NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.

NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN PHẠM MẠNH TUYẾN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ PHẠM MẠNH TUYẾN VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MƠ HÌNH K-GAUSS-BONNET LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành vật lý lý thuyết vật lý toán 2022 Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ PHẠM MẠNH TUYẾN NGHIÊN CỨU NGHIỆM LẠM PHÁT VŨ TRỤ TRONG MÔ HÌNH K-GAUSS-BONNET Chuyên ngành: Mã số: Vật lý lý thuyết lý thuyết toán 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Đỗ Quốc Tuấn Hà Nội - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài nghiên cứu luận văn cơng trình nghiên cứu thực hướng dẫn TS Đỗ Quốc Tuấn Các kết tơi làm việc tính tốn kết nghiên cứu đảm bảo trung thực khách quan Các kết có luận văn "Nghiên cứu nghiệm lạm phát vũ trụ mơ hình k-Gauss-Bonnet" kết không trùng lặp với nghiên cứu cơng bố trước Các kết tính tốn nêu luận văn trung thực sai tơi hồn tồn chịu trách nhiệm Hà Nội, Ngày tháng năm 202 Phạm Mạnh Tuyến LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, cho phép gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Đỗ Quốc Tuấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình giúp đỡ, quan tâm dạy tơi suốt trình thực đề tài luận văn Thầy định hướng công việc, giúp trau dồi kiến thức chuyên môn kỹ nghiên cứu tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn với kết tốt Tôi xin gửi lời cảm ơn Học viện khoa học công nghệ giúp trau dồi kiến thức chun mơn để hồn thiện luận văn Tơi gửi lời cảm ơn đến viện nghiên cứu tiên tiến Phenikaa (PIAS) trường đại học Phenikaa giúp đỡ, tạo điều kiện môi trường làm việc thuận lợi cho suốt thời gian học tập làm việc Hà Nội Tôi xin cảm ơn quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia Nafosted tài trợ phần kinh phí cho luận văn đề tài với mã số 103.01-2020.15 Tôi xin gửi lời cảm ơn lời tri ân tới gia đình bạn bè, người ln bên động viên, ủng hộ giúp đỡ thời gian thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian ngắn lượng kiến thức thân chưa thực hồn thiện nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế, tơi mong nhận góp ý, dẫn thầy, giáo bạn để luận văn hồn thiện Mục lục MỞ ĐẦU MƠ HÌNH CHUẨN CỦA VŨ TRỤ HỌC 2.1 Vũ trụ đồng đẳng hướng 2.1.1 2.1.2 2.2 Friedmann-Robertson-Laimaitre-Walker Metric Dịch chuyển đỏ tọa độ đồng chuyển động Các phương trình trường Einstein 2.2.1 Mơ hình vũ trụ học chất lỏng hoàn hảo 2.2.2 2.2.3 Mật độ tới hạn tham số mật độ Phương trình bảo tồn lượng 2.3 Mơ hình ΛCDM 2.4 Khoảng cách vũ trụ học 2.5 2.4.1 2.4.2 Khoảng cách đồng chuyển động khoảng cách riêng Khoảng cách chân trời 2.4.3 Khoảng cách độ trưng 2.4.4 Khoảng cách đường kính góc Lịch sử nhiệt vũ trụ LẠM PHÁT VŨ TRỤ 3.1 Các khái niệm lạm phát 3.2 Các vấn đề vũ trụ học BigBang 3.2.1 3.2.2 3.3 Cơ chế gây lạm phát 3.3.1 3.4 Vấn đề độ phẳng Vấn đề chân trời Cơ sở lý thuyết cho lạm phát vũ trụ Lạm phát cuộn chậm 3.4.1 Điều kiện cho lạm phát cuộn chậm 3.4.2 Các tham số cuộn chậm 3.4.3 Số e - folds 10 10 12 13 14 15 16 18 19 20 20 21 21 22 23 25 25 26 26 28 30 31 34 38 39 41 3.4.4 Tổng kết lạm phát cũ slow roll inflation 42 3.5 Mơ hình lạm phát k (k inflation) 43 3.6 Mơ hình lạm phát Gauss-Bonnet 45 3.6.1 Vai trò số hạng Gauss-Bonnet 45 3.6.2 Tổng quan mơ hình lạm phát Gauss-Bonnet 46 MƠ HÌNH LẠM PHÁT k-GAUSS-BONNET 4.1 4.2 4.3 4.4 50 Thiết lập 51 Lạm phát theo quy luật lũy thừa (power-law inflation) 52 Phân tích ổn định (stability analysis) 54 4.3.1 Phương pháp động lực học (Dynamical system method) 54 4.3.2 Phương pháp nhiễu loạn lũy thừa (power-law perturbation method) 61 Nhiễu loạn tensor mơ hình k GB 64 4.4.1 Tổng quan lý thuyết nhiễu loạn vũ trụ 64 4.4.2 Nhiễu loạn tensor mơ hình k GB 66 KẾT LUẬN 70 PHỤ LỤC 72 6.1 Dẫn phương trình trường Einstein từ phiếm hàm tác dụng 72 6.2 Phương trình trường không thời gian phẳng đồng đẳng hướng 79 6.3 Code Mathematica kiểm tra chéo tính tốn 84 6.4 Code Mathematica xét tính ổn định mơ hình phương pháp động lực học 86 6.5 Code Mathematica xét tính ổn định mơ hình phương pháp nhiễu loạn lũy thừa 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 Danh sách hình vẽ 2.1 Sự phân bố thiên hà thành đám thang đo nhỏ trở nên đồng thang đo lớn thời kỳ đầu [74] 11 2.2 Khoảng cách đường kính góc 23 3.1 Bức xạ vi sóng vũ trụ (CMB) - Hình ảnh cung cấp vệ tinh 3.2 Planck Cơ quan Vũ trụ châu Âu ESA 28 Các vùng ngắt kết nối nhân [74] 29 3.3 Trường lượng tử đồ thị tương ứng với cường độ trường 31 3.4 Trạng thái chân không trường lượng tử 32 3.5 3.6 Trạng thái giả chân không hay mức lượng tối thiểu cục 32 Trường vô hướng không thời gian Minkowski dạng 37 3.7 Trường inflaton chế slow-roll 37 3.8 3.9 Lạm phát cũ 42 Lạm phát cuộn chậm 42 3.10 Hệ số thang đo hàm thời gian với C = kλk = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 10 (từ xuống dưới) [32, 33] 48 3.11 Sự phát triển theo thời gian bình phương tốc độ âm hiệu dụng c2s mơ hình vẽ dạng hàm số lần e gấp [46] 49 ζ± hàm λ Trong đó,Đường màu đỏ phía tương ứng với ζ+ đường cong nét liền màu xanh ζ− 53 4.2 Tính chất ổn định khơng gian pha chiều 60 4.3 Tính chất ổn định không gian pha chiều 61 4.1 Chương MỞ ĐẦU Ngày nay, phát triển vượt bậc khoa học kỹ thuật với tiền đề phát triển ngành khoa học Kỷ nguyên nhân loại hướng vào vũ trụ nơi mà thực tế phần lớn vùng tối hiểu biết loài người Gần vào 19 20 phút ngày 25 tháng 12 năm 2021 nhân loại phóng thành cơng kính viễn vọng không gian hệ James Webb với kỳ vọng có nhìn xa q khứ nơi thiên hà hình thành bên cạnh kỳ vọng xuất sống hành tinh Một lĩnh vực có tác động mạnh mẽ đến hiểu biết người vũ trụ vũ trụ học Vũ trụ học nghiên cứu hình thành, trình phát triển kết thúc toàn vũ trụ, nghiên cứu vũ trụ khía cạnh lý thuyết người ta kỳ vọng lý thuyết hấp dẫn lượng tử trở thành lý thuyết cuối giúp mô tả tương tác hấp dẫn mức lượng cao tạo điều kiện cho thống tương tác khác từ cho ta nhìn lịch sử hình thành tiến hóa tồn vũ trụ Tuy nhiên, lý thuyết thời điểm dấu hỏi lớn, quan tâm đến lý thuyết hấp dẫn tổng quát không suy giảm tài liệu khoa học Việc xây dựng lý thuyết hấp dẫn tổng quát, với việc bao gồm trường phụ hay số hạng độ cong bậc cao phiếm hàm tác dụng thu hút quan tâm lớn thập kỷ qua [1–3] Lý lý thuyết cung cấp khn khổ mà vấn đề nảy sinh lý thuyết tương đối rộng Einstein giải Do đó, nội dung lý thuyết hấp dẫn sửa đổi này, khía cạnh lực hấp dẫn nghiệm vũ trụ học nghiệm hố đen phải xem xét lại số trường hợp dẫn đến nghiệm lạ thú vị Trong vũ trụ học, hình thành vũ trụ phát triển ý tưởng lý thuyết độc đáo mang tên viễn cảnh lạm phát [4–6, 8], kỷ nguyên mà vũ trụ giãn nở theo hàm mũ thời điểm ∼ 10−34 s sau điểm kỳ dị BigBang [9] Lạm phát vũ trụ cung cấp Học viện khoa học công nghệ Luận văn thạc sĩ chế tự nhiên cho điều kiện ban đầu vũ trụ từ giải vấn đề vũ trụ học bao gồm vấn đề độ phẳng, vấn đề đường chân trời vấn đề đơn cực từ Lạm phát vũ trụ giải thích nguồn gốc nhiễu loạn mật độ nguyên thủy dự đoán phổ chúng [10, 11] Trong viễn cảnh lạm phát nhiễu loạn mật độ nguyên thủy xuất từ thăng giáng lượng tử trường lạm phát Những thăng giáng có biên độ thang đo chiều dài Planck (Planck length) trình lạm phát thăng giáng bị kéo giãn trở thành dao động cổ điển từ tạo không đồng thang đo lớn hạt giống cho hình thành cấu trúc thang đo lớn Do đó, lạm phát vũ trụ kết nối cấu trúc thang đo lớn vũ trụ với thang đo mức vi mơ Những nhiễu động tạo lên tính chất bất đẳng hướng dự đoán xạ vũ trụ (CMB) quan sát từ WMAP Planck [12–14] Lạm phát vũ trụ đông đảo nhà khoa học quan tâm chế gây lạm phát câu hỏi cần lời giải Có số cách tiếp cận chế gây lạm phát cách tiếp cận phổ biến dựa trường vô hướng thực đơn gây lạm phát gọi trường inflaton Về bản, trường inflaton thường cuộn chậm xuống giá trị cực tiểu V (φ) giai đoạn lạm phát đồng thời phải coi gần phẳng Sau trình trường lạm phát dao động xung quanh điểm cực tiểu trình tái nhiệt sau pha lạm phát bắt đầu phân rã trường inflaton dẫn đến hình thành hạt mơ hình chuẩn [10,11] Ngồi ra, loạt nghiên cứu trường vô hướng đưa để nhận biết nguồn gốc trường inflaton với [15] Đáng ý có mơ hình lạm phát kỳ lạ dựa vào số hạng động trường vơ hướng (k -inflation), lạm phát đạt khơng túy trường vơ hướng [16–18] Ngồi ra, số mơ hình có ý tưởng lạm phát vũ trụ gây số hạng động khơng tầm thường với mơ hình k -inflation xây dựng lạm phát ma (ghost inflation) [19] hay lạm phát Galileon [20, 21, 23, 24] Mặc dù kịch lạm phát giải vấn đề lý thuyết vụ nổ lớn vấn đề đường độ phẳng vấn đề chân trời vấn đề đơn cực từ câu hỏi mở chưa giải vấn đề điểm kỳ dị ban đầu lực hấp dẫn lượng tử Trong vũ trụ sơ khai tiệm cận với thang đo Planck, ta coi lý thuyết hấp dẫn Einstein số hiệu chỉnh lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng Phiếm hàm tác dụng siêu hấp dẫn hiệu dụng (The effective supergravity action) từ siêu dây tạo điều kiện cho hiệu chỉnh bậc cao độ cong, đóng vai trò quan trọng giai đoạn vũ trụ sớm Một hiệu chỉnh số hạng bất biến tôpô Gauss-Bonnet (GB) G ≡ R2 − 4Rµν Rµν + Rµνρσ Rµνρσ [25] phiếm hàm tác dụng hiệu dụng lượng thấp dây dị loại (heterotic superstring Phạm Mạnh Tuyến 2020B Vật lý lý thuyết Học viện khoa học công nghệ Luận văn thạc sĩ effective action) [26–29] Ngoài ra, số hạng Gauss-Bonnet phát sinh khai triển bậc hai lý thuyết hấp dẫn Lovelock [25], tổng quát hóa lý thuyết hấp dẫn Einstein Ở khai triển bậc lý thuyết Lovelock trùng với lý thuyết hấp dẫn Einstein, khai triển bậc hai cho ta lý thuyết hấp dẫn Einstein Gauss-Bonnet (EGB), chứa số hạng GB phép biến phân số hạng khác không không gian có số chiều lớn năm không thời gian bốn chiều, bất biến Gauss-Bonnet hoạt động đạo hàm tồn phần khơng đóng góp vào động lực học trường hấp dẫn Để xem xét ảnh hưởng động lực học trường hấp dẫn không thời gian bốn chiều, người ta phải kết hợp bất biến Gauss-Bonnet với (các) trường khác, thường với (các) trường vô hướng f (φ)G [30–34, 37–45] Như vậy, ta coi phép kết hợp không tầm thường f (φ)G hiệu dụng trường vô hướng, tác giả khẳng định báo [32,33] cho lạm phát xảy mơ hình Gauss-Bonnet vơ hướng khơng túy trường vô hướng V (φ) Đáng ý, nghiệm lỗ đen tìm thấy mơ hình [43–45] Thật khơng may, nghiệm lạm phát vũ trụ mơ hình chứng minh không hợp lệ mặt tượng luận tính chất khơng ổn định gradient nhiễu loạn tensor [46] Gần đây, nghiên cứu tài liệu tham khảo [47] tuyên bố tính chất đạo hàm tồn phần bất biến Gauss-Bonnet khắc phục cách thay đổi tỷ lệ hệ số kết hợp số hạng Gauss-Bonnet α → α/(D − 4) sau lấy giới hạn D → 4, D số chiều khơng thời gian Do đó, ta khơng cần ghép f (φ)G Ý tưởng này, đó, nhận nhiều ý Đáng ý, số lập luận phản biện tính hợp lệ ý tưởng rút báo [48–51] Kết là, kết hợp không tầm thường (các) trường vô hướng bất biến Gauss-Bonnet dường phần thiết yếu lực hấp dẫn Gauss-Bonnet bốn chiều Lấy cảm hứng từ lạm phát k [16–18] lạm phát Gauss-Bonnet [32,33], khóa luận muốn đề xuất nghiên cứu kịch lạ, bất biến topo Gauss-Bonnet phép kết hợp không tầm thường với số hạng động trường vơ hướng φ khơng V (φ) Từ khảo sát nghiệm lạm phát mơ hình, cụ thể nghiệm lạm phát vũ trụ tuân theo quy luật lũy thừa kiểm tra tính ổn định nghiệm pha lạm phát Đồng thời nghiên cứu nhiễu loạn tensor mơ hình chứng minh nghiệm lạm phát ổn định với bất ổn gradient nhiễu loạn tensor Bố cục trình bày khóa luận sau Chương trình bày mơ hình chuẩn vũ trụ học, giới thiệu phương trình chi phối tiến hóa toàn vũ trụ Phạm Mạnh Tuyến 2020B Vật lý lý thuyết H2 Pζ = 2 8π Mp cs  c , (3.89) S k=aH Ph = H π Mp2 c , (3.90) s k=ah ns = − 21 − 2 , r = 16cs 1 (3.91) (3.92) Trong tốc độ âm cho nhiễu loạn có dạng c2s = ∂p/∂X ∂ρ/∂X (3.93) Như vậy, lạm phát k mơ hình lạm phát đặc biệt yếu tố gây lạm phát thành phần động trường vơ hướng thay trường mơ hình tắc Mơ hình mở cách tiếp cận mẻ cho nghiên cứu chế gây lạm phát vũ trụ Phạm Mạnh Tuyến 44 2020B Vật lý lý thuyết Học viện khoa học công nghệ 3.6 Luận văn thạc sĩ Mơ hình lạm phát Gauss-Bonnet Trong phần tìm hiểu mơ hình hấp dẫn bậc cao với thành phần số hạng bất biến Gauss-Bonnet Tìm hiểu lại quan tâm đến số hạng Gauss-Bonnet, đóng vai trị vũ trụ sớm cuối mơ hình lạm phát Einstein Gauss-Bonnet P.Kanti cộng đề xuất năm 2015 [32, 33] 3.6.1 Vai trò số hạng Gauss-Bonnet Số hạng Gauss-Bonnet Số hạng Gauss-Bonnet có dạng G = R2 − 4Rµν Rµν + Rµνρσ Rµνρσ (3.94) Số hạng xuất khai triển bậc hai lý thuyết hấp dẫn Lovelock [25] lý thuyết hấp dẫn tổng quát lý thuyết hấp dẫn Einstein Lý thuyết hấp dẫn Lovelock mô tả phiếm hàm tác dụng tổng quát chứa tổng gọi tensor Lovelock [25] Khai triển bậc lý thuyết hấp dẫn Lovelock lý thuyết tương đối tổng quát hay lý thuyết hấp dẫn Einstein Khai triển bậc hai lý thuyết lý thuyết hấp dẫn Einstein-Gauss-Bonnet, chứa số hạng Gauss-Bonnet biến phân số hạng khác không khơng gian có số chiều lớn năm Trong không thời gian bốn chiều, số hạng Gauss-Bonnet đóng vai trị đạo hàm tồn phần khơng đóng góp vào động lực học khơng thời gian Để nghiên cứu không thời gian chiều số hạng Gauss-Bonnet phải kết hợp không tầm thường với trường vô hướng φ kết hợp dẫn đến lý thuyết hấp dẫn Einstein-Scalar-Gauss-Bonnet Tại số hạng Gauss-Bonnet lại quan trọng cho lạm phát vũ trụ Mặc dù kịch lạm phát giúp giải vấn đề xuất vũ trụ học vụ nổ lớn, vấn đề chân trời, vấn đề độ phẳng vấn đề đơn cực từ, vấn đề chưa giải điểm kỳ dị ban đầu hấp dẫn lượng tử Thật vậy, Đối với vũ trụ sớm (nguyên thủy) tiệm cận thang Planck (Planck scale), Lý thuyết hấp dẫn Einstein số hiệu chỉnh coi lý thuyết hiệu dụng lý thuyết hấp dẫn lượng tử Lý thuyết siêu dây coi ứng cử viên hứa hẹn cho hấp dẫn lượng tử lý thuyết siêu dây bao gồm số hạng hiệu chỉnh độ cong bậc cao đóng vai trò quan trọng vũ trụ sớm Một số số hạng số hạng Gauss-Bonnet xuất tác dụng hiệu dụng lượng thấp dây dị loại (the low-energy effective action of heterotic Phạm Mạnh Tuyến 45 2020B Vật lý lý thuyết Học viện khoa học công nghệ Luận văn thạc sĩ string) [26–29] Lạm phát viễn cảnh xảy vũ trụ sơ khai có khả số hạng Gauss-Bonnet đóng vai trị quan trọng nghiệm vũ trụ học 3.6.2 Tổng quan mơ hình lạm phát Gauss-Bonnet Mơ hình Lạm phát Gauss-Bonnet lần đầu đề xuất P.Kanti cộng [32, 33] với phiếm hàm tác dụng có dạng sau S= Z √ d x −g " # R 1 − (∇φ) + f (φ)G 2κ2 (3.95) Trong hàm ghép f (φ) hàm số trường vô hướng gây lạm phát φ kết hợp không tầm thường với số hạng Gauss-Bonnet Đáng ý mơ hình khơng xuất số hạng V (φ) trường vô hướng, κ ≡ 8πG số kết hợp hấp dẫn, g định thức metric tensor gµν , R vơ hướng Ricci Lấy biến phân tác dụng (3.95) theo metric tensor trường vơ hướng dẫn đến phương trình trường 1 Rµν − gµν R + Pµανβ ∇αβ f = ∂µ φ∂ν φ − gµν (∇φ)2 , 2 (3.96) √ 1 √ ∂µ [ −g∂ µ φ] + f G = −g (3.97) Trong f ≡ df /dφ, κ2 = cho thuận tiện tính tốn Pµανβ định nghĩa Pµανβ = Rµανβ + 2gµ[β Rβ]µ + 2gα[ν Rβ]µ + Rgµ[ν gβ]α , (3.98) hay Pµανβ ∇αβ f = −Gµν ∇2 f + Rαν ∇µ ∇α f + Rαµ ∇ν ∇α f − − Rρσ gµν ∇ρ ∇σ f − Rµρσν ∇ρ ∇σ f R ∇µ ∇ν (3.99) Metric mô tả không thời gian phẳng đồng đẳng hướng FLRW phẳng có dạng ds2 = −dt2 + a2 (t)δij dxi dxj (3.100) Dạng tường minh phương trình trường (3.96),(3.97) sau 6H + H f˙ = φ˙ ,   (3.101) ˙ + H + fă = , 2(1 + H f˙)(H + H)   2 ă + 3H φ − 3f H H + H =  Phạm Mạnh Tuyến 46  (3.102) (3.103) 2020B Vật lý lý thuyết Học viện khoa học công nghệ Luận văn thạc sĩ Trong H ≡ a/a ˙ tham số Hubble dấu chấm ký hiệu cho đạo hàm theo thời gian t Để xác cần dạng xác f (φ) P Kanti cộng [32,33] xét hàm ghép có dạng bình phương f (φ) = λφ2 với số kết hợp λ gây nghiệm lạm phát Trong thời gian sớm, chế hấp dẫn mạnh (strong gravity regime), số hạng Gauss-Bonnet chiếm ưu hoàn toàn so với số hạng vô hướng Ricci [32, 33] với chế động lực học vũ trụ không cho thấy thay đổi đáng kể miễn trường vô hướng nhận giá trị lớn hay tương ứng với λ nhận giá trị lớn kể bỏ qua số hạng vô hướng Ricci Với gần này, ta bỏ qua số hạng dấu ngoặc xuất phương trình trường (3.101) (3.102) Khi ta thu phương trình H2 H˙ + H − HdS ! = 0, (3.104) với HdS = −5/24λ λ < Điều ngụ ý nghiệm de Sitter, với H số H˙ = 0, với λ < mô tả pha giãn nở lạm phát Thay vào phương trình(3.104) ta thu nghiệm với nghiệm HdS = −5/24λ nghiệm repeller nghiệm H = mô tả không thời gian Minkowski, attractor Lấy tích phân phương trình (3.104) a(t) = a0 exp(HdS t), (3.105) từ nghiệm (3.105), ta thấy lạm phát gây số hạng Gauss-Bonnet Ngồi trường vơ hướng giải thơng qua phương trình(3.103) có dạng ! φ(t) = φ0 exp − HdS t (3.106) Kể trường hợp tổng qt, tính tích phân phương trình (3.104) thu H= s HdS 2C 2 H a 1+ dS (3.107) Với C số tích phân Ta thấy vũ trụ giãn nở, Hằng số Hubble giảm dần Do đó, phải điều chỉnh ν −2 ≡ 2CHdS /5 = C/12λ để lạm phát xảy thời gian đủ dài Trong trường hợp này, hệ số thang đo thu cách giải giải tích phương trình (3.107) sử dụng phép đổi biến a = ν tan ω √ √ a2 + ν + ν log  Phạm Mạnh Tuyến  a2 + ν − ν  = a 47 s (t + t0 ), 2C (3.108) 2020B Vật lý lý thuyết Học viện khoa học công nghệ Luận văn thạc sĩ Hình 3.10: Hệ số thang đo hàm thời gian với C = kλk = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 10 (từ xuống dưới) [32, 33] t0 số tích phân Vì nghiệm thu với hệ số thang đo (3.108) khơng dạng tường minh nghiệm tường minh thu cho trường vô hướng dạng phụ thuộc tường minh vào t mà thu dạng phụ thuộc theo a sau φ = C0 2C !5/4 (a2 + ν )5/4 , a5/2 (3.109) C0 số tích phân khác Từ phương trình này, thấy ban đầu trường vô hướng giảm Tuy nhiên, chế a2  ν , trường vô hướng trở thành không đổi Bất ổn định mơ hình lạm phát Gauss-Bonnet Như trường hợp khơng trường vơ hướng V (φ) lạm phát xuất hấp dẫn Gauss-Bonnet, bước ta cần kiểm tra tính ổn định mơ hình lạm phát thơng qua tính tốn nhiễu loạn từ cơng việc Getbogi Hikmawan, Jiro Soda cộng [46] Xuất phát từ nhiễu loạn tensor ds2 = −dt2 + a2 (δij + hij ) dxi dxj , (3.110) hij i = hi i = Từ metric (3.110) thu tác dụng bậc hai nhiễu loạn tensor có dạng " # 1Z S= d a (1 + H f˙)h˙ ij h˙ ij − (1 + fă)hij,k hij,k a (3.111) T ú thu phương trình chuyển động nhiễu loạn tensor cú dng # k + fă ¨ ij + 3H + h h˙ ij + hij = 0, α a α " Phạm Mạnh Tuyến 48 (3.112) 2020B Vật lý lý thuyết