Đang tải... (xem toàn văn)
Khai thác và phát triển tính chất của lũy thừa bậc 2 (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) 1/18 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Sơ đồ khai thác tính chất lũy thừa bậc hai trong SKKN năm học 201[.]
Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) MỤC LỤC NỘI DUNG Sơ đồ khai thác tính chất lũy thừa bậc hai SKKN năm học 2014-2015 I – ĐẶT VẤN ĐỀ 1) Lý chọn để tài 2) Phạm vi đề tài 3) Thời gian thực đề tài 4) Đối tượng nghiên cứu 5) Phương pháp nghiên cứu II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1) Quá trình chuẩn bị 2) Quá trình thực Khắc sâu BĐT kép Sử dụng hẳng bất đẳng thức (I): a2 + b2 ≥ 2ab TRANG 1-2 4 4 Sử dụng hẳng bất đẳng thức (II): (a + b)2 ≥ 4ab 5 Sử dụng BĐT (III): 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 14 III – KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1) Kết 2) Bài học kinh nghiệm SƠ ĐỒ KHAI THÁC BĐT (I) (SKKN năm học 2014 -2015) 1/18 17 18 Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) A2 ≥ (A - B)2 (ay - bx)2 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + 1 + + ) ≥ với x, y, z>0 x y z (x + y + z)( x, y, z > x+ y + z 1 1 CMR: + + ≥ x y z x, y, z > x+ y + z = 1 1 CMR: + + ≥ x y z a, b, c > a+ b + c CMR a 2bc b 2ac c 2ab a b c + + ≥ với bc ac ba abc a2 b2 c2 + + ≥ với bc ac ba a,b,c>0 a2 b2 c2 + + ≥ với bc ca ba + x ( y z) + y ( z x) 3 ≥ với x,y,z > z ( x y) ; xyz = 1 + x ( y z) 1 + với x,y,z > y ( z x) z ( x y) Tìm GTNN của: SƠ ĐỒ : xyz = 1KHAI THÁC BĐT (II) VÀ (III) (SKKN năm học 2014 -2015) A2 ≥ 2/18 1 Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ 1- Lý chọn đề tài Tại đại hội toàn quốc lần thứ IX Đảng cộng sản Việt Nam khẳng định: “Giáo dục đào tạo phải có đổi nâng cao chất lượng toàn diện nội dung phương pháp dạy học Phát huy tư khoa học sáng tạo, lực tự học , tự nghiên cứu học sinh” Sự phát triển mạnh mẽ cách mạng khoa học công nghệ thông tin đại tốn học có tác dụng sâu sắc lĩnh vực xã hội loài người Chính vậy, chiến lược người nay, nhà nước ta coi trọng đặc biệt việc nâng cao toàn diện giáo dục cho học sinh Đặc biệt nhà nước ta thị giáo dục đề cao bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh có khiếu, bồi dưỡng nhân tài trường phổ thơng Tốn học nội dung quan trọng công tác bồi dưỡng phát triển lực cho học sinh học sinh giỏi Trong chương trình Tốn lớp, Cuốn sách Đại số có tính chất: Luỹ thừa bậc hai số.Nắm chắc, hiểu sâu tính chất này, học sinh áp dụng vào nhiều toán Bất đẳng thức Phạm vi chọn đề tài Nội dung viết Sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày việc khai thác tính chất: Luỹ thừa bậc hai số khơng âm Biến đổi thành Bất đẳng thức kép hương dẫn học sinh sử dụng Các tốn Sáng kiến kinh nghiệm chọn lọc đủ dạng loại Đại số hình học giúp học sinh sử dụng tốt Bất đẳng thức Đặc biệt sâu vào biện pháp khai thác phát triển sử dụng Bất đẳng thức: (a -b)2≥ Tuỳ theo mức độ dạy cho học sinh đại trà học sinh giỏi Thời gian thực - Các năm học 2014-2015; 2015-2016; 2016-2017 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8A1, 9A1 - Trường THCS Phương Liệt Các phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu sách tham khảo - Tổng hợp nội dung nghiên cứu theo dạng chuyên đề - Trong trình nghiên cứu phương pháp thực tiễn gồm: + Phương pháp điều tra + Phương pháp thực nghiệm + Phương pháp nêu vấn đề + Phương pháp phân tích tổng hợp 3/18 Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Quá trình chuẩn bị Khảo sát thực tế: Sau nhận lớp, dành thời gian làm quen với lớp, tình hình học tập em Đánh giá sơ trình độ nhận thức học sinh qua kiểm tra chất lượng Tìm phương pháp giảng dạy thích hợp với đối tượng + Giáo viên nghiên cứu nội dung SGK lớp 8, SGK lớp 9, hệ thống tập lien quan đến bất đẳng thức từ lớp đến lớp đặc biệt lớp lớp + Hệ thống lại tập dạng loại, sâu chuỗi kiến thức lại với tạo thành hệ thống tập phát triển tư vững + Sau dạng loại, có chốt kiến thức khắc sâu phương pháp + Phương pháp dạy học phải tạo điều kiện cho học sinh học tập trải nghiệm, phát triển lực tự học cho học sinh Tôi thực đề tài với lớp 8A1, 9A1 Thời gian thực tháng Khảo sát kết trước thực sau: Xếp loại Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 8A1 30% 38% 27% 5% Lớp 9A1 28% 43% 22% 7% Trước thực đề tài: việc chứng minh bất đẳng thức gặp vơ khó khăn, học sinh khơng biết vận dụng kiến thức để chứng minh bất đẳng thức, không khí học tập trầm đơn điệu, học sinh giỏi chán nản, có ý thức chủ quan xem nhẹ học tập, coi thường thiếu ý chí vươn lên 4/18 Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) 2) Quá trình thực hiện: A KHẮC SÂU BẤT ĐẲNG THỨC KÉP: a2 + b2 ≥ (a b) ≥ 2ab 1/.Tính chất lũy thừa bậc hai “Bình phương số không âm” A ≥ A Suy rộng : (a – b)2≥ với a, b R Đây bất đẳng thức quen thuộc mà việc ứng dụng giải tập Đại số Hình học có hiệu : a2 + b2 ≥ 2ab 2 (a – b) = a – 2ab + b ≥ (a + b)2 ≥ 4ab a + b ( a b) ≥ (I) (II) (III) Dấu xảy a = b Cả ba Bất đẳng thức nêu lên ý nghĩa quan hệ tổng hai số với tích chúng với tổng bình phương hai số 2.Chứng minh Bất đẳng thức (I), (II), (III) BĐT (I): a2 + b2 ≥ 2ab a2 – 2ab + b ≥ (a – b)2 ≥ (đúng) Dấu “=” xảy a = b BĐT (II): (a + b)2 ≥ 4ab a2 + 2ab + b2 – 4ab ≥ a2 – 2ab + b ≥ (a – b)2 ≥ (đúng) Dấu “=” xảy a = b BĐT (III): a2 + b2 ≥ (a b) 2 2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b a2 – 2ab + b ≥ (a – b)2 ≥ (đúng) Dấu “=” xảy a = b Tổng hợp ba Bất đẳng thức (I), (II), (III) tạo Bất đẳng thức kép: 5/18 Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) a2 + b2 ≥ (a b) ≥ 2ab Dấu “=” xảy a = b B CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG I/.Sử dụng hẳng bất đẳng thức (I): a2 + b2 ≥ 2ab *Áp dụng BĐT (II) : a2 + b2≥ 2ab vào đại số 1.Bài toán 1: Cho số a, b, c, x thoả mãn điều kiện x + a + b + c = 2 2 x a b c 13 Chứng minh : ≤ x ≤ Giải : Áp dụng BĐT (I) : a + b ≥ 2ab Do : ( a2 + b2 + c2 ) ≥ 2ab + 2ac + 2bc 3( a2 + b2 + c2 ) ≥ ( a + b + c )2 Mặt khác: (1) a + b + c = – x (2) a2 + b2 + c2 = 13 – x2 Thay vào (*): 3(13 – x2) ≥ (7 – x)2 4x2 – 14x + 10 ≤ 2 2( x – )(x 1≤x≤ (*) )≤0 (đpcm) 2.Bài toán : Cho ba số x, y, z thoả mãn: x + y + x = Chứng minh : x4 + y4 + z4 ≥ xyz Giải : 2 Áp dụng BĐT (I) ta có : a + b ≥ 2ab Do : x4 + y4 ≥ 2x2y2 y4 + z4 ≥ 2y2z2 z4 + x4 ≥ 2z2x2 2( x4 + y4 + z4 )≥ 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) Áp dụng bất đẳng thức (I) x2y2 + y2z2 ≥ 2xy2z y2z2 + x2z2 ≥ 2yz2x z2x2 + x2y2 ≥ 2zx2y 2( x2y2 + y2z2 + x2z2) ≥ 2xyz( x + y + z ) Từ (1), (2) suy ra: x4 + y4 + z4 ≥ xyz (đpcm) 6/18 (1) (2) Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 2014 – 2015) 3.Bài toán 3: Cho ba số a, b, c, d thoả mãn điều kiện: a + b + c + d = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ Giải: 2 Áp dụng bất đẳng thức (1): a + b ≥ 2ab ta có : a2 + b2 ≥ 2ab a2 + b2 ≥ 2ab c2 + b2 ≥ 2cb a2 + d ≥ 2ad d2 + c2 ≥ 2dc b2 +d2 ≥ 2db Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 3(a2 + b2 + c2 + d2) ≥ (ab + bc + cd + ac + ad + bd) 4(a2 + b2 + c2 + d2) ≥ (a + b + c + d )2 = 2 = a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (đpcm) Dấu “= ”xảy a = b = c = d = *Áp dụng BĐT (I) : a2 + b2≥ 2ab vào hình học 4.Bài tốn 4: Trong tứ giác lồi ABCD với diện tích S có điểm thoả mãn điều kiện : OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S Chứng minh rằng: ABCD hình vng nhận O tâm C Giải : B + Ký hiệu SABCD = S SAOB = S1; SBOC = S2; SCOD = S3 ; SDOA = S4 1 O + S ≤ OA.OB; S ≤ OB.OC; 2 1 S3≤ OC.OD; S4≤ OD.OA; 2 D A Áp dụng BĐT (1): a2 + b2 ≥ 2ab ab ≤ Ta có : S ≤ 2 ( a + b 2) ( S1 + S2 + S3 + S4 ) 1 ( OA2 + OB2 + OC2 + 2 1 OD2 + OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) = ( OA2 + OB2 + OC2 + OD2) = 2S = S 2 S ≤ OA.OB + OB.OC + OC.OD + OD.OA ≤ Ta thấy điều xảy BĐT trở thành đẳng thức, nghĩa phải có: OA OB; OB OC ; OC OD; OD OA OA OB OC OD ABCD hình vng nhận O làm tâm 5.Bài toán 5: Cho đoạn thẳng AB đường thẳng d song song với Tìm điểm M (M d nằm khác phía AB ) cho tia MA, MB tạo với đường thẳng d thành MCD có diện tích nhỏ 7/18 ... x4 + y4 + z4 )≥ 2( x2y2 + y2z2 + z2x2 ) Áp dụng bất đẳng thức (I) x2y2 + y2z2 ≥ 2xy2z y2z2 + x2z2 ≥ 2yz2x z2x2 + x2y2 ≥ 2zx2y 2( x2y2 + y2z2 + x2z2) ≥ 2xyz( x + y + z ) Từ (1), (2) suy ra: x4.. .Khai thác phát triển tính chất lũy thừa bậc (Tiếp nối SKKN đạt loại C cấp TP năm học 20 14 – 20 15) A2 ≥ (A - B )2 (ay - bx )2 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by )2 (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥... b2 + c2 + d2 ≥ Giải: 2 Áp dụng bất đẳng thức (1): a + b ≥ 2ab ta có : a2 + b2 ≥ 2ab a2 + b2 ≥ 2ab c2 + b2 ≥ 2cb a2 + d ≥ 2ad d2 + c2 ≥ 2dc b2 +d2 ≥ 2db Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 3(a2