PHÒNG GIÁO D CĐÀO T OỤ Ạ Đ THI CH N H C SINH GI I C P HUY NỀ Ọ Ọ Ỏ Ấ Ệ Đ C PHỨ Ổ NĂM H C 2015 2016Ọ Đ CHÍNH TH C Ề Ứ MÔN TOÁN L P 7 Ớ Th i gian 120 phútờ (không k th i gian giao đ ) ể ờ ề Ngày th[.]
PHỊNG GIÁO DỤCĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN LỚP 7 Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2016 Câu 1: (5 điểm) 1 + a− , với a = 2014 2016 2015 x −1 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số và là một số ngun. x +1 a) Tính giá trị biểu thức P = a − Câu 2: (5 điểm) a) Cho a > 2, b > 2. Chứng minh ab > a + b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vng tại D và DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. ﾷ ﾷ −F ﾷ a) Chứng minh MDH =E b) Chứng minh EF DE > DF DH Câu 4: (2 điểm) Cho các số < a1 < a2 < a3 < < a15 Chứng minh rằng a1 + a2 + a3 + + a15 2. Chứng minh ab > a + b 1 Từ a > � < a 1 b > � < b 0.5 0.5 0.5 1 a+b a + b 3đ b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ với 4 và 5, diện tích hình thư hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi hình chữ nhật đó Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là S1 , S , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng là d1 , r1 ; d , r2 ; d3 , r3 theo đề bài ta có S1 S = ; = và d1 = d ; r1 + r2 = 27; r2 = r3 , d = 24 S S3 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài S1 r1 r r r + r 27 = = � 1= = = =3 S r2 9 Suy ra chiều rộng r1 = 12cm, r2 = 15cm Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng 7d S2 d2 7.24 = = � d2 = = = 21cm S3 d 8 Vậy diện tích hình thứ hai S = d r2 = 21.15 = 315 cm 4 Diện tích hình thứ nhất S1 = S2 = 315 = 252 cm 5 8 Diện tích hình thứ ba S3 = S = 315 = 360 cm 7 3đ Cho ∆DEF vng tại D và DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M là trung điểm của EF. ? ? −F ? a) Chứng minh MDH =E Hình vẽ đúng, chính xác Vì M là trung điểm của EF suy ra MD = ME = MF ﾷ = MDE ﾷ ∆MDE cân tại M E ﾷ ﾷ cùng phụ với E ﾷ Mà HDE =F ﾷ ﾷ ﾷ Ta có MDH = MDE − HDE ? ? −F ? Vậy MDH =E b) Chứng minh EF DE > DF DH Trên cạnh EF lấy K sao cho EK = ED, trên cạnh DF lấy I sao cho DI = DH Ta có EF DE = EF EK = KF DF DH = DF DI = IF Ta cần chứng minh KF > IF ﾷ ﾷ EK = ED ∆DHK EDK = EKD ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ EDK + KDI = EKD + HDK = 900 ﾷ ﾷ KDI = HDK 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ∆DHK = ∆DIK (cgc) ﾷ ﾷ KID = DHK = 900 0.25 Trong ∆KIF vuông tại I KF > FI điều phải chứng minh Cho các số < a1 < a2 < a3 < < a15 (2đ) a1 + a2 + a3 + + a15 x = 2 = −5x 7x − 24 Thay x = 2 vào trên ta được: + 5y y => 5 25y = 24 y => 49y = 5 => y = − = 24 −5 49 Vậy x = 2, y = − thoả mãn đề bài 49 Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau: a) (2điểm) A = x + + 5 Ta có : x + 0. Dấu “=” xẩy ra Vậy: Min A = 5 x = 5. x = 5. A 5 b) (2điểm) 10 x + 17 ( x + ) + 10 B = = = 1 + x +7 x +7 x2 + Ta có: x 0. Dấu = xảy ra x = 0 x + 7 7 (2 vế dương) 10 10 10 10 => 1 + 1 + x2 + 7 x2 + 7 Dấu “=” xảy ra Vậy: Max B = B x = 0 17 17 x = 0. Câu 5. a) (3điểm) Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại H. Nối MH Ta có: ∆ BHM = ∆ IMH vì: ﾷ ﾷ BHM (so le trong) = IMH ﾷ ﾷ (so le trong) BMH = IHM Cạnh HM chung =>BM = IH = MN ﾷ ﾷ ﾷ AHI = IMN ( = ABC) ﾷ ﾷ (đồng vị) AIH = INM A H I ∆ AHI = ∆ IMN vì: IH = MN (kết quả trên) B M N C => AI = IN (đpcm) b) (2điểm) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại P. ∆ PKA = ∆ FKB vì: ﾷ ﾷ (đối đỉnh) PKA = FKB E ﾷ ﾷ (so le trong) APK = BFK A P AK = KB (gt) => AP = BF (1) K ﾷ ﾷ (đồng vị) EPA = KFC ﾷ ﾷ ( ∆ CFE cân) CEF = KFC ﾷ ﾷ => EPA => ∆ APE cân = CEF => AP = AF (2). Từ (1) và (2) => AE = BF (đpcm) B F C PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013-2014 Mơn thi: Tốn Lớp THCS Ngày thi: 07 tháng năm 2014 Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang ĐỀ THI CHÍNH THỨC Số báo danh … .…… Câu 1(5 điểm): a) Cho biểu thức: P = x 4xy + y. Tính giá trị của P với x = 1,5; y = 0,75 b) Rút gọn biểu thức: A = 212.35 − 46.81 ( 3) + 84.35 Câu 2 (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x + + x + + x + = x Câu 3(3 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = 4x3 + x a) Tính f(0), f(0,5) b) Chứng minh: f(a) = f(a) Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số ngun (x;y) biết: x + y = x.y Câu 5(6 điểm):Cho ∆ ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngồi tam giác ABC các tam giác vng cân tại A là ∆ ABM và ∆ ACN a) Chứng minh rằng: ∆ AMC = ∆ ABN; b) Chứng minh: BN ⊥ CM; c) Kẻ AH ⊥ BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu 6 (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn: a b + c + và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c Hết Chú ý: Giám thị khơng giải thích gì thêm Học sinh khơng được dùng máy tính PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HUYỆN HẬU LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 7 NĂM HỌC 20132014 Câu Câu 1 (5điểm) Nội dung a) Ta có: x = 1,5 � x = 1,5 hoặc x = 1,5 +) Với x = 1,5 và y = 0,75 thì P = 1,5 4.1,5(0,75) 0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 0,75 = 5,25 +) Với x = 1,5 và y = 0,75 thì P = 1,5 4(1,5).(0,75) 0,75 = 1,5(1+3) 0,75 = 6,75 b) A = 212.35 − 46.81 ( 3) + 84.35 = 212.35 − 212.34 212.34 (3 − 1) = = 212.36 − 212.35 212.35 (3 − 1) x y y z x y y z = ; = � = ; = 15 10 10 x y z x + y + z 11 = = = = = 15 10 15 + 10 + 33 10 x = 5; y = ; z = 3 a) 2x = 3y; 4y = 5z � Câu 2 (4 điểm) b) x + + x + + x + = x (1) Vì VT 0 x hay x 0, do đó: x + = x + 1; x + = x + 2; x + = x + (1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6 a) f(0) = 0 1 1 f(0,5) = 4.( )3 = − = 2 2 Câu 3 (3điểm) b) f(a) = 4(a)3 a = 4a3 a −4a + a � f(a) = � � � = 4a a f(a) = f(a) Điểm 1,5 1,5 1 1 1 0,5 0,5 Câu 4 (1 điểm) y y −1 x + y = x.y � xy − x = y � x( y − 1) = y � x = vì x �z � y My − � y − + 1My − � 1My − , 0,5 do đó y 1 = 1 � y = hoặc y = 0 Nếu y = 2 thì x = 2 Nếu y = 0 thì x = 0 Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) và (2;2) Câu 5 (6 điểm) a) Xét ∆ AMC và ∆ ABN, có: AM = AB ( ∆ AMB vng cân) AC = AN ( ∆ ACN vuông cân) MAC = NAC ( = 900 + BAC) Suy ra ∆ AMC = ∆ ABN (c g c) 0,5 F N D M 1,0 E 1,0 A I 0,5 K B H C b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC Xét ∆ KIC và ∆ AIN, có: ANI = KCI ( ∆ AMC = ∆ ABN) AIN = KIC (đối đỉnh) IKC = NAI = 900, do đó: MC ⊥ BN c) Kẻ ME ⊥ AH tại E, NF ⊥ AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900) Lại có MAE + AME = 900, nên AME = BAH Xét ∆ MAE và ∆ ABH , vng tại E và H, có: AME = BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra ∆ MAE = ∆ ABH (cạnh huyềngóc nhọn) ME = AH Chứng minh tương tự ta có ∆ AFN = ∆ CHA FN = AH Xét ∆ MED và ∆ NFD, vng tại E và F, có: ME = NF (= AH) EMD = FND(phụ với MDE và FDN, mà MDE = FDN) ∆ MED = ∆ NFD BD = ND 1 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013-2014 Môn thi: Toán Lớp THCS Ngày thi: 07 tháng năm 2014 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề. .. P = 1,5 4.1,5(0 ,75 ) 0 ,75 = 1,5(1 + 3) = 6 0 ,75 = 5,25 +) Với x = 1,5 và y = 0 ,75 thì P = 1,5 4(1,5).(0 ,75 ) 0 ,75 = 1,5(1+3) 0 ,75 = 6 ,75 b) A = 212. 35 − 46.81 ( 3) + 84.35 = 212. 35 − 212. 34... 8.15 15.22 43.50 2 17 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) = (1 − + − + − + + − ) 8 15 15 22 43 50 2 17 1 − (12. 50 + 25) 49 − 625 7. 7.2.2.5.31 = = (1 − ) = =− =− 50 2 17 50 7. 31 7. 2.5.5 .7. 31 Câu 3. Tìm các cặp số (x; y) biết: