Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động phần 2 ths trần thị hoàng oanh

Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Chương THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 6.1 KHÁI NIỆM Thiết kế tồn q trình bổ sung thiết bị phần cứng nhƣ thuật toán phần mềm vào hệ cho trƣớc để đƣợc hệ thỏa mãn yêu cầu tính ổn định, độ xác, đáp ứng q độ,… Có nhiều cách bổ sung điều khiển vào hệ thống cho trƣớc, khn khổ giáo trình chủ yếu xét hai cách sau: • Cách 1: thêm điều khiển nối tiếp với hàm truyền hệ hở, phƣơng pháp gọi hiệu chỉnh nối tiếp Bộ điều khiển đƣợc sử dụng hiệu chỉnh sớm pha, trễ pha, sớm trễ pha,P, PD, PI, PID,… Để thiết kế hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp sử dụng phƣơng pháp QĐNS hay phƣơng pháp biểu đồ Bode Ngoài phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng thiết kế theo đặc tính độ chuẩn Hình 6.1 Hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp • Cách 2: điều khiển hồi tiếp trạng thái, theo phƣơng pháp tất trạng thái hệ thống đƣợc phản hồi trở ngõ vào tín hiệu điều khiển có dạng u(t )  r (t )  Kx(t ) Tùy theo cách tính vector hồi tiếp trạng thái K mà tacó phƣơng pháp điều khiển phân bố cực, điều khiển tối ƣu LQR,… Hình 6.2 Hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái Q trình thiết kế hệ thống q trình địi hỏi tính sáng tạo thiết kế thƣờng có nhiều thơng số phải chọn lựa Ngƣời thiết kế cần thiết phải hiểu đƣợc ảnh hƣởng khâu hiệu chỉnh đến chất lƣợng hệ thống chất phƣơng pháp thiết kế thiết kế đƣợc hệ thống có chất lƣợng tốt Do phƣơng pháp thiết kế trình bày chƣơng mang tính gợi ý, cách thƣờng đƣợc sử dụng phƣơng pháp bắt buộc phải tuân theo Việc áp dụng 104 Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cách máy móc thƣờng khơng đạt đƣợc kết mong muốn thực tế Dù thiết kế theo phƣơng pháp yêu cầu cuối thỏa mãn chất lƣợng mong muốn, cách thiết kế, cách chọn lựa thông số không quan trọng Trƣớc xét đến phƣơng pháp thiết kế điều khiển, xét ảnh hƣởng điều khiển đến chất lƣợng hệ thống Chƣơng trình bày điều khiển dƣới dạng mơ tả tốn học, mạch điều khiển cụ thể xem lại chƣơng 6.2 ẢNH HƢỞNG CỦA CÁC BỘ ĐIỀU KHIỂN ĐẾN CHẤT LƢỢNG CỦA HỆ THỐNG 6.2.1 Ảnh hƣởng cực zero Trong mục khảo sát ảnh hƣởng việc thêm cực zero vào hệ thống cách dựa vào quỹ đạo nghiệm số Ta thấy: • Khi thêm cực có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở QĐNS hệ kín có xu hƣớng tiến gần phía trục ảo (xem hình 6.3), hệ thống ổn định hơn, độ dự trữ biên độ dự trữ pha giảm, độ vọt lố tăng Hình 6.3 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm cực vào hệ thống • Khi thêm zero có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở QĐNS hệ kín có xu hƣớng tiến xa trục ảo (xem hình 6.4), hệ thống ổn định hơn, độ dự trữ biên độ dự trữ pha tăng, độ vọt lố giảm Hình 6.4 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm cực vào hệ thống 6.2.2 Ảnh hƣởng hiệu chỉnh sớm trễ pha 6.2.2.1 Hiệu chỉnh sớm pha: Hàm truyền: Gc ( s)   aTs  Ts (  1) 105 (6.1) Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Đặc tính tần số: Gc ( j )   aTj  Tj (  1) Hình 6.5 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm pha Dựa vào biểu đồ Bode khâu sớm pha thấy đặc tính pha dƣơng (     0,  ), tín hiệu ln ln sớm pha tín hiệu vào Khâu hiệu chỉnh sớm pha lọc thông cao (xem biểu đồ Bode biên độ), sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha mở rộng đƣợc băng thông hệ thống, làm cho đáp ứng hệ thống nhanh hơn, khâu hiệu chỉnh sớm pha cải thiện đáp ứng độ Tuy nhiên tác dụng mở rộng băng thông mà khâu hiệu chỉnh sớm pha làm cho hệ thống nhạy với nhiễu tần số cao Hình 6.5 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm pha Các thơng số cần ý đặc tính tần số khâu sớm pha: • Độ lệch pha cực đại:   1    1  max  sin 1  (6.2) • Tần số độ lệch pha cực đại:  max  (6.3) T  • Biên độ pha cực đại: Lmax   10 lg  Chứng minh: (6.4) 106 Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục   j T    1  jT 1  jT     arg    T 2    jT       arg  T   1   arg  T 2  jT    1  arctan  2 1  T      T   1   1   1  arctan    arcsin     arctan   1 2     T    1 Do đó:  max  arcsin      1 Dấu đẳng thức xảy khi:  T 2 max  max  / T        Thay max  / T  vào biểu thức biên độ khâu sớm pha ta dễ dàng rút công thức (6.4) 6.2.2.2 Hiệu chỉnh trễ pha:  aTs  Ts  aTj Đặc tính tần số: Gc ( j )   Tj Hàm truyền: Gc ( s)  (  1) (6.5) Hình 6.6 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh trễ pha Dựa vào biểu đồ Bode khâu trễ pha ta thấy đặc tính pha ln âm (  ( )  0,  ) nên tín hiệu ln ln trễ pha tín hiệu vào Khâu hiệu chỉnh trễ pha lọc thông thấp (xem biểu đồ Bode biên độ), sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha thu hẹp băng thông hệ thống, làm cho hệ số khuếch đại hệ thống tín hiệu vào tần số cao giảm đi, khâu hiệu chỉnh trễ pha khơng có tác dụng cải thiện đáp ứng độ Tuy nhiên tác dụng làm giảm hệ số khuếch đại miền tần số cao mà khâu trễ pha có tác dụng lọc nhiễu tần số cao ảnh hƣởng đến hệ thống Do hệ số khuếch đại miền tần số thấp lớn nên khâu hiệu chỉnh trễ pha làm giảm sai số xác lập hệ thống (xem biểu thức sai số xác lập trình bày chƣơng 5) Các thơng số cần ý đặc tính tần số khâu trễ pha: • Độ lệch pha cực tiểu:   1    1   sin 1  (6.6) • Tần số độ lệch pha cực tiểu:   (6.7) T  • Biên độ pha cực tiểu: Lmin   10 lg  Chứng minh: Tƣơng tự nhƣ làm khâu sớm pha 107 (6.8) Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Hình 6.6 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh trễ pha 6.2.2.3 Hiệu chỉnh sớm trễ pha: Khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha gồm khâu trễ pha mắc nối tiếp với khâu sớm pha Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ viết dƣới dạng:   1T1s    2T2 s    GC ( s)  GC1 ( s).GC ( s)   (6.9)   T1s   T2 s  Để biểu thức (6.9) hàm truyền khâu sớm trễ pha thơng số phải thỏa điều kiện: 1  1,   1, / 1T1   /  2T2  Đặc tính tần số khâu sớm trễ pha:   1T1 j    2T2 j    Gc  j    (6.10)   T1 j   T2 j  Hình 6.7 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha 108 Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Hình 6.7 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha Ở miền tần số cao tín hiệu sớm pha tín hiệu vào; miền tần số thấp tín hiệu trễ pha tín hiệu vào nên khâu hiệu chỉnh đƣợc gọi khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha Khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha lọc chắn dãi (xem biểu đồ Bode biên độ), hệ số khuếch đại miền tần số cao lớn làm cải thiện ứng độ; hệ số khuếch đại miền tần số thấp lớn làm giảm sai số xác lập, khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha kết hợp ƣu điểm khâu hiệu chỉnh sớm pha trễ pha 6.2.3 Hiệu chỉnh PID 6.2.3.1 Hiệu chỉnh tỉ lệ P: (Proportional) Hàm truyền: Gc (s)  K P (6.11) Đặc tính tần số khâu hiệu chỉnh tỉ lệ đƣợc trình bày chƣơng Dựa vào biểu thức sai số xác lập trình bày chƣơng ta thấy hệ số khuếch đại KP lớn sai số xác lập nhỏ, nhiên KP tăng cực hệ thống nói chung có xu hƣớng di chuyển xa trục thực, điều có nghĩa đáp ứng hệ thống dao động, độ vọt lố cao Nếu KP tăng giá trị hệ số khuếch đại giới hạn hệ thống trở nên ổn định Do khơng thể muốn sai số hệ thống tăng hệ số khuếch đại lên vô Thí dụ 6.1: Khảo sát ảnh hưởng điều khiển tỉ lệ Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối nhƣ hình 6.1, hàm truyền đối tƣợng là: G( s)  10 Bộ điều khiển đƣợc sử dụng điều khiển tỉ lệ ( s  2)(s  3) Đƣờng liền nét hình 6.8 đáp ứng hệ thống chƣa hiệu chỉnh KP = Theo hình vẽ ta thấy tăng KP sai số xác lập giảm, đồng thời độ vọt lố tăng lên (các đƣờng đứt nét) Hình 6.8 Đáp ứng nấc hệ thống kín thay đổi hệ số khuếch đại điều khiển tỉ lệ 6.2.3.2 Hiệu chỉnh vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative) GC (s)  K P  K D s  K P (1  TD s) Hàm truyền: K D  K PTD , TD đƣợc gọi thời vi phân điều khiển PD Đặc tính tần số: GC ( j)  K P  K D j  K P (1  jTD ) 109 (6.12) (6.13) Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Hình 6.9 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PD Mắc nối tiếp khâu hiệu chỉnh PD với hàm truyền đối tƣợng tƣơng đƣơng với việc thêm vào hệ thống zero vị trí –1/TD Nhƣ trình bày mục 6.2.1, việc thêm vào hệ thống zero làm cho QĐNS có xu hƣớng rời xa trục ảo tiến gần phía trục thực, làm giảm độ vọt lố hệ thống Hình 6.9 đặc tính tần số khâu hiệu chỉnh PD Dựa vào biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PD ta thấy khâu hiệu chỉnh PD trƣờng hợp riêng khâu hiệu chỉnh sớm pha, độ lệch pha cực đại tín hiệu tín hiệu vào  max  900 , tƣơng ứng với tần số max   Khâu hiệu chỉnh PD có đặc điểm khâu hiệu chỉnh sớm pha, nghĩa làm nhanh đáp ứng hệ thống, giảm thời gian độ Tuy nhiên hệ số khuếch đại tần số cao khâu hiệu chỉnh PD vô lớn nên khâu hiệu chỉnh PD làm cho hệ thống nhạy với nhiễu tần số cao Do xét ảnh hƣởng nhiễu tần số cao khâu hiệu chỉnh sớm pha có ƣu khâu hiệu chỉnh PD Thí dụ 6.2: Khảo sát ảnh hưởng điều khiển vi phân tỉ lệ Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối nhƣ hình 6.1, hàm truyền đối tƣợng là: G( s)  K (a  b  0) Bộ điều khiển đƣợc sử dụng điều ( s  a)(s  b) khiển vi phân tỉ lệ Phƣơng trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh là:  K P (1  TD s) K 0 ( s  a)( s  b) Ảnh hưởng đặc trưng khâu PD định thời vi phân TD (cũng vị trí zero –1/TD QĐNS hay tần số gãy 1/TD đặc tính tần số) Tùy theo giá trị TD mà QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh có dạng nhƣ hình 6.10 110 Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Hình 6.10 Sự thay đổi dạng QĐNS thêm khâu hiệu chỉnh PD vào hệ thống Ta thấy < 1/TD < a QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh nằm hồn tồn trục thực (hình 6.10b 6.10c), đáp ứng hệ thống hồn tồn khơng có dao động Nếu 1/TD > a tùy giá trị KP mà hệ thống có nghiệm phức, nhiên nghiệm phức gần trục thực so với trục ảo (nghĩa ξ>0.707), độ vọt lố hệ thống thấp so với chƣa hiệu chỉnh Hình 6.11a trình bày đáp ứng độ hệ thống thay đổi giá trị TD giữ hệ số KP số Ta thấy TD lớn đáp ứng nhanh, thời gian lên ngắn Tuy nhiên thời gian lên nhanh dẫn đến vọt lố mặt dù đáp ứng khơng có dao động Khi xác định đƣợc TD ảnh hƣởng KP tƣơng tự nhƣ ảnh hƣởng khâu khuếch đại, nghĩa KP tăng (nhƣng phải nhỏ Kgh) sai số xác lập giảm (hình 6.11b), nhiên sai số xác lập lúc khác Mặt khác trƣờng hợp hệ thống khảo sát, KP tăng QĐNS rời xa trục ảo nên thời gian đáp ứng nhanh lên Tuy nhiên ảnh hƣởng ảnh hƣởng đặc trƣng khâu PD 111 Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục Hình 6.11 Ảnh hưởng khâu hiệu chỉnh PD đến đáp ứng nấc đơn vị hệ thống 6.2.3.3 Hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ PI: (Proportional Integral) Hàm truyền: GC ( s)  K P   K1    K P 1  s  T1s  (6.14) K I  K P / TI , TI đƣợc gọi thời tích phân điều khiển PI  Đặc tính tần số: GC ( j )  K P 1     TI j  (6.15) Mắc nối tiếp khâu hiệu chỉnh PI với hàm truyền đối tƣợng tƣơng đƣơng với việc thêm vào hệ thống zero vị trí –1/TI cực góc tọa độ, điều làm cho QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh bị đẩy phía phải mặt phẳng phức, nên hệ thống ổn định Hình 6.12 Biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PI Hình 6.12 biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PI Dựa vào biểu đồ Bode khâu hiệu chỉnh PI ta thấy khâu hiệu chỉnh PI trƣờng hợp riêng khâu hiệu chỉnh trễ pha, độ lệch pha cực tiểu tín hiệu tín hiệu vào   900 tƣơng ứng 112 Chương 6: Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục với tần số min  Khâu hiệu chỉnh PI có đặc điểm khâu hiệu chỉnh trễ pha, nghĩa làm chậm đáp ứng độ, tăng độ vọt lố, giảm sai số xác lập Do hệ số khuếch đại khâu PI vô tần số nên khâu hiệu chỉnh PI làm cho sai số tín hiệu vào hàm nấc hệ thống khơng có khâu vi phân lý tƣởng (hệ vơ sai bậc 1) Ngồi khâu PI lọc thông thấp nên cịn có tác dụng triệt tiêu nhiễu tần số cao tác động vào hệ thống Thí dụ 6.3: Khảo sát ảnh hưởng điều khiển tích phân tỉ lệ Xét hệ thống hiệu chỉnh nối tiếp có sơ đồ khối nhƣ hình 6.1, hàm truyền đối tƣợng là: G( s)  K (a  b  0) Bộ điều khiển đƣợc sử dụng điều ( s  a)(s  b) khiển tích phân tỉ lệ Phƣơng trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh là:   TI s  K   K P  0  TI s  ( s  a)( s  b) Ảnh hưởng đặc trưng khâu PI định thời tích phân TI (cũng vị trí zero –1/TI QĐNS hay tần số gãy 1/TI đặc tính tần số) Tùy theo giá trị TI mà QĐNS hệ thống sau hiệu chỉnh có dạng nhƣ hình 6.13 c) Chưa hiệu chỉnh d) Đã hiệu chỉnh Hình 6.13: Sự thay đổi dạng QĐNS thêm khâu hiệu chỉnh PI vào hệ thống 113 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Để khảo sát khả tồn dao động tuần hoàn không tắt hệ, đầu vào khâu phi tuyến ta cho tác động sóng điều hịa e(t )  M sint  Tín hiệu khâu phi tuyến khơng phải tín hiệu hình sin Phân tích Fourier ta thấy u(t) chứa thành phần tần số ω thành phần hài bậc cao 2ω, 3ω u (t )  A0    Ak sin kt   Bk coskt  k 1 Các hệ số Fourier xác định theo công thức sau: A0  Ak  Bk       u (t )d (t )    u (t ) sin kt d (t )    u (t ) cosnt d (t )  Giả thiết G(s) lọc thông thấp, thành phần hài bậc cao ngõ khâu tuyến tính khơng đáng kể so với thành phần tần số bản, tín hiệu khâu tuyến tính gần bằng: y(t )  Y1 sint  1  Điều kiện để hệ có dao động ổn định với tần số  là: M sint   e(t )   y(t )  Y1 sint  1  Y  M Suy ra:  1   Phƣơng trình cân biên độ Phƣơng trình cân pha Hàm mơ tả Xét khâu phi tuyến: Do tín hiệu vào khâu phi tuyến tín hiệu hình sin: e(t )  M sint  212 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Tín hiệu u(t) xấp xỉ thành phần tần số (do ta bỏ qua thành phần hài bậc cao) u(t )  u1 (t )  A1 sint   B1 cost  Nên ta coi khâu phi tuyến nhƣ khâu khuếch đại có hệ số khuếch đại là: N (M )  A1  jB1 M Tổng quát N(M) hàm phức nên ta gọi hệ số khuếch đại phức khâu phi tuyến Vì quan hệ vào khâu phi tuyến mơ tả gần hệ số khuếch đại phức N(M) nên N(M) đƣợc gọi hàm mô tả khâu phi tuyến Định nghĩa: Hàm mơ tả (hay cịn gọi hệ số khuếch đại phức) tỉ số thành phần sóng hài tín hiệu khâu phi tuyến tín hiệu vào hình sin N (M )  A1   A1  jB1 M   u(t ) sinkt d (t )  B1     u(t ) cosnt d (t )  Trong cơng thức u(t) tín hiệu khâu phi tuyến tín hiệu vào M sin(t ) Nếu u(t) hàm lẻ thì: A1     u(t ) sinkt d (t ) B1   Hàm mô tả khâu phi tuyến - Khâu relay vị trí 213 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Do u(t) hàm lẻ nên: A1      u(t ) sint d (t )    V  m sin (t )d (t )  B1  Do hàm mơ tả khâu relay vị trí là: N (M )  A1  jB1 4Vm  M M - Khâu relay vị trí Do u(t) hàm lẻ nên B1  214 2Vm  cost    t  4Vm  Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến A1     u(t ) sint d (t )      Vm sin (t )d (t )   2Vm   cost     4Vm t   cos  B1  Theo đồ thị ta có: D  M sin   sin    A1  4Vm  1 D D2  cos    M M D2 M2 Do hàm mơ tả khâu relay vị trí là: N (M )  A1  jB1 4Vm D2  1 M M M Khâu khuếch đại bão hòa - Do u(t) hàm lẻ nên B1  A1    /2 u (t ) sin t d (t )   u (t ) sin t d (t )      /2   Vm M   sin t d (t )   Vm sin t d (t )  0 D   215 2Vm  cos t     t  4Vm  cos  Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến  / Vm M  sin 2t    /2     Vm cos t d (t ) t    t     D   t 0    /  M V m Vm M  sin 2   2  sin 2     Vm cos          D   t 0     D Do hàm mơ tả khâu khuếch đại bão hòa là: N (M )  A1  jB1 Vm 2  sin2   M M D   sin    M  - Khâu khuếch đại có vùng chết Do u(t) hàm lẻ nên B1  A1     u(t ) sin t d (t )    /2  K M sin t   Dsin t d (t )  KM  sin 2t   D   t    cost      M   /2  2  sin 2t    KM 1      Do hàm mơ tả khâu khuếch đại có vùng chết là: N (M )  A1  jB1  2  sin 2t    K 1   M    D   sin    M  - Khâu relay vị trí có trễ: 216 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Ta có: A1  B1 2   u(t ) sint d (t )      2    u(t ) cost d (t )      Vm sin t d (t )      V  m 4Vm cos   cos t d (t )   4Vm  sin  Do hàm mơ tả khâu relay vị trí có trể là: N (M )  A1  jB1 4Vm cos   j sin    M  D   sin    M  Khảo sát chế độ dao động điều hòa hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến có sơ đồ nhƣ sau: Phƣơng trình đặc trƣng hệ thống là:  N ( M )G( j )   G( j )   N (M ) (*) Phƣơng trình đƣợc gọi phƣơng trình cân điều hịa Phƣơng trình đƣợc dùng để xác định biên độ tần số dao động điều hòa hệ phi tuyến 217 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Nếu (M * ,  * ) nghiệm phƣơng trình (*) hệ phi tuyến có dao động với tần số  * , biên độ M * Về mặt hình học, nghiệm (M * ,  * ) nghiệm phƣơng trình (*) giao điểm đƣờng cong Nyquist G( j ) khâu tuyến tính đƣờng đặc tính -1/N(M)của khâu phi tuyến Dao động hệ phi tuyến ổn định theo chiều tăng đặc tính  / N (M ) khâu phi tuyến chuyển từ vùng không ổn định sang vùng ổn định khâu tuyến tính G( j ) Trình tự khảo sát chế độ dao động hệ phi tuyến Bước 1: Xác định hàm mô tả khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến khâu bản) Bước 2: Điều kiện tồn dao động hệ: đƣờng cong Nyquist G( j ) đƣờng đặc tính  / N (M ) phải cắt Bước 3: Biên độ, tần số dao động (nếu có) nghiệm phƣơng trình: G( j )   N (M ) (*) Nếu N(M) hàm thực thì: - Tần số dao động tần số cắt pha   khâu tuyến tính G( j ) G( j )   - Biên độ dao động nghiệm phƣơng trình:  G( j  ) N (M ) Thí dụ 1: Xét hệ phi tuyến có sơ đồ nhƣ sau: 218 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Hàm truyền khâu tuyến tính là: G( s)  10 s(0.2s  1)(2s  1) Khâu phi tuyến khâu relay vị trí có Vm  Hãy xác định biên độ vào tần số dao động tự kích hệ (nếu có) Giải: Hàm mơ tả khâu relay vị trí là: N (M )  4Vm M Do đƣờng cong Nyquist G( j ) đƣờng đặc tính  / N (M ) ln ln cắt (xem hình vẽ) nên hệ phi tuyến ln ln có dao động Tần số dao động tần số cắt pha G( j ) :   10 G ( j  )  arg     j  ( j   )( j   )            arctan(0.2 )  arctan 2     arctan(0.2 )  arctan 2    2 0.2    2        0.2   2        1.58rad / sec   0.2   2   Biên độ dao động nghiệm phƣơng trình:  G  j    N (M )  M 4Vm 10 1.58  (0.2  1.58)  2  1.58  1.82  1.82  M  13.90 Kết luận: Trong hệ phi tuyến có dao động y(t )  13.90 sin(1.58t ) Thí dụ 2: Xét hệ phi tuyến có sơ đồ nhƣ sau: 219 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Hàm truyền khâu tuyến tính là: G( s)  10 s(0.2s  1)(2s  1) Khâu phi tuyến khâu relay vị trí Hãy tìm điều kiện để hệ phi tuyến có dao động Hãy xác định biên độ tần số dao động Vm  6, D  0.1 Giải: A1  jB1 4Vm D2  1 Hàm mô tả khâu relay vị trí N ( M )  M M M Điều kiện để hệ thống có dao động đƣờng cong Nyquist G( j ) đƣờng đặc tính 1-N(M) phải cắt Điều xảy khi:   G j   N (M ) Giải: Tần số cắt pha G( j ) (xem cách tính thí dụ 1)   1.58(rad / sec) Để dao động xảy ta phải có điều kiện:  10  G j     1.82 N (M ) 1.58  (0.2  1.58)  (2  1.58) (*)  N (M )  0.55 Theo bất đẳng thức Cauchy: 220 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến 4Vm 2V D2 N (M )  1  m M 2D M  D  D  2Vm       M  D  M  Do điều kiện (*) đuợc thỏa mãn khi: 2Vm V  0.55  m  0.864 D D Vậy điều kiện để hệ có dao động tự kích là: Vm  0.864 D Biên độ dao động nghiệm phƣơng trình: 4Vm D2   1.82  N ( M )  0.55    0.55 N (M ) M M Khi Vm  6, D  0.1 , giải phƣơng trình ta đƣợc M= 13.90 Vậy dao động hệ là: y(t )  13.90 sin(1.58t ) 9.4 PHƢƠNG PHÁP LYAPUNOV 9.4.1 Giới thiệu - Phƣơng pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định hệ phi tuyến - Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao - Có thể dùng phƣơng pháp Lyapunov để thiết kế điểu khiển phi tuyến - Hiện phƣơng pháp Lyapunov phƣơng pháp đƣợc sử dụng rộng rãi để phân tích thiết kế hệ phi tuyến 9.4.2 Một số định nghĩa Xét hệ phi tuyến mơ tả phƣơng trình trạng thái sau: x  f ( x, u) Định nghĩa: Một điểm trạng thái x * đuợc gọi điểm cân nhƣ điểm trạng thái x * khơng có tác động từ bên ngồi hệ nằm nguyên Dễ thấy điểm cân phải nghiệm phƣơng trình: x  f ( x, u) u 0  Hệ phi tuyến có nhiều điểm cân họăc khơng có điểm cân Điều hòan tòan khác so với hệ tuyến tính, hệ tuyến tính ln ln có điểm cân x* = 221 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Định nghĩa: Một hệ thống đƣợc gọi ổn định (tiệm cận) điểm cân x * nhƣ có tác động tức thời đánh bật hệ khỏi x * đƣa đến đƣợc x thuộc lân cận sau hệ có khả tự quay đƣợc điểm cân x * ban đầu Chú ý: Tính ổn định hệ phi tuyến có nghĩa với điểm cân Có thể hệ ổn định điểm cân nhƣng không ổn định điểm cân khác Định nghĩa: Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả phƣơng trình trạng thái: x  f ( x, u) u 0  (1) Giả sử hệ thống có điểm cân x * = Hệ thống đƣợc gọi ổn định Lyapunov điểm cân với   tồn  phụ thuộc  cho nghiệm x(t) phƣơng trình (1) với điều kiện đầu x(0) thỏa mãn: x(0)    x(t )   , t  Hệ thống đƣợc gọi ổn định tiệm cận Lyapunov điểm cân   với tồn  phụ thuộc  cho nghiệm x(t) phƣơng trình (1) với điều kiện x(0) thỏa mãn: lim x(t )  t  9.4.3 Phƣơng pháp tuyến tính hóa Lyapunov Cho hệ thống tuyến phƣơng trình trạng thái: x  f ( x, u) (1) Giả sử xung quanh cân bằng, hệ thống (1) tuyến tính hóa dạng: ~ x  A~ x  Bu~ (2) Định lý: Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn định hệ phi tuyến (1) ổn định tiệm cận điểm cân x * Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) khơng ổn định hệ phi tuyến (1) không ổn định điểm cân x * Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) biên giới ổn định khơng kết luận đƣợc tính ổn định hệ phi tuyến điểm cân x * Phƣơng pháp trực tiếp Lyapunov Định lý: Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả phƣơng trình trạng thái: x  f ( x, u) u 0  (1) 222 Chương 9: Hệ thống điều khiển phi tuyến Giả sử hệ thống có điểm cân x * = Nếu tồn hàm V(x) cho: i) ii ) iii ) V (0)  V ( x)  0, x  V ( x)  0, x  Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov điểm Chú ý: Hàm V(x) thƣờng đƣợc chọn hàm toàn phƣơng theo biến trạng thái 223 Phụ lục Bảng biến đổi Laplace biến đổi Z STT Hàm Laplace F(s) Hàm thời gian f(t) Hàm z f(z) 1 Hàm Dirac (t) s Hàm nấc đơn vị u(t)= 1(t) z z 1 s2 t Tz ( z  1) s3 t2 T z ( z  1) 2( z  1) tn n! s n 1 (1) n  n  z   n  aT  a 0 n! a  z  e  l im sa e-at z z  e  aT ( s  a) t.e-at Tze  aT ( z  e  aT ) a s( s  a) - e-at (1  e  aT ) z ( z  1)( z  e  aT ) ( s  a)( s  b) (e at  e bt ) (b  a) (e  aT  e bT ) z ( z  e aT ( z  e bT ) 10 s( s  a) (1  at )e t a z[ z  e  aT (1  aT )] ( z  e aT ) 11 a s ( s  a) 12 a t  e  at a z[(aT   e  aT ) z  (1  e  aT  aTe  aT )] a( z  1) ( z  e aT ) sinat z sin aT z  z cos aT  s2  a2 224 Phụ lục 13 z ( z  cos aT ) z  (2 cos aT ) z  s s  a2 cosat  e-atsin  t z  e  aT sin T z  ze aT cos T  e 2 aT 2 14 ( s  a)   2 15 sa ( s  a)   e-atcos  t z  ze  aT cos T z  ze aT cos T  e 2 aT 16 a2 s( s  a) - (1+ at)e-at z z aTe  aT z   z  z  e aT ( z  e aT )2 17 s( s  a)( s  b) e  at be bt   ab a(a  b) b(b  a) 225 ( Az  B) z ( z  e )( z  e bT )( z  1)  aT A b(1  e  aT )  a(1  e bT ) ab(b  a) B ae  aT (1  e bT )  be bT (1  e  aT ) ab(b  a) - Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phƣơng Hà, Lí thuyết Điều khiển Tự động, NXB ĐH Quốc gia, 2005 [2] Lƣơng Văn Lăng, Cơ sở tự động, NXB ĐH Quốc gia, 2002 [3] Benjamin C Kuo, Automatic Control Systems, Prentice-Hall, 2002 [4] Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice-Hall, 2002 226 ... thiết kế điều khiển, xét ảnh hƣởng điều khiển đến chất lƣợng hệ thống Chƣơng trình bày điều khiển dƣới dạng mơ tả tốn học, mạch điều khiển cụ thể xem lại chƣơng 6 .2 ẢNH HƢỞNG CỦA CÁC BỘ ĐIỀU KHIỂN... hiệu điều khiển (điều khiển đƣợc) Mục trình bày cụ thể khái niệm điều khiển đƣợc quan sát đƣợc nhƣ kiểm tra tốn học để đánh giá hệ điều khiển đƣợc quan sát đƣợc hay không 6.5 .2. 1 Tính điều khiển. .. Tính điều khiển đƣợc quan sát đƣợc có ý nghĩa quan trọng lý thuyết điều khiển tối ƣu đại, tính chất định tồn lời giải cho toán điều khiển tối ƣu Độc giả tham khảo thêm tài liệu lý thuyết điều khiển