Chương III Cấu trúc đại số I Phép toán hai ngôi 1 1 Định nghĩa phép toán hai ngôi Cho X là một tập hợp Ta gọi một phép toán trên X là một ánh xạ T X X X từ tích Decartes X X vào X Như vậy phép t[.]
Chương III Cấu trúc đại số I- Phép toán hai ngơi: 1.1 Định nghĩa phép tốn hai ngơi Cho X tập hợp Ta gọi phép toán X ánh xạ T:XX X từ tích Decartes X X vào X Như phép toán T đặt cặp phần tử (x, y) tập X X với phần tử T(x, y) X Phần tử T(x, y) gọi kết phép toán T Thay cho cách viết T(x,y) ta viết xTy thay cho kí hiệu T ta viết ký hiệu khác +, , * , o, x + y đọc x cộng y kết gọi tổng x y x.y (hay xy) đọc x nhân y kết gọi tích x y Ví dụ 1: Với phép toán vế phải “phép toán” mà ta quen biết a) T1(x, y) = x + y phép toán N*, N, Z, Q, R b) T2 (x, y) = x.y phép toán N*, N, Z, Q, R c) T3(x, y) = xy phép tốn N* Ví dụ 2: Kí hiệu XX tập ánh xạ từ X vào Khi phép hợp thành hai ánh xạ f, g XX T4 (f, g) = gof phép tốn XX Ví dụ 3: a) Phép trừ phép tốn Z khơng phép tốn N b) Phép chia phép toán Q* khơng phép tốn Q, khơng phép tốn Z* 1.2 Phép toán cảm sinh Một phận A X gọi ổn định (đối với phép toán * X) với x, y A có x * y A Nếu phép tốn * ổn định A thì: T : A A A, T(x, y) = x * y ánh xạ, phép toán A Phép toán tập A gọi phép toán cảm sinh phép tốn * X Ví dụ 4: a) Phép cộng N ổn định tập Z, số nguyên chẵn Do phép cộng N cảm sinh phép cộng Z b) Phép trừ Z không ổn định tập N Do phép trừ Z khơng cảm sinh phép tốn N Ví dụ 5: Trên R xét phép toán aob = a + b - ab Phép toán o ổn định tập S = [0, 1] Thật vậy, aob = a + b - ab = a(1 - b) + b Với a, b S: < a(1 - b) + b < (1 - b) + b = Vậy aob S với a, b S 1.3 Các tính chất đặc biệt phép tốn a Tính chất kết hợp Cho * phép toán tập X Phép tốn * gọi có tính chất kết hợp x, y, z X ta có: (x * y) * z = z * (y * z) Ví dụ 6: a) Phép +, N, Z, Q, R kết hợp b) Phép - Z không kết hợp Chẳng hạn (1- 2) - - (2 - 3) c) Phép luỹ thừa N* không kết hợp Chẳng hạn ( 21 ) ( 2) 2 d) Phép hợp thành ánh xạ XX kết hợp b Tính chất giao hốn Cho * phép toán tập X Phép tốn * gọi có tính chất giao hốn x, y X ta có x * y = y * x Ví dụ 7: a) Phép +, N, Z, Q, R giao hoán b) Phép - Z khơng giao hốn Chẳng hạn - 2- c) Nếu X có nhiều phần tử phép tốn hợp thành o X X khơng giao hốn Thật vậy, giả sử a, b X, a b Gọi f g XX ánh xạ xác định f(x) = a với x X g(x) = b với x X Khi gof(a) = b, fog(a) = a Vậy gof fog c) Tính giản ước được: Cho X tập hợp, *là phép toán X Phần tử a thuộc X - Ta nói a quy (hoặc giản ước được) trái * (x, y) X2, a * x = a * y x = y - Ta nói a quy (hoặc giản ước được) phải * (x, y) X2: x * a = y * a x = y - Ta nói a quy (hoặc giản ước được) a quy trái phải * 1.4 Các phần tử đặc biệt phép toán a Phần tử trung hồ Cho * phép tốn tập X Phần tử e’ X (e” X) gọi phần tử trung hoà bên trái (phải) phép toán * với x X e’ * x = x (x * e” = x) Phần tử e gọi phần tử trung hoà phép toán * e vừa phần tử trung hoà bên trái vừa phần tử trung hoà bên phải, tức với x X e * x = x * e = x Định lí Cho * phép tốn X Khi e’ phần tử trung hoà bên trái e” phần tử trung hoà bên phải * e’ = e” Chứng minh Do e’ phần tử trung hoà bên trái nên e’ * e” = e” Do e” phần tử trung hoà bên phải nên e’ * e” = e’ Từ hai đẳng thức suy e’ = e” Hệ Phần tử trung hồ phép tốn *, có, Ví dụ a) phần tử trung hoà phép cộng N, Z, Q, R b) phần tử trung hoà phép nhân N*, N, Z, Q, R c) phần tử trung hoà bên phải phép trừ Z khơng phải phần tử trung hồ bên trái d) ánh xạ đồng IX phần tử trung hồ phép tốn o XX b Phần tử đối xứng Cho * phép toán X có phần tử trung hồ e Phần tử x’ X (x” X) gọi phần tử đối xứng bên trái (phải) phần tử x X nếu: x’ * x = e (x * x” = e) Phần tử x’ gọi phần tử đối xứng x x’ vừa phần tử đối xứng bên phải vừa phần tử đối xứng bên trái x, tức x’ * x = x * x’ = e Nếu x có phần tử đối xứng x gọi phần tử khả đối xứng Định lí Nếu phép tốn * X kết hợp, x’ phần tử đối xứng bên trái x, x” phần tử đối xứng bên phải x x’ = x” Chứng minh Theo giả thiết ta có x’ = x’ * e = x’ * (x * x”) = (x’ * x) * x” = e * x” = x” Vậy x’ = x” Hệ Nếu phép tốn kết hợp phần tử đối xứng phần tử có Ví dụ a) Trên Z, Q, R với phép cộng, phần tử x có phần tử đối xứng -x b) Trên Q*, R* với phép nhân, phần tử x có phần tử đối xứng x-1 c) Trên XX với phép toán o, phần tử f khả đối xứng f song ánh Phần tử đối xứng f ánh xạ ngược f-1 f d) Nếu e phần tử trung hồ phép tốn * X e khả đối xứng phần tử đối xứng e * Chú ý: Nếu phép tốn X phép cơng (+) phần tử trung hồ thường gọi phần tử khơng, kí hiệu 0x 0; phần tử đối xứng x gọi phần tử đối x, kí hiệu - x Nếu phép tốn X phép nhân (.) phần tử trung hoà thường gọi phần tử đơn vị, kí hiệu 1x 1; phần tử khả đối xứng gọi phần tử khả nghịch, phần tử đối xứng x gọi phần tử nghịch đảo x, kí hiệu x -1 Cũng với phép nhân số thông thường dấu (.) thương bỏ II Nửa nhóm 2.1 Định nghĩa nửa nhóm Cho X tập * phép toán X Tập X với phép toán * kí hiệu (X, *) X (X, *) gọi nửa nhóm phép tốn * có tính chất kết hợp (X, *) gọi vị nhóm phép tốn * kết hợp có phần tử trung hồ Nửa nhóm (vị nhóm) (X, *) gọi nửa nhóm (vị nhóm) giao hốn phép tốn * giao hốn Ví dụ 11 a) (N*, + ) nửa nhóm giao hốn, khơng vị nhóm; ( N, + ) vị nhóm b) (N*, ), (N, ), (Z, ) vị nhóm giao hốn c) (XX, o) vị nhóm Nếu X có nhiều phần tử vị nhóm khơng giao hốn Ví dụ 12 Cho X tập hợp Trên X xét phép toán x * y = x với x, y X (X, *) nửa nhóm Thật vậy, x, y, z X, ta có: (x * y) * z = x * z = x; x * ( y * z) = x * y = x nên (x*y) * z = x * ( y * z) Vậy phép toán * kết hợp Nếu X có phần tử nửa nhóm (X, *) khơng giao hốn Thật vậy, giả sử x, y X, x y, ta có x * y = x, y * x = y, tức x * y y * x Mọi y X phần tử trung hoà bên phải Thật vậy, x X ta có x * y = x nên y phần tử trung hoà bên phải Nếu X có phần tử X khơng có phần tử trung hồ bên trái Thật vậy, với y X, chọn x X, x y Khi y * x = y x nên y khơng phần tử trung hồ bên phải 2.2 Tích phần tử nửa nhóm Định lý 3: Giả sử x1, x2 , xn n (n 3) phần tử (phân biệt khơng) nửa nhóm X, thì: x1x2 xn = (x1 xi)(xi+1 xJ) (xm+ xn) Chứng minh: Vì X nửa nhóm nên mệnh đề với n = Giả sử mệnh đề cho k nhân tử, ta chứng minh mệnh đề với k + Thật vậy: (x1 xi)(xi+1 xJ ) (xm+1 xk+1) = [(x1 xi) (xe+1 xm)] (xm+1 xk+1) = (x1 xm) [(xm+1 xk+1)] = (x1 xm)[(xm+1 xk)xk+1] = [(x1 xm)(xm+1 xk)] xk+1 = (x1 xk)xk+1 = x1x2 xk+1 Định lí Cho x1, x2, , xn phần tử nửa nhóm giao hốn X Khi x1x2 xn = x(1) x(2) x(n) hốn vị số 1, 2, ,n Chứng minh Hiển nhiên kết với n < Giả sử kết với n -1 > 3, ta chứng minh kết với n Với hoán vị bất kì, đặt (n) = k ta có a1a2 an = (a1 ak-1) ak(ak+1 an) (theo định lí 1) = (a1 ak-1) (ak+1 an) ak = (a1 ak-1ak+1 an) ak = (a(1) a(2) a(n-1)) a(n) (do giả thiết quy nạp) = a(1) a(2) a(n-1) a(n) Nhận xét : 1) Theo định lí 4, với a, b X, X nửa nhóm giao hốn n N* ta có (ab)n = anbn 2) Nếu X nửa nhóm cộng giao hốn quy tắc 1) trở thành n(a + b) = na + nb 2.3 Tính chất phần tử khả nghịch Định lí Cho X vị nhóm với phần tử đơn vị 1X Khi 1) 1X 1X = 1X 2) x X khả nghịch x-1 khả nghịch (x-1)-1 = x 3) x, y X khả nghịch xy khả nghịch (xy)-1= y-1x-1 Chứng minh 1) Vì 1X1X = 1X 2) Vì xx-1 = x-1x = 1X 3) Vì (y-1x-1)(xy) = y-11Xy = y-1y = 1X (xy) (y-1x-1) = x 1Xx-1 = xx-1 = 1X Nhận xét Nếu (X, +) vị nhóm với phần tử khơng X quy tắc định lí trở thành 1) - 0X = 0X 2) - (-x) = x x có phần tử đối 3) - (x+y) = -y - x x, y có phần tử đối ta sử dụng kí hiệu x + (-y) = x-y, đọc x trừ y, y có phần tử đối 2.4 Luật giản ước Phần tử a nửa nhóm nhân X gọi thoả mãn luật giản ước x, y X, ta có: ax = ay suy x = y xa = ya suy x = y Định lí Nếu a phần tử khả nghịch vị nhóm X a thoả mãn luật giản ước Chứng minh Với x, y X ta có ax = ay a-1 (ax) = a-1 (ay) (a-1a)x = (a-1a)y 1Xx = 1Xy x=y Tương tự ta có xa = ya x = y 2.5 Nửa nhóm a Định nghĩa: - Giả sử (X, *) nửa nhóm tuỳ ý, A tập X Khi A gọi nửa nhóm X A ổn định X - A nửa nhóm vị nhóm X chứa phần tử trung hồ X A gọi vị nhóm X b Tiêu chuẩn nửa nhóm con: Tập A nửa nhóm (X, ) gọi nửa nhóm X với x, y A x*y A Ví dụ 13 Trong tập Z xét C tập số chẵn L tập số lẻ Khi C vị nhóm vị nhóm (Z, +), L vị nhóm vị nhóm (Z, ) Ví dụ 14 Xét tập R với phép toán aob = a + b - ab tập S = [0, 1] Với a, b, c, R ta có (aob)oc = (a + b - ab)oc = a + b - ab + c - c(a + b - ab) = a + b + c - ab - ac - bc + abc Tương tự ta tính ao(boc) có (aob)oc = ao(boc) Vì phép tốn o kết hợp nên (R, o) nửa nhóm Mọi a, b R, ta có aob = a+ b - ab = b + a - ba = boa nên phép toán o giao hoán Mọi a R, ta có ao0 = a + - a0 = a, 0oa = a Do phần tử trung hồ phép tốn o Vậy (R, o) vị nhóm giao hốn Theo ví dụ 5, S nửa nhóm (R, o) Do S nên S vị nhóm (R, o) Ví dụ 15 Nếu X nửa nhóm X nửa nhóm X Nếu X vị nhóm X {1X} vị nhóm X 2.6 Đồng cấu nửa nhóm Cho hai nửa nhóm (X, *) ( Y, o) Một ánh xạ f : XY gọi đồng cấu nửa nhóm f(x * y) = f(x)of(y) với x, y X Nếu X Y vị nhóm đồng cấu nửa nhóm gọi đồng cấu vị nhóm Khi ánh xạ f đơn ánh, tồn ánh, song ánh đồng cấu f tương ứng gọi đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu Ví dụ 16 Cho f : (N, +) (N, ) f(n) = 2n Ta có f(m+n) = 2m+n = 2m.2n = f(m) f(n) với m, n N, nên f đồng cấu Dễ thấy f đơn ánh nên f đơn cấu từ (N, +) vào (N, ) Chú ý f đơn cấu vị nhóm Ví dụ 17 a) Cho X nửa nhóm (vị nhóm) Khi ánh xạ đồng IX : X X, IX(x) = x với x X đẳng cấu nửa nhóm (vị nhóm) b) Cho A nửa nhóm X Khi ánh xạ jA : A X, jA(x) = x với x A đơn cấu nửa nhóm, gọi phép nhúng tắc A vào X c) Cho X nửa nhóm, Y vị nhóm Khi ánh xạ f: X Y, f(x) = 1Y với x X đồng cấu nửa nhóm Đặc biệt, X vị nhóm ánh xạ f : X X, f(x) = 1X với x X đồng cấu vị nhóm Định lí Cho f : (X, *) (Y, o) đồng cấu nửa nhóm Khi 1) A nửa nhóm X f(A) nửa nhóm Y 2) B nửa nhóm Y f-1(B) nửa nhóm X Chứng minh 1) Lấy tuỳ ý y 1, y2 f(A) Khi tồn x 1, x2 A cho f(x1) = y1, f(x2) = y2 Từ y1oy2 = f(x1) o f(x2) = f(x1* x2) Vì x1* x2 A nên y1o y2 f(A) Vậy f(A) nửa nhóm Y 2) Lấy tuỳ ý x1, x2 f-1(B) Khi f(x1), f(x2) B Do B nửa nhóm nên f(x 1) o f(x2) = f(x1*x2) B Suy x1* x2 f-1(B) Vậy f-1(B) nửa nhóm X Ví dụ 18 Theo ví dụ 16 ta có f(N) = {2n n N} nửa nhóm nhóm (N, ) 2.7 Nửa nhóm thứ tự a Định nghĩa Cho (X, *) nửa nhóm giao hốn < quan hệ thứ tự toàn phần X Nếu x, y, z X x