Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue 5 (06/2021), 552 564 552 Transport and Communications Science Journal STATIC ANALYSIS OF BEAM RESTING ON ELASTIC FOUNDATION BY ANISOTROPIC B[.]
Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 552-564 Transport and Communications Science Journal STATIC ANALYSIS OF BEAM RESTING ON ELASTIC FOUNDATION BY ANISOTROPIC BEAM-FOUNDATION ELEMENT TAKING INTO ACCOUNT NON-CONTACT BETWEEN BEAM AND FOUNDATION Do Xuan Quy*, Vu Thi Nga University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 08/04/2021 Revised: 10/05/2021 Accepted: 14/05/2021 Published online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.4 * Corresponding author Email: quysbvl@utc.edu.vn; Tel: 0989556088 Abstract Beam resting on the elastic foundation is a common structure in the construction engineering, especially in civil engineering, for instance, ground beams, buoys floating on water, piles resting in foundation or rails acting on railway sleepers The well-known computing models used in design based on the assumption that beam is fully contacted with foundation In fact, there are some non-contact regions between beam and foundation, and hence, the above assumption is not always valid As a result, such conclusions or recommendations made by construction consultants are sometimes inappropriate with the actual behaviors of beam and foundation This paper proposes a new element in FEM, so-called anisotropic beam-foundation element Each proposed anisotropic beam-foundation element characterizes a combined model between beam element and foundation This anisotropic beam-foundation element allows the FE analysis of beam resting on foundation considering contact and non-contact regions between beam and foundation The behavior of beam and foundation is presented through explicit formulations As a result, the analysis of beam resting in foundation with these explicit forms leads to faster convergence compared to other methods Keywords: beam resting on elastic foundation, FEM, nonlinearity, anisotropic restraints, anisotropic beam-foundation element © 2021 University of Transport and Communications 552 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 552-564 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải PHÂN TÍCH TĨNH DẦM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI CĨ KỂ ĐẾN SỰ KHƠNG TIẾP XÚC GIỮA DẦM VÀ NỀN SỬ DỤNG PHẦN TỬ DẦM - NỀN DỊ HƯỚNG Đỗ Xuân Quý*, Vũ Thị Nga Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THÔNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 08/04/2021 Ngày nhận sửa: 10/05/2021 Ngày chấp nhận đăng: 14/05/2021 Ngày xuất Online: 15/06/2021 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.4 *Tác giả liên hệ Email: quysbvl@utc.edu.vn; Tel: 0989556088 Tóm tắt Dầm đàn hồi kết cấu phổ biến xây dựng công trình nói chung, cơng trình giao thơng nói riêng, kết cấu kể đến như: Dầm móng đặt đàn hồi, hệ phao mặt nước, hệ cọc đất, tà vẹt đá ba lát Các mơ hình tính áp dụng thiết kế giả thiết dầm luôn tiếp xúc với Trong đó, nhiều trường hợp có phận dầm không tiếp xúc với nên việc mơ khơng thực phù hợp Theo đó, kết luận, khuyến cáo cơng tác tư vấn không sát với thực tế làm việc dầm Trong nghiên cứu này, tác giả công bố loại phần tử có tên dầm-nền dị hướng Mỗi phần tử dầm-nền dị hướng mơ hình hóa phần tử dầm phạm vi Phần tử cho phép phân tích dầm đàn hồi có kể đến tiếp xúc không tiếp xúc dầm phương pháp phần tử hữu hạn Ứng xử phần tử dầm phạm vi mơ tả biểu thức tốn học rõ ràng khiến cho việc phân tích dầm đàn hồi với loại phần tử hội tụ nhanh so với phương pháp khác Từ khóa: dầm đàn hồi, phương pháp phần tử hữu hạn, phi tuyến, liên kết dị hướng, dầm-nền dị hướng © 2021 Trường Đại học Giao thông vận tải ĐẶT VẤN ĐỀ Hiện nay, mơ hình tính dầm đàn hồi nghiên cứu tính 553 Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 552-564 tốn thiết kế cơng trình hầu hết chưa xét đến khơng tiếp dầm Khi tính tốn tác giả thường sử dụng mơ hình có hệ số hai hệ số Các cơng bố kể đến như: Vũ Đình Lai cộng [1], Lều Thọ Trình cộng [2], Anil K Chopa [3], giới thiệu phương pháp tính dầm đàn hồi theo mơ hình theo Winkler có hệ số nền; Vũ Thị Bích Qun [4], tính dầm đàn hồi với mơ hình Winkler phương pháp phần tử biên, Phạm Hồng Anh [5], tính dầm đàn hồi có điều kiện biên phức tạp với mơi hình Winkler phương pháp giải tích Để mơ gần với ứng xử thực tế dầm đàn hồi, tác giả xem xét đến tiếp xúc không tiếp xúc dầm nền: Z Celep cộng [6], khảo sát tác dụng động dầm dài hữu hạn chiều; Diego Froio cộng [7], phân tích dầm phi tuyến, tác dụng tải trọng thay đổi theo thời gian di động; P Castro Jorge cộng [8], nghiên cứu tác dụng dầm hai đầu liên kết khớp đàn hồi, chịu tác dụng tải trọng không đổi di động với mơ hình Winkler, chiều phi tuyến bậc 3; Cristiano Viei Rodrigues [9], phân tích dầm phi tuyến, chịu tác dụng dao động di động phương pháp phần tử hữu hạn; D Froio cộng [10], sử dụng phương pháp số tính dầm giản đơn phi tuyến bậc 3, tác dụng tải trọng thay đổi theo thời gian di động; S.M Abdelghany cộng [11], khảo sát ứng xử dầm phi tuyến, chịu tác dụng tải trọng di động phương pháp Galerkin Runge-Kutta; Salih N Akour [12], phân tích động dầm phi tuyến chịu tác dụng tải trọng điều hòa phân bố bề mặt dầm, sử dụng phương pháp Runge-Kutta để giải; Đỗ Xuân Quý cộng [13], nghiên cứu ứng xử học có liên kết dị hướng chịu tác dụng tải trọng động; Đỗ Xuân Quý cộng [14], nghiên cứu thực nghiệm ứng xử có liên kết dị hướng chịu tác dụng tải trọng động Trong báo này, nhóm tác giả sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích tĩnh dầm đàn hồi mà có xét đến tiếp xúc khơng tiếp xúc dầm Để mô tả tiếp xúc không tiếp xúc dầm nền, nhóm tác giả xây dựng loại phần tử, có tên phần tử dầm-nền dị hướng Phần tử dầm-nền dị hướng cho phép mô ứng xử dầm, tương tác dầm phạm vi nó, giúp cho việc phân tích dầm đàn hồi có kể đến tiếp xúc không tiếp xúc dầm với số lượng phần tử đảm bảo độ xác mong muốn XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM-NỀN DỊ HƯỚNG 2.1 Tương tác dầm Dầm tiếp xúc với Dầm không tiếp xúc với P Đường trục dầm Đường đàn hồi dầm Hình Sơ đồ biến dạng dầm đàn hồi Hình sơ đồ biến dạng dầm đàn hồi chịu tác dụng tải trọng tập trung P Theo chiều dài dầm có đoạn dầm tiếp xúc với có đoạn dầm khơng tiếp xúc với 554 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 552-564 Ở đoạn dầm tiếp xúc với nền, phản lực có quan hệ bậc với độ võng dầm theo Winkler Ngược lại đoạn dầm không tiếp xúc với nền, phản lực không Phản lực vào đáy dầm tính theo độ võng dầm theo công thức thể công thức (1) [13] 𝑝= 𝑐1 𝑤+ 𝑐1 |𝑤| (1) Trong đó: p - phản lực nền, c1 - độ cứng dầm chuyển vị xuống dưới, w - độ võng dầm Công thức (1) sử dụng để mô tả tương tác dầm trường hợp Mơ hình có ứng xử gọi mơ hình chiều Mơ hình dị hướng loại mơ hình có độ cứng thay đổi độ võng dầm thay đổi Cơng thức (2) dùng để tính phản lực vào đáy dầm, c2-độ cứng dầm chuyển vị lên trên, w0 - độ lệch chuẩn, mô tả bị ép trước dầm có khe hở [13] 𝑝= 𝑐2 +𝑐1 (𝑤 − 𝑤0 ) + 𝑐2 −𝑐1 (2) |𝑤 − 𝑤0 | Trong báo này, tác giả sử dụng công thức (2) để mô tả tương tác dầm 2.2 Thành lập cơng thức tính ma trận độ cứng phần tử dầm-nền dị hướng Phần tử dầm phạm vi thay phần tử dầm-nền dị hướng có chiều dài với phần tử dầm thành chuyển vị nút hình Chọn hàm độ võng dầm có dạng đa thức bậc 3, cơng thức (3) Trong đó: a - chiều dài phần tử, x hồnh độ mặt cắt cần tính độ võng; w1, w2 - độ võng dầm nút nút phần tử; θ1, θ2 - góc quay nút nút phần tử y có độ cứng c2 w1 w2y 2 1 Dầm Nút z có độ cứng c1 x Nút Phần tử dầm-nền dị hướng Phần tử dầm Hình Mơ hình phần tử dầm-nền dị hướng 𝑤 = (1 − 3𝑥 𝑎2 + 2𝑥 ) 𝑤1 + (𝑥 − 𝑎3 2𝑥 𝑎 𝑥3 3𝑥 + 𝑎2 ) 𝜃1 + ( 𝑎2 − 2𝑥 ) 𝑤2 + (− 𝑎3 𝑥2 𝑎 𝑥3 + 𝑎2 ) 𝜃2 (3) Thế biến dạng đàn hồi phần tử dầm-nền dị hướng tính tổng biến dạng đàn hồi phần tử biến dạng đàn hồi phạm vi phần tử dầm (4) Trong đó: U - biến dạng đàn hồi phần tử dầm-nền dị hướng, U1 - biến dạng đàn hồi phần tử dầm (5), U2 - biến dạng đàn hồi phạm vi phần tử dầm(6), E - mô đun đàn hồi vật liệu dầm, J - mô men quán tính chống uốn mặt cắt ngang phần tử dầm 𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 555 (4) Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 552-564 𝑈1 = 𝜕2𝑤 𝑎 ∫ 𝐸𝐽( 𝜕𝑥 )𝑑𝑥 𝑈2 = (5) 𝑎 ∫ 𝑝𝑤 𝑑𝑥 (6) Sử dụng nguyên lý cực tiểu tính ma trận độ cứng phần tử dầm - dị hướng công thức (7) [𝒌] = [𝒌𝟏 ] + [𝒌𝟐 ] (7) Trong đó: [k1] - ma trận độ cứng phần tử dầm (8), [k2] - ma trận độ cứng phạm vi phần tử dầm (9) [𝒌𝟏 ] = 12𝐸𝐽 6𝐸𝐽 𝑎3 𝑎2 6𝐸𝐽 4𝐸𝐽 − [ 𝑎2 12𝐸𝐽 − 𝑎3 𝑎 6𝐸𝐽 2𝐸𝐽 𝑎2 𝑎 𝑇𝑃12 𝑇𝑃22 𝑇𝑃23 𝑇𝑃24 12𝐸𝐽 𝑎3 6𝐸𝐽 − 𝑎2 12𝐸𝐽 𝑎2 6𝐸𝐽 𝑇𝑃11 𝑇𝑃 [𝒌𝟐 ] = [ 12 𝑇𝑃13 𝑇𝑃14 − 𝑎3 − 6𝐸𝐽 𝑎2 2𝐸𝐽 − 𝑎 6𝐸𝐽 6𝐸𝐽 4𝐸𝐽 𝑎2 𝑎 𝑇𝑃13 𝑇𝑃23 𝑇𝑃33 𝑇𝑃34 (8) 𝑎2 ] 𝑇𝑃14 𝑇𝑃24 ] 𝑇𝑃34 𝑇𝑃44 (9) Trong thành phần TPij ma trận [k2] xác định theo hình dạng biến dạng đàn hồi phần tử dầm, có loại ma trận độ cứng phạm vi phần tử dầm hình 3,4,5,6 tương ứng tính theo cơng thức (10), (11), (12), (13) có độ cứng c2 có độ cứng c2 x=0 w0 x=a x=a x=0 có độ cứng c1 a) b) w0 có độ cứng c1 Hình Đường đàn hồi phần tử dầm không cắt với đường chuẩn w0 có độ cứng c2 có độ cứng c2 x1 x=a x=0 x1 w0 x=a x=0 a) b) có độ cứng c1 có độ cứng c1 Hình Đường đàn hồi phần tử dầm cắt đường chuẩn w0 x = x1 556 w0 Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 72, Số (06/2021), 552-564 có độ cứng c2 có độ cứng c2 x2 x1 x=0 x1 w0 x=a w0 x=0 x=a b) có độ cứng c1 a) x2 có độ cứng c1 Hình Đường đàn hồi phần tử dầm cắt đường chuẩn w0 x = x1 x = x2 có độ cứng c2 x1 có độ cứng c2 x2 x=a x3 x=0 x=0 w0 x3 x1 có độ cứng c1 a) x2 w0 x=a có độ cứng c1 b) Hình Đường đàn hồi phần tử dầm cắt với đường chuẩn w0 x = x1, x = x2 x = x3 - Loại 1: Đường đàn hồi phần tử dầm không cắt với đường chuẩn w0 (hình 3) 13 11 13 𝑇𝑃11 = 35 𝑐1 1𝑎, 𝑇𝑃12 = 210 𝑐1 𝑎2 , 𝑇𝑃13 = 70 𝑐1 𝑎, 𝑇𝑃14 = − 420 𝑐1 𝑎2 , 𝑇𝑃22 = 13 13 11 𝑐 𝑎3 , 𝑇𝑃23 = 420 𝑐1 𝑎2 , 𝑇𝑃24 = − 140 𝑐1 𝑎3 , 𝑇𝑃33 = 35 𝑐1 𝑎, 𝑇𝑃34 = − 210 𝑐1 𝑎2 , 105 (10) 𝑇𝑃44 = 105 𝑐1 𝑎3 - Loại 2: Đường đàn hồi phần tử dầm cắt đường chuẩn w0 x = x1 (hình 4) 𝑥1 𝑇𝑃11 = 𝑐1 (𝑥1 + 2(𝑎6 −𝑥1 ) 𝑎5 (𝑎5 −𝑥1 ) +5 𝑎4 𝑥1 𝑇𝑃12 = 𝑐1 (7 −𝑥1 +𝑥2 𝑎3 𝑎5 𝑎4 𝑎4 𝑎4 −𝑥1 −2 𝑎3 𝑎3 +2 + 𝑥1 +5 𝑎2 𝑎6 𝑎5 𝑥1 +5 𝑎4 −𝑥1 +𝑥2 𝑥1 2𝑥1 (𝑎4 −𝑥1 ) + 𝑥1 −6 −2 𝑇𝑃13 = 𝑐1 (− 𝑎5 −𝑥1 𝑎6 − 𝑎3 𝑥1 𝑎5 𝑎3 −𝑥1 𝑎2 2𝑥1 − 𝑎3 𝑎2 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (𝑎 − 𝑥1 + 7 𝑎6 − 𝑥1 𝑥1 𝑎4 ), 𝑎2 −2 𝑎 −5 𝑥1 2(𝑎3 −𝑥1 ) − −𝑥1 +𝑥2 −3 + 𝑎2 𝑥1 −3 𝑎 + 𝑥1 2 −𝑥1 +𝑥2 ) + 𝑐2 (7 𝑎5 −𝑥1 +𝑥2 −6 𝑎4 (11) − 𝑥1 + 𝑥2 ), 𝑥1 −2 𝑎3 + 𝑥1 𝑎2 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (− ), 557 + 𝑎6 + 2(𝑎6 −𝑥1 ) 𝑎5 − Transport and Communications Science Journal, Vol 72, Issue (06/2021), 552-564 𝑥1 𝑇𝑃14 = 𝑐1 (7 𝑎4 −𝑥1 4 𝑥1 −6 𝑎5 𝑎3 −𝑥1 −3 𝑎2 𝑥1 𝑎4 −𝑥1 𝑎 𝑥1 𝑎4 + 𝑎3 𝑥1 +5 𝑎3 𝑎2 𝑥1 − 𝑎7 −𝑥1 + 𝑥1 ) + 𝑐2 (7 𝑎 𝑎4 𝑎6 −𝑥1 −3 𝑎5 −𝑥1 +5 𝑎3 − 𝑎2 𝑥1 +6 𝑎5 𝑥1 −5 𝑎4 𝑥1 𝑎3 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (− 𝑎2 +4 𝑎5 𝑎6 −𝑥1 +6 𝑎5 −𝑥1 −5 𝑎4 𝑎3 + ), 𝑥1 𝑇𝑃24 = 𝑐1 (7 𝑎5 𝑎5 −𝑥1 +5 𝑎2 𝑎4 −𝑥1 𝑎 𝑎6 −𝑥1 −6 𝑥1 𝑎2 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (7 + 𝑎3 − 𝑥1 ), 𝑇𝑃23 = 𝑐1 (− 𝑎4 −𝑥1 𝑎3 𝑥1 −3 ), −3 𝑎4 𝑎4 𝑥1 +4 𝑎 𝑇𝑃22 = 𝑐1 (7 𝑥1 +5 𝑎4 𝑥1 −2 𝑥1 +5 𝑎3 𝑎2 𝑥1 −4 𝑎 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (7 𝑎4 𝑎6 −𝑥1 −2 𝑎5 −𝑥1 +5 𝑎3 𝑎2 − ), 𝑎 𝑥1 𝑇𝑃33 = 𝑐1 (7 𝑎6 −2 𝑥1 𝑇𝑃34 = 𝑐1 (− 𝑎4 𝑥1 5 𝑥1 𝑎3 𝑎5 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (− 𝑎3 𝑥1 +5 2(𝑎6 −𝑥1 ) − 𝑎6 𝑥1 −5 𝑎4 𝑥1 −3 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (7 𝑎4 +5 𝑎5 +6 𝑎5 𝑥1 𝑇𝑃44 = 𝑐1 (7 𝑥1 𝑎6 −𝑥1 +6 𝑎5 𝑎7 −𝑥1 ) + 𝑐2 (7 𝑎2 𝑎4 𝑎5 −𝑥1 +5 𝑎4 𝑎6 −𝑥1 −3 𝑎3 𝑎4 ), 𝑎5 −𝑥1 −5 ), 𝑎3 𝑎5 −𝑥1 +5 5 ) 𝑎2 - Loại 3: Đường đàn hồi phần tử dầm cắt đường chuẩn w0 x = x1, x = x2 (hình 5) 𝑥1 𝑇𝑃11 = 𝑐1 (𝑥1 + 2(−𝑥1 +𝑥2 ) 𝑎5 −𝑥1 +𝑥2 +5 (𝑎5 −𝑥2 ) 𝑎5 𝑎4 𝑥1 𝑇𝑃12 = 𝑐1 (7 −𝑥1 +𝑥2 𝑎4 𝑎6 −𝑥2 6 𝑎4 𝑎5 −𝑥2 +5 𝑥1 5 𝑎4 𝑎3 𝑎6 𝑥1 +5 𝑎3 + 𝑎2 2.𝑥1 𝑎5 𝑎2 + 𝑎2 𝑥1 −2 𝑎2 (𝑎3 −𝑥2 ) 𝑎2 𝑎7 −𝑥2 − 𝑎6 𝑥1 𝑎4 𝑎 (−𝑥1 +𝑥2 ) 𝑎 − 1 𝑎5 − 𝑎7 −𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥2 ) + 𝑐1 (7 𝑎5 − + 𝑎2 − 𝑥2 ), 𝑥1 −2 −𝑥1 +𝑥2 + 𝑥1 ) + 𝑐2 (7 −𝑥1 +𝑥2 −3 𝑎 𝑥1 −3 𝑎3 + 𝑥1 −𝑥1 +𝑥2 ) + 𝑐2 (− 𝑎2 ) + 𝑐1 (− 𝑎7 −𝑥2 + ) + 𝑐1 (𝑎 − 𝑥2 + 𝑎6 ), 𝑎2 𝑎3 −𝑥2 𝑎2 −𝑥1 +𝑥2 ) + 𝑐2 (𝑥2 − 𝑥1 + −3 −5 𝑎3 𝑎3 2𝑥1 − 2(𝑎3 −𝑥2 ) − 𝑎2 𝑥1 2(−𝑥1 +𝑥2 ) − −𝑥1 +𝑥2 −2 + 𝑎3 𝑎4 −𝑥2 −𝑥1 +𝑥2 −2 (𝑎4 −𝑥2 ) 17 −𝑥1 +𝑥2 𝑎3 −2 𝑎3 𝑇𝑃13 = 𝑐1 (− −𝑥1 +𝑥2 𝑎4 𝑎3 𝑎4 −𝑥1 +𝑥2 +5 𝑥1 +5 (𝑎4 −𝑥2 ) + 𝑥1 −6 𝑎5 𝑎5 + 𝑎4 +5 2𝑥1 5 2(𝑎6 −𝑥2 ) 𝑎6 − ), 558 𝑎6 𝑎6 + 2(𝑎6 −𝑥2 ) 𝑎5 + 2(−𝑥1 +𝑥2 ) 𝑎5 (𝑎5 −𝑥2 ) −5 𝑎4 − − (12) ... dị hướng Mỗi phần tử dầm- nền dị hướng mơ hình hóa phần tử dầm phạm vi Phần tử cho phép phân tích dầm đàn hồi có kể đến tiếp xúc khơng tiếp xúc dầm phương pháp phần tử hữu hạn Ứng xử phần tử dầm. .. pháp phần tử hữu hạn để phân tích tĩnh dầm đàn hồi mà có xét đến tiếp xúc không tiếp xúc dầm Để mô tả tiếp xúc không tiếp xúc dầm nền, nhóm tác giả xây dựng loại phần tử, có tên phần tử dầm- nền dị. .. dạng đàn hồi phần tử dầm- nền dị hướng tính tổng biến dạng đàn hồi phần tử biến dạng đàn hồi phạm vi phần tử dầm (4) Trong đó: U - biến dạng đàn hồi phần tử dầm- nền dị hướng, U1 - biến dạng đàn hồi