đặt 𝜔𝑜2 = 𝑘 𝑚 Phương trình (2) có dạng: • Tìm nghiệm phương trình (3) dạng: 𝒙 = 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑥 𝑚 = (2) + 𝜔𝑜2 𝑥 = (3) 𝑑𝑥 𝑑2𝑥 𝑟𝑡 = 𝐴𝑟𝑒 = 𝐴𝑟 𝑒 𝑟𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑟 + 𝜔𝑜2 = 𝑟 = ±𝑖𝜔𝑜 𝒙 = 𝑨𝒆𝒓𝒕 • Thay (4) vào (3): 𝐴𝑟 𝑒 𝑟𝑡 + 𝜔𝑜2 𝐴𝑒 𝑟𝑡 = 𝑑2𝑥 𝑚 𝑑𝑡 • 𝒙 = 𝑨𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒐 𝐭 + 𝝋) : Phương trình dao động điều hịa (4) 𝑨𝒆±𝒊𝝎𝒐 𝒕 Bài 1: Dao động điều hòa • Thông số vật lý dao động điều hịa • Tần số góc: 𝝎𝒐 = 𝒌 𝒎 • Chu kỳ dao động: 𝑻 = • Tần số dao động: 𝒇 = • 𝟐𝝅 𝝎𝒐 𝟏 𝑻 = 𝟐𝝅 = 𝟐𝝅 𝒎 𝒌 𝒌 𝒎 𝒅𝒙 Vận tốc chuyển động: 𝒗 = 𝒗 = 𝑨𝝎𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒕(𝝎𝒐 𝐭 + 𝝋) 𝒅𝒕 𝒅𝒗 Gia tốc chuyển động: 𝒂 = 𝒂 = −𝑨𝝎𝟐𝒐 𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒐 𝐭 + 𝝋) 𝒅𝒕 • • Lực đàn hồi: 𝑭đ𝒉 = −𝒌𝒙 𝑭đ𝒉 = −𝒌𝑨𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒐 𝐭 + 𝝋) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 • Năng lượng năng: 𝑾𝒕 = 𝒌𝒙𝟐 𝑾𝒕 = 𝒌𝑨𝟐 𝒔𝒊𝒏𝟐 (𝝎𝒐 𝐭 + 𝝋) 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝑾𝒄 = 𝒌𝑨𝟐 𝟐 • Năng lượng động năng: 𝑾đ = 𝒎𝒗𝟐 𝑾đ = 𝒎𝝎𝟐𝒐 𝑨𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝝎𝒐 𝐭 + 𝝋) • Năng lượng năng: 𝑾𝒄 = 𝑾𝒕 + 𝑾đ = 𝟏 𝒎𝝎𝟐𝒐 𝑨𝟐 𝟐 Bài 2: Dao động tắt dần • Thành lập phương trình dao động tắt dần • Giả sử ngồi tác dụng lực hồi phục (𝐹đℎ ) tác dụng thêm lực cản tỷ lệ bậc với vận tốc (𝐹𝑐 = −𝑣) Ԧ • Phương trình định luật II Newton theo phương chuyển động: • −𝑭đ𝒉 − 𝒗 = 𝒎𝒂 −𝑘𝑥 − • Đặt ൞ 2𝛽 = 𝜔𝑜2 = 𝑚 𝑘 𝑚 𝑑𝑥 𝑘 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑥 =𝑚 2+ + 𝑥=0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙 có dạng: 𝟐 + 𝟐𝜷 + 𝝎𝟐𝒐 𝒙 = 𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Phương trình (1) • Tìm nghiệm phương trình vi phân (2) dạng: 𝒙 = 𝑨𝒆 𝒓𝒕 𝟐 • Thay (3) vào (2): 𝐴𝑟 𝑒 𝑟𝑡 + 2𝛽𝐴𝑟𝑒 𝑟𝑡 + 𝜔𝑜2 𝐴𝑒 𝑟𝑡 = 𝒓 • ∆′ = 𝜷𝟐 − 𝝎𝟐𝒐 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = 𝑨𝒓𝒆 𝒓𝒕 (1) (2) 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐 = 𝑨𝒓𝟐 𝒆𝒓𝒕 (3) + 𝟐𝜷𝒓 + 𝝎𝟐𝒐 = 𝟎 (4) Bài 2: Dao động tắt dần • Thành lập phương trình dao động tắt dần 𝒙 • Nếu ∆′ > 0; phương trình (4) 𝒓𝟐 + 𝟐𝜷𝒓 + 𝝎𝟐𝒐 = 𝟎, có nghiệm: 𝑟1 = ∆′ − 𝛽 𝑥 = 𝐴𝑒 • phương trình (2) có nghiệm: 𝑟2 = − ∆′ − 𝛽 𝑥2 = 𝐴𝑒 − • 𝒙𝟏,𝟐 = 𝑨𝒆 𝒙 = 𝐴𝑒 ∆′ −𝛽 𝑡 ∆′ −𝛽 𝑡 ∆′ +𝛽 𝑡 𝐎 𝒕 ∆′ −𝜷 𝒕 Vật không dao động nhanh chóng dịch chuyển vị trí cân theo thời gian 𝒙 • Nếu ∆′ = 0; phương trình (4) 𝒓𝟐 + 𝟐𝜷𝒓 + 𝝎𝟐𝒐 = 𝟎, có nghiệm: • 𝒓𝟏 = 𝒓𝟐 = −𝛽 phương trình (2) có nghiệm: 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝑨𝒕 + 𝑩 𝒆−𝜷𝒕 𝒙 = 𝑨𝒕 + 𝑩 𝒆−𝜷𝒕 • Vật khơng dao động nhanh chóng dịch chuyển vị trí cân 𝐎 theo thời gian 𝒕 Bài 2: Dao động tắt dần • Thành lập phương trình dao động tắt dần • Nếu ∆′ < 0; đặt ∆′ = 𝜷𝟐 − 𝝎𝟐𝒐 = −𝝎𝟐 ; phương trình (4) 𝒓𝟐 + 𝟐𝜷𝒓 + 𝝎𝟐𝒐 = 𝟎, có nghiệm: 𝑟1 = 𝑖𝝎 − 𝛽 𝑥1 = 𝐴𝑒 𝑖𝝎−𝛽 𝑡 • ቈ phương trình (2) có nghiệm: 𝑟2 = −𝑖𝝎 − 𝛽 𝑥2 = 𝐴𝑒 − 𝑖𝝎+𝛽 𝑡 • 𝒙𝟏,𝟐 = 𝑨𝒆 𝒊𝝎−𝜷 𝒕 𝒙𝟏,𝟐 = 𝑨𝒆𝒊𝝎𝒕 𝒆−𝜷𝒕 𝒙 • 𝒙 = 𝑨𝑒 −𝛽𝑡 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝐭 + 𝝋) • phương trình dạng dao động, biên độ giảm theo hàm mũ 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐𝜷 + 𝝎𝟐𝒐 𝒙 = 𝟎 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒙 = 𝑨𝑒 −𝛽𝑡 𝐎 𝒕 𝒙 = −𝑨𝑒 −𝛽𝑡 Bài 2: Dao động tắt dần • Một số đại lượng vật lý dao động tắt dần 𝑚 𝑘 𝜔𝑜2 = 𝑚 • a) Chu kỳ dao động tắt dần • 𝑇= 2𝜋 𝜔 = 2𝜋 𝜔𝑜2 −𝛽2 𝑻= 2𝛽 = 𝟐𝝅 𝟐 𝒌 − 𝒎 𝟒𝒎𝟐 • Chu kỳ dao động phụ thuộc vào cấu tạo hệ mà cịn phụ thuộc vào mơi trường • b) Biên độ dao động tắt dần- Giản lượng loga • 𝛿 = 𝑙𝑛 𝐴(𝑡) 𝐴(𝑡+𝑇) 𝛿 = 𝑙𝑛 𝑨𝑒 −𝛽𝑡 𝑨𝑒 −𝛽(𝑡+𝑇) = 𝑙𝑛𝑒 𝛽𝑇 𝜹 = 𝜷𝑻 𝜹 = 𝝅 𝑚 𝟐 𝒌 − 𝒎 𝟒𝒎𝟐 • c) Điều kiện hệ số nhớt môi trường để vật dao động tắt dần 2 𝑘 𝟐 𝟐 • 𝜷 − 𝝎𝒐 < 𝟎 < 𝟐 𝒌𝒎 4𝑚 𝑚 • d) Năng lượng dao động tắt dần Bài 3: Dao động cưỡng bức-Điều kiện cộng hưởng • Thành lập phương trình dao động cưỡng • Giả sử tác dụng lên vật: lực hồi phục (𝐹đℎ = −𝑘𝑥); lực cản (𝐹𝑐 = −𝑣) lực tác dụng tuần hồn 𝐹 = 𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑡 • Phương trình định luật II Newton vật theo phương chuyển động Ox: 𝑑𝑥 𝑘 𝑑2 𝑥 𝐹𝑜 • −𝑘𝑥 − 𝜂𝑣 + 𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑚𝑎 + + 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 (1) 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚 𝑚 • Phương trình vi phân (1) cho nghiệm: • 𝒙 = 𝐴1 𝑒 −𝛽𝑡 𝒔𝒊𝒏 𝝎𝐭 + 𝝋1 + 𝐴2 cos(𝑡 + 𝝋2 ) • Sau thời gian, nghiệm dao động tắt dần giảm 0, nghiệm có dạng: • 𝒙 = 𝐴2 cos(𝑡 + 𝝋2 ) Bài 3: Dao động cưỡng bức-Điều kiện cộng hưởng • Thành lập phương trình dao động cưỡng • 𝒙 = 𝐴2 cos(𝑡 + 𝝋2 ) 𝐹𝑜 • 𝐴2 = 𝑚 • 𝑡𝑔𝜑2 = −𝜔2 +4𝛽 2 2𝛽 − 2 𝜔 − • Phương trình dao động cưỡng t đủ lớn 𝐹𝑜 •𝒙= 𝑚 2−𝜔2 +4𝛽 2 cos(𝑡 2𝛽 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 2 )) −𝜔 Bài 3: Dao động cưỡng bức-Điều kiện cộng hưởng • Hiện tượng cộng hưởng • Phương trình dao động vật: 𝐹𝑜 •𝑥= 𝑚 2 −𝜔2 +4𝛽 2 cos(𝑡 + • Biên độ đạt giá trị cực đại: 𝐴max = 𝒌 𝒎 2𝛽 actg( 2 )) −𝜔 𝐹𝑜 2𝑚𝛽 = 𝜔 𝟐 • Với 𝜔 = − 𝟐 : phụ thuộc vào cấu tạo riêng hệ dao 𝟒𝒎 động mà phụ thuộc vào môi trường mà vật dao động 10 ...