Chuong 1 xstkĐH Kinh Tế

Chuong 1 XS TK CHÖÔNG 1 BIEÁN COÁ NGAÃU NHIEÂN VAØ PHEÙP TÍNH XAÙC SUAÁT 1 1 GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP 1 1 1 QUI TAÉC NHAÂN 1 QUI TAÉC Moät coâng vieäc bao goàm k giai ñoaïn (k böôùc coâng vieäc) Giai ñoaïn.

CHƯƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT 1.1 GIẢI TÍCH TỔ HP 1.1.1 QUI TẮC NHÂN QUI TẮC Một công việc bao gồm k giai đoạn (k bước công việc): Giai đoạn có n1 cách hoàn thành, Giai đoạn có n2 cách hoàn thành, Giai đoạn k có nk cách hoàn thành Khi số cách khác để hoàn thành công việc là: n k  ni  n1n2 nk i 1 VÍ DỤ a) 1 A B 2 C Từ A đến B có n1 = đường (cách đi) Từ B đến C có n2 = đường (cách đi)  từ A đến C mà phải qua B có n = n1n2 =  = đường (cách đi): (1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3) b) Từ chữ số 1, 2, lập số hàng chục gồm chữ số khác (tức chữ số xuất tối đa lần)? Công việc lập số hàng chục yêu cầu chia làm giai đoạn: Giai đoạn 1: Chọn số hàng chục, có n1 = cách, từ chữ số cho Giai đoạn 2: Chọn số hàng đơn vị, có n2 = cách, từ chữ số lại  Có n = n1n2 =  = số yêu cầu: 12; 13; 21; 23; 31; 32   12 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT c) Từ chữ số 1, 2, lập số hàng chục (mỗi chữ số xuất nhiều lần) ? Công việc lập số hàng chục chia làm giai đoạn: Giai đoạn 1: Chọn số hàng chục, có n1 = cách, từ chữ số cho Giai đoạn 2: Chọn số hàng đơn vị, có n2 = cách, từ chữ số cho  Coù n = n1n2 =  = số yêu cầu: 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33 1.1.2 CHỈNH HP ĐỊNH NGHĨA Cho tập hợp gồm n phần tử Một nhóm gồm m phần tử lấy từ tập hợp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập m n phần tử (Mỗi phần tử tập hợp xuất tối đa lần chỉnh hợp _ không lặp) m ≤ n CÔNG THỨC Số chỉnh hợp chập m n phần tử là: Am n  Với n!    n! (n  m)!  n (Đọc n giai thừa) Chứng minh: Việc lập chỉnh hợp chập m n phần tử chia làm m giai đoạn: Giai đoạn 1: Chọn phần tử thứ n phần tử, có n cách Giai đoạn 2: Chọn phần tử thứ (n-1) phần tử lại, có (n-1) cách Giai đoạn m: Chọn phần tử thứ m (n-m+1) phần tử lại, có (n-m+1) cách Theo qui tắc nhân, ta có: Am n  n(n  1) (n  m  1) m chữ số theo thứ tự giảm dần  n(n  1) (n  m  1)(n  m)(n  m  1) (n  m)(n  m  1) 1  n! (n  m)! 13 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT VÍ DỤ a) Số số hàng chục gồm chữ số khác lập nên từ chữ số 1, 2, (Mỗi chữ số xuất tối đa lần) số chỉnh hợp chập m = n = phần tử: 3! A 23     số (3  2)! b) Số cách xếp m sách vào n ngăn kéo, theo thứ tự đó, ngăn kéo có tối đa sách, số chỉnh hợp chập m n phần tử (Lấy m ngăn kéo n ngăn kéo có kể thứ tự) A m n c) Số cách xếp m người vào n ghế số chỉnh hợp chập m n phần tử (Lấy m vị trí n vị trí có kể thứ tự) A m n d) Số cách phát m sách khác cho n sinh viên, sinh viên tối đa sách, số chỉnh hợp chập m n phần tử A m n 1.1.3 HOÁN VỊ ĐỊNH NGHĨA Một hoán vị n phần tử khác cách thứ tự n phần tử CÔNG THỨC Số hoán vị n phần tử là: Pn  n!  1.2 n Chứng minh: Theo qui tắc nhân giống tính A m n , ta coù: Pn  n(n  1)  n! (1) n chữ số Ngoài ra, ta thấy hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử, nên: n! n! Pn  A nn   (2) (n  n)! 0! (1) & (2)  0!  14 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT VÍ DỤ a) Số số hàng trăm lập nên từ chữ số 1, 2, 3, chữ số xuất lần, là: P3 = 3! = 1.2.3 = soá 123; 132; 213; 231; 312; 321   b) Số cách xếp người ngồi vào ghế là: P6 = 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720 cách 1.1.4 CHỈNH HP LẶP ĐỊNH NGHĨA Cho tập hợp gồm n phần tử Một nhóm gồm m phần tử lấy có hoàn lại từ tập hợp theo thứ tự gọi chỉnh hợp lặp chập m n phần tử (Mỗi phần tử tập hợp xuất nhiều lần chỉnh hợp lặp) m lớn n CÔNG THỨC Số chỉnh hợp lặp chập m n phần tử là: m Bm n  n Chứng minh: Việc lập chỉnh hợp lặp chập m n phần tử chia làm m giai đoạn, giai đoạn chọn phần tử từ tập hợp n phần tử cho (có n cách) Theo qui tắc nhân, ta có: Bm n  n.n n  nm m chữ số VÍ DỤ a) Có số hàng trăm lập nên từ chữ số 1, ? Số số hàng trăm phải tìm số chỉnh hợp lặp chập phần tử phần tử: B32  23  soá 111; 112; 121; 211; 122; 212; 221; 222 b) Số cách xếp m sách vào n ngăn kéo lớn (mỗi ngăn kéo chứa nhiều sách chứa hết toàn m quyển) số m chỉnh hợp lặp chập m n phần tử: Bm n  n Chú ý: Nếu ngăn kéo chứa tối đa sách  Số chỉnh hợp (không lặp) chập m n phần tử: A m n 15 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT c) Số cách xếp m người vào n toa tàu (mỗi toa tàu chứa nhiều người chứa hết toàn m người) số chỉnh hợp lặp m chập m n phần tử: Bm n  n 1.1.5 HOÁN VỊ LẶP ĐỊNH NGHĨA Nếu tập hợp gồm n phần tử có m phần tử giống hoán vị n phần tử gọi hoán vị lặp m ≤ n CÔNG THỨC Số hoán vị lặp m n phần tử là: Pn (m)  n! m! Chứng minh: Số hoán vị n phần tử khác n! Nếu n phần tử có m phần tử giống tất cách thứ tự m phần tử giống (có m! cách) kết hợp với cách thứ tự (n-m) phần tử lại cho kết hoán vị lặp Như vậy, công việc xác định hoán vị n phần tử (có n! cách) bao gồm giai đoạn: Giai đoạn 1: Xác định hoán vị lặp m n phần tử (có Pn(m) cách) Giai đoạn 2: Xác định hoán vị m phần tử giống (có m! cách) n! Theo qui tắc nhân, ta có: n! = m!Pn(m)  Pn (m)  m! VÍ DỤ Có phiếu ghi chữ số: 1, 1, 1, Hỏi có cách xếp phiếu để tạo thành dãy số hàng ngàn khác ? Một cách xếp để tạo thành số hàng ngàn xem hoán vị lặp với m = 3, n = 4!  số khác Ta có: P4 (3)  3! 1112; 1121; 1211; 2111   16 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT TỔNG QUÁT Trong n phần tử có m1 phần tử giống thuộc nhóm A1, m2 phần tử giống thuộc nhóm A2, , mk phần tử giống thuộc nhóm Ak Sao cho: m1 + m2 + + mk = n Khi số hoán vị n phần tử là: Pn (m1 , m2 , , mk )  n! m1 !m2 ! mk ! Ví dụ: Có phiếu khác bao gồm phiếu ghi chữ số 1, phiếu ghi chữ số Hỏi có cách xếp phiếu để tạo thành dãy số hàng chục ngàn khác nhau? Một cách xếp để tạo thành số hàng chục ngàn xem hoán vị lặp n = phần tử với m1 = 2, m2 = 5!  10 số khác Ta coù: P5 (2,3)  2!3! 11222; 12122; 12212; 12221; 21122;    21212; 21221; 22112; 22121; 22211  1.1.6 TỔ HP ĐỊNH NGHĨA Cho tập hợp gồm n phần tử Một nhóm gồm m phần tử lấy từ tập hợp không kể thứ tự gọi tổ hợp chập m n phần tử m ≤ n CÔNG THỨC Số tổ hợp chập m n phần tử là: Cm n  n! m!(n  m)! Chứng minh: Ta thấy chỉnh hợp chập m n phần tử  tổ hợp chập m n phần tử hoán vị m phần tử tổ hợp  việc xây dựng chỉnh hợp (có A m n cách) bao gồm giai đoạn: Giai đoạn 1: Lập tổ hợp phần tử nằm chỉnh hợp (có Cm n cách) 17 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT Giai đoạn 2: Lập hoán vị phần tử nằm tổ hợp (có m! cách) m Theo qui tắc nhân, ta coù: A m n  Cn  m!  Cm n  Am n m!  n! m!(n  m)! VÍ DỤ a) Có cách lập tổ gồm người từ người {A; B; C; D} để làm công tác trực nhật? Việc chọn người từ người để làm công tác trực nhật không quan tâm đến thứ tự người chọn nên tổ hợp chập 4!  tổ khác phần tử  có C24  2!2! A, B; A,C; A, D; B,C; B, D; C, D b) Một hộp có 10 bóng đèn Có cách lấy bóng đèn để kiểm tra? Việc lấy bóng để kiểm tra quan tâm xem có bóng tốt, bóng hỏng, không quan tâm đến thứ tự bóng đó, nên tổ hợp chập 10 phần tử 10!   120 cách lấy khác  có C10 3!7! NHỊ THỨC NEWTON a  b  a1  b1  C10a1b0  C11a0 b1 (a  b)2  a2  2ab  b2  C02a2 b0  C12a1b1  C22a0 b2 (a  b)3  a3  3a2 b  3a1 b2  b3  C03a3 b0  C13a2 b1  C23a1 b2  C33a0 b3 (a  b)n  C0n an b0  C1n an 1b1  C2n an  b2   Cin an  i bi  Tổng quát: (a  b)n  n n i 0 i 0  Cinan  i bi   Cinai bn i  Cnn a0 bn 18 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT Chú ý: nm Cm  n  Cn n! m!(n  m)! C0n  Cnn  1, C1n  Cnn 1  n, Cnk 1  Cnk 1  Cnk , k  1, n Ví dụ: Tổng số tập tập hợp có n phần tử là: n  Cnk  2n k 0 1.1.7 QUI TẮC CỘNG QUI TẮC Một công việc chia thành k trường hợp để thực hiện: Trường hợp có n1 cách thực xong công việc, Trường hợp có n2 cách thực xong công việc, Trường hợp k có nk cách thực xong công việc, cách thực trùng Khi số cách khác để thực xong công việc là: n k  ni  n1  n2  i 1  nk VÍ DỤ Từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Có cách lấy chữ số khác để tổng chúng số chẵn Ta có trường hợp sau đây: Trường hợp 1: Phải lấy chữ số lẻ chữ số lẻ chữ số chẵn chữ số chẵn, có C24  C14  24 cách Hoặc Trường hợp 2: Phải lấy chữ số chẵn chữ số chẵn, có C34  cách Tóm lại, ta có: 24 + = 28 cách thực BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT 19 TỔNG QUAN: Cho tập hợp gồm n phần tử Thực m lần lấy, lần phần tử, không hoàn lại  thực lấy lúc m phần tử (m ≤ n) a) Nếu có quan tâm đến thứ tự (Đánh STT phần tử ra) n!  chỉnh hợp: A m n  (n  m)! b) Nếu không quan tâm đến thứ tự (Chỉ quan tâm phần tử có xuất tính chất A hay không) n!  tổ hợp: Cm n  m!(n  m)! Thực m lần lấy, lần phần tử, có hoàn lại m a) Nếu có quan tâm đến thứ tự  chỉnh hợp lặp: Bm n  n b) Nếu không quan tâm đến thứ tự  Dãy phép thử Bernoulli (có phân phối nhị thức) 1.2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1.2.1 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ PHÉP THỬ thí nghiệm thực nghiệm, hay quan trắc (quan sát đo đạc) để nghiên cứu đối tượng hay tượng Các phép thử thường nhóm điều kiện xác định Cứ làm cho điều kiện thỏa mãn ta thực phép thử Nhóm điều kiện xác định phép thử phải rõ ràng, ổn định suốt trình nghiên cứu phải lặp lại lần BIẾN CỐ kết cục hay kiện xảy thực phép thử VÍ DỤ a) Tung xúc xắc (súc sắc) phép thử, có biến cố mặt chấm; chấm; b) Rút hay vài 52 phép thử, có biến cố cơ; rô; 20 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT c) Bắn viên đạn phép thử, có biến cố trúng bia; trật bia; trúng vòng 10; vòng 9; d) Cho máy sản xuất sản phẩm phép thử, có biến cố phẩm; thứ phẩm; phế phẩm; e) Đo nhiệt độ địa điểm phép thử, có biến cố trị số nhiệt t0 1.2.2 MỘT SỐ LOẠI BIẾN CỐ BIẾN CỐ CHẮC CHẮN (Kí hiệu  ) biến cố định xảy thực phép thử Ví dụ: Với phép thử gieo xúc xắc biến cố xuất mặt có số chấm ≤ biến cố chắn BIẾN CỐ KHÔNG THỂ (Kí hiệu  ) biến cố định không xảy thực phép thử Hay việc xảy biến cố chắn Ví dụ: Với phép thử gieo xúc xắc biến cố xuất mặt có số chấm ≥ biến cố BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN (Kí hiệu chữ A; B; ) biến cố xảy mà không xảy thực phép thử Ví dụ: Với phép thử gieo xúc xắc biến cố xuất mặt có số chấm = biến cố ngẫu nhiên gieo xúc xắc xuất mặt chấm mà không BIẾN CỐ KÉO THEO: Biến cố A gọi kéo theo biến cố B (Kí hiệu A  B; hay A  B; A  B ) A xảy B xảy (ta nói A “thuận lợi” hay “thích hợp” cho B xảy ra) Ví dụ: Với phép thử gieo xúc xắc biến cố xuất mặt chấm kéo theo biến cố xuất mặt số lẻ BIẾN CỐ TƯƠNG ĐƯƠNG: Biến cố A gọi tương đương với biến cố B (Kí hiệu A  B; hay A  B; hoaëc A  B ) A  B B  A Ví dụ: Với phép thử gieo xúc xắc biến cố xuất mặt 2; hay 4; chấm tương đương với biến cố xuất mặt số chẵn ... hoán vị lặp n = phần tử với m1 = 2, m2 = 5!  10 số khác Ta có: P5 (2,3)  2!3! ? ?11 222; 12 122; 12 212 ; 12 2 21; 211 22;     212 12; 212 21; 2 211 2; 2 212 1; 22 211  1. 1.6 TỔ HP ĐỊNH NGHĨA Cho tập hợp... có C10 3!7! NHỊ THỨC NEWTON a  b  a1  b1  C10a1b0  C11a0 b1 (a  b)2  a2  2ab  b2  C02a2 b0  C12a1b1  C22a0 b2 (a  b)3  a3  3a2 b  3a1 b2  b3  C03a3 b0  C13a2 b1  C23a1 b2... 1, 1, 1, Hỏi có cách xếp phiếu để tạo thành dãy số hàng ngàn khác ? Một cách xếp để tạo thành số hàng ngàn xem hoán vị lặp với m = 3, n = 4!  số khác Ta có: P4 (3)  3! 11 12; 11 21; 12 11; 211 1