79 Chương 3 Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế và kinh doanh 3 1 Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế 3 1 1 Hàm sản suất Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà[.]
Chương Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế kinh doanh 3.1 Các hàm số nhiều biến phân tích kinh tế 3.1.1 Hàm sản suất Khi phân tích hoạt động sản xuất, nhà kinh tế quan tâm đến hai yếu tố đầu vào quan trọng vốn (capital) lao động (labor) chúng ký hiệu K L Do đó, hàm sản xuất có dạng: Q = f ( K, L ) Ý nghĩa Hàm sản xuất biểu diễn phụ thuộc sản lượng hàng hoá vào hai yếu tố đầu vào vốn (tư bản) lao động Một hàm sản xuất mà kinh tế học thường sử dụng hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas có dạng: Q = aK α Lβ Trong đó: a, α, β số dương 3.1.2 Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận 3.1.2.1 Hàm chi phí +) Hàm chi phí phụ thuộc đầu vào: TC = TC ( K, L ) Nếu tính theo yếu tố sản xuất hàm chi phí hàm số yếu tố sản xuất có dạng: TC ( K, L ) = p K K + p L L + C0 Trong đó: p K : Giá thuê đơn vị vốn (tư bản) p L : Giá thuê đơn vị lao động C0 : Chi phí cố định +) Hàm chi phí kết hợp: TC = TC ( Q1 , Q ) Trong Q1 : Số đơn vị hàng hóa 1; 79 Q : Số đơn vị hàng hóa 3.1.2.2 Hàm doanh thu hàm lợi nhuận +) Nếu doanh nghiệp doanh nghiệp cạnh tranh tổng doanh thu doanh nghiệp phụ thuộc vào K, L có dạng: TR = P ⋅ f ( K, L ) = TR ( K, L ) ( P : giá sản phẩm) +) Hàm doanh thu gộp: TR = TR + TR = P1.Q1 + P2 Q = TR ( Q1 , Q ) Với P1 : giá sản phẩm mặt hàng 1, P2 : giá sản phẩm mặt hàng 3.1.2.3 Hàm lợi nhuận Hàm lợi nhuận: π = TR − TC +) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu vào π = P.f ( K, L ) − ( p k K + p L L + C0 ) = π ( K, L ) +) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu π ( Q1 , Q ) = TR ( Q1 , Q ) − TC ( Q1 , Q ) 3.1.3 Hàm lợi ích Giả sử cấu tiêu dùng người tiêu dùng gồm có n mặt hàng Mỗi giỏ hàng gồm n số thực X = ( x1 , x , , x n ) , x1 lượng hàng hố T1 , x lượng hàng hoá T2 , , x n lượng hàng hố Tn Hàm lợi ích hàm số đặt tương ứng với túi hàng X = ( x1 , x , , x n ) với giá trị U định theo quy tắc: Giỏ hàng ưa chuộng nhiều gán giá trị lợi ích lớn Hàm lợi ích có dạng tổng quát sau: U = U ( x1 , x , , x n ) Hàm lợi ích hay sử dụng hàm Cobb – Douglas: U = ax1α1 x α2 x αn n (α1 , α , , α n số dương) 3.1.4 Điểm cân +) Mức thu nhập quốc dân cân Y phụ thuộc vào chi tiêu Chính phủ G , lượng đầu tư I0 xuất X : Y = f ( G , I0 , X ) +) Mức lãi suất cân r phụ thuộc vào chi tiêu Chính phủ G lượng cung tiền M0 : 80 r = g ( G , M0 ) 3.1.5 Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan Mức cung mức cầu loại hàng hố thị trường khơng phụ thuộc vào giá hàng hố mà cịn bị chi phối giá hàng hố liên quan thu nhập người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hoá liên quan hàm cung hàm cầu hàng hố i có dạng (giả thiết thu nhập không thay đổi): QSi = Si ( P1 , P2 , , Pn ) QDi = Di ( P1 , P2 , , Pn ) Trong đó, Q Si lượng cung hàng hoá i, Q Di lượng cầu hàng hoá i, Pi giá hàng hoá i ( i = 1, 2, 3, , n ) Ví dụ Cho hàm cầu: Q1 = 40 − P1 ; Q2 = 30 − 0,5P2 Hãy lập hàm doanh thu Giải Từ hai hàm cầu thuận ta suy hai hàm cầu đảo sau: P1 = 40 − Q1 ; P2 = 60 − 2Q2 Hàm doanh thu gộp TR ( Q1 ,Q ) = P1Q1 + P2Q = (40 − Q1 )Q1 + (60 − 2Q )Q hay TR ( Q1 ,Q ) = −Q12 − 2Q 22 + 40Q1 + 60Q Ví dụ Cho hàm sản xuất: Q ( K, L ) =10K 0,3L0,4 Giá thuê đơn vị vốn p K = USD, giá thuê đơn vị lao động p L = USD giá sản phẩm P = USD Hãy lập hàm lợi nhuận Giải Hàm doanh thu: TR ( K, L ) = PQ = 40K 0,3L0,4 Hàm chi phí : TC ( K, L ) = p K K + p L L = 3K + 2L Hàm lợi nhuận: π ( K, L ) = TR ( K, L ) − TC ( K, L ) = 40K 0,3L0,4 − 3K − 2L 81 3.2 Áp dụng đạo hàm riêng vi phân tồn phần vào phân tích kinh tế kinh doanh 3.2.1 Đạo hàm riêng giá trị cận biên Xét mơ hình hàm kinh tế: w = f ( x1 , x , , x n ) x1 , x , , x n , w biến kinh tế Đạo hàm riêng hàm số w theo biến x i điểm X ( x1 , x , , x n ) gọi giá trị cận biên hàm w theo biến x i điểm Nghĩa là, w /x i ( x1 , x , , x n ) biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị biến w giá trị x i thay đổi đơn vị điều kiện giá trị biến độc lập cịn lại khơng thay đổi 3.2.1.1 Hàm sản xuất: Q = f ( K, L ) Có đạo hàm riêng: Q K/ = ∂Q ∂Q ; Q L/ = ∂K ∂L gọi tương ứng hàm sản phẩm cận biên vốn (tư bản) (ký hiệu: MPK ) hàm sản phẩm cận biên lao động (ký hiệu: MPL ) điểm ( K, L ) Ý nghĩa đạo hàm riêng +) Q K/ = f K/ ( K, L ) : biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng sử dụng thêm đơn vị vốn (tư bản) giữ nguyên mức sử dụng lao động +) Q L/ = f L/ ( K, L ) : biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng sử dụng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng vốn Ví dụ Giả sử hàm sản suất doanh nghiệp là: Q ( K, L ) = 20K L4 Trong đó: K, L, Q mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày a) Giả sử doanh nghiệp sử dụng 16 đơn vị vốn 81 đơn vị lao động ngày tức K = 16, L = 81 Sản lượng cận biên vốn là: ( ) MPK (16,81) = f K/ (16,81) = 16 −0,75810,75 = 16,875 Sản lượng cận biên lao động là: 82 ( ) MPL (16,81) = f L/ (16,81) = 15 160,2581−0,25 = 10 Nghĩa là, doanh nghiệp tăng mức sử dụng vốn K từ 16 lên 17 đơn vị giữ nguyên mức sử dụng lao động L = 81 ngày, sản lượng tăng thêm xấp xỉ 16,875 đơn vị sản phẩm Tương tự, giữ nguyên mức sử dụng vốn K = 16 tăng mức sử dụng lao động L từ 81 lên 82 ngày sản lượng tăng thêm xấp xỉ 10 đơn vị sản phẩm b) Tại K = 16, L0 = 81 , giảm vốn K xuống 0,5 đơn vị tăng lao động L lên đơn vị Q thay đổi nào? ∆ ( Q ) ≈ f K/ ( K , L0 ) ∆K + f L/ ( K , L0 ) ∆L hay ∆ (Q) ≈ 135 185 ( − 0,5) + 10 ⋅ = >0 16 Vậy Q tăng xấp xỉ 185/16 đơn vị 3.2.1.2 Hàm lợi ích: U = U ( x1 , x , , x n ) Đạo hàm riêng hàm lợi ích biến độc lập là: MUi = ∂U ∂x i (i = 1, 2, , n) MUi : gọi lợi ích cận biên hàng hoá thứ i Ý nghĩa Đạo hàm riêng MUi điểm X ( x1 , x , , x n ) biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu dùng có thêm đơn vị hàng hoá thứ i điều kiện số đơn vị hàng hố khác khơng thay đổi Ví dụ Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày người tiêu dùng hai loại hàng hoá cho sau: U ( x1 , x ) = x1 x Trong đó: x1, x mức sử dụng hàng hoá hàng hố 2, U lợi ích người tiêu dùng hàng ngày Giả sử người tiêu dùng sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 25 đơn vị hàng hoá ngày +) Lợi ích cận biên hàng hoá người tiêu dùng là: 83 MU1 = 2 −3 ∂U = 64, 25 64 25 = ≈ 0, 21 ( ) 24 3 ∂x1 +) Lợi ích cận biên hàng hoá người tiêu dùng là: −1 ∂U MU = ( 64, 25 ) = 64 25 = 0,8 ∂x Nghĩa là, người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hoá thêm đơn vị x1 = 65 giữ nguyên mức sử dụng hàng hố ngày lợi ích tăng thêm khoảng 0, 21 đơn vị Tương tự, giữ nguyên mức sử dụng hàng hoá tăng mức sử dụng hàng hoá thêm đơn vị ngày lợi ích tăng thêm khoảng 0,8 đơn vị Ví dụ Người ta ước lượng hàm sản xuất hàng ngày doanh nghiệp sau: Q ( K, L ) = 80 K L a) Với K = 25 L = 64 cho biết mức sản xuất hàng ngày doanh nghiệp b) Bằng đạo hàm riêng Q , cho biết doanh nghiệp: +) Sử dụng thêm đơn vị lao động ngày giữ nguyên mức K = 25 sản lượng thay đổi bao nhiêu? +) Ngược lại, sử dụng thêm đơn vị vốn ngày giữ nguyên mức L = 64 sản lượng thay đổi bao nhiêu? c) Nếu giá thuê đơn vị vốn K 12 USD, giá đơn vị L 2,5 USD doanh nghiệp sử dụng yếu tố đầu vào mức nêu câu a) doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị K hay thêm đơn vị L ngày? Giải a) Mức sản xuất hàng doanh nghiệp K = 25 L = 64 là: Q = 80 25 64 = 80.5.4 = 1600 (đvsp) b) Các đạo hàm riêng hàm sản xuất: +) Đạo hàm riêng Q theo K Q theo L : 1 Q K/ ( K, L ) = 80 L; K 1 Q L/ ( K, L ) = 80 K 3 L 84 Tại mức K = 25 L = 64 , ta có Q K/ ( 25,64 ) = 32; Q L/ ( 25,64 ) = 25 ≈ 8,3 +) Nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K = 25 sử dụng thêm đơn vị lao động ngày sản lượng tăng lượng xấp xỉ 8,3 đơn vị +) Nếu giữ nguyên mức sử dụng lao động L = 64 sử dụng thêm đơn vị vốn ngày sản lượng thay đổi lượng xấp xỉ 32 đơn vị c) Với giả thiết cho doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị lao động ngày Vì ta có MPL 25 / MPK 32 = > = pL 2,5 pK 12 3.2.2 Đạo hàm riêng hệ số co dãn Cho mơ hình hàm kinh tế: w = f ( x1 , x , , x n ) Hệ số co dãn w theo biến x i điểm ( x1 , x , , x n ) số đo lượng thay đổi tính phần trăm w x i thay đổi 1% điều kiện giá trị biến độc lập khác không thay đổi, ký hiệu xác định sau: ε w xi = ∂f ( x1 , x , , x n ) xi ∂x i f ( x1 , x , , x n ) Ví dụ Giả sử hàm cầu hàng hoá thị trường hai hàng hố liên quan có dạng sau: Q D1 ( P1 , P2 ) = 6300 − 2P12 − P22 Trong đó, P1 , P2 tương ứng giá hàng hố 1, Tính hệ số co dãn cầu theo giá điểm ( 20,30 ) Giải Hệ số co dãn cầu theo giá P1 giá hàng hố thời điểm ( P1 , P2 ) εQ D1 P1 = ∂QD1 P1 P1 = −4P1 ∂P1 QD1 6300 − 2P12 − P22 Hệ số co dãn cầu hàng hoá thứ theo giá hàng hoá thứ hai P2 thời điểm ( P1 , P2 ) là: εQ D1 P2 =− 10 P2 P2 6300 − 2P12 − P22 85 Tại điểm ( 20,30 ) ta có: εQ D1 P1 = −0,4; εQ D1 P2 = −0,75 Điều có nghĩa hàng hố mức giá 20 hàng hoá mức giá 30 tăng giá hàng hố lên 1% cịn giá hàng hố khơng đổi cầu hàng hoá giảm 0, %, tương tự, giá hàng hố khơng thay đổi giá hàng hố hai tăng thêm 1% cầu hàng hố giảm 0,75 % Ví dụ Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q ( K, L ) = 120K L3 a) Khi hệ số co dãn sản lượng theo vốn thời điểm ( K, L ) là: − 2 εQK = 40K L3 K 120K L3 = 40 = 120 Khi hệ số co dãn sản lượng theo lao động thời điểm ( K, L ) là: εQL 1 − = 80K L L − 120K L = 80 = 120 Nhận xét Nếu mơ hình hàm số kinh tế có dạng mơ hình hàm Cobb –Douglass hệ số co dãn w theo x k luỹ thừa x k b) Tại mức sử dụng ( K, L ) giảm vốn K xuống 2% tăng lao động L lên 3% Q thay đổi nào? Ta có ∆Q ≈ ( −2).ε QK + 3.ε QL = ( −2) + = > 3 Do sản lượng Q tăng xấp xỉ (4/3)% c) Tại mức sử dụng ( K, L ) tăng vốn K lên 2% giảm lao động L xuống 3% Q thay đổi nào? Ta có ∆Q ≈ 2.εQK − 3.εQL = − = − < 3 Do sản lượng Q giảm xấp xỉ (4/3)% 86 3.2.3 Đạo hàm riêng cấp quy luật lợi ích biên giảm dần Xét mơ hình hàm kinh tế hai biến số: z = f ( x, y ) +) z /x = f x/ ( x, y ) : hàm cận biên mơ hình hàm kinh tế theo biến x +) z /y = f y/ ( x, y ) : hàm cận biên mơ hình hàm kinh tế theo biến y Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng: giá trị z − cận biên biến x giảm dần x tăng y không đổi Tương tự, cho giá trị z − cận biên biến y giảm dần y tăng x không đổi (Chú ý: xét điều kiện giá trị biến x, y đủ lớn) Cơ sở toán học: // +) z /x = f x/ ( x, y ) : hàm số giảm z //xx = f xx ( x, y ) < // +) z /y = f y/ ( x, y ) : hàm số giảm z //yy = f yy ( x, y ) < Ví dụ Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas sau: Q ( K, L ) = aK α Lβ ( a, α, β > ) Hàm sản phẩm cận biên vốn: Q K/ ( K, L ) = aαK α−1Lβ Hàm sản phẩm cận biên lao động: Q L/ ( K, L ) = aβ K α Lβ−1 Biểu quy luật lợi ích cận biên giảm dần: // α− β α < Q KK ( K, L ) = aα ( α − 1) K L < ⇔ // α β− β < Q K, L = a β β − K L < ( ) ( ) LL Áp dụng vào tốn cụ thể ta thấy hàm sản xuất: Trong K, L, Q mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động sản lượng hàng ngày Hàm thoả mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần Ví dụ Cho hàm lợi ích: U ( x, y ) = 15xy − 2x − 3y , (x, y > 0) Hàm số có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không Giải Đạo hàm riêng cấp hàm U theo biến x theo y 87 U /x ( x, y ) = 15y − 4x; U /y ( x, y ) = 15x − 6y Đạo hàm riêng cấp hàm U theo x theo y U //xx ( x, y ) = −4 < 0; U //yy ( x, y ) = −6 < Vậy hàm số tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần 3.2.4 Hàm vấn đề hiệu quy mô 3.2.4.1 Khái niệm hàm Hàm số z = f ( x, y ) gọi hàm cấp k ( k ≥ ) với ∀t ≠ , có: f (tx, ty) = t k ⋅ f ( x, y ) Ví dụ 10 Hàm sản xuất Q ( K, L ) = aK α Lβ hàm cấp ( α + β ) ∀t ≠ : Ta tính tốn giá trị hàm Q ( K, L ) điểm ( tK, tL ) Q ( tK, tL ) = a ( tK ) α ( tL )β = t α+β ( aK α Lβ ) = t α+βQ ( K, L ) Ví dụ 11 Hàm sản xuất dạng C.E.S −1 −1 β Q ( K, L ) = A α.K + (1 − α)L β −β ; (A > 0;0 < α < 1; β > −1) Luôn hàm cấp Vì ∀t ≠ Ta tính tốn giá trị hàm Q ( K, L ) điểm ( tK, tL ) −1 −1 β Q(tK, tL) = A α.(tK) + (1 − α )(tL) β −1 −1 β ⇔ Q(tK, tL) = tA α.K + (1 − α)L β Ví dụ 12 Hàm số z ( x, y ) = −β −β = tQ(K, L) 2xy hàm cấp Vì ∀t ≠ x − y2 Ta tính tốn giá trị hàm z ( x, y ) điểm ( tx, ty ) z(tx, ty) = 2(tx)(ty) 2xy = = t z(x, y) 2 (tx) − (ty) x −y 3.2.4.2 Vấn đề hiệu quy mô 88 Xét hàm sản xuất Q = f ( K, L ) Với K, L yếu tố đầu vào; Q yếu tố đầu +) Nếu Q ( mK, mL ) > mQ ( K, L ) nói hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mô +) Nếu Q ( mK, mL ) < mQ ( K, L ) nói hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mơ +) Nếu Q ( mK, mL ) = mQ ( K, L ) nói hàm sản xuất có hiệu không đổi theo quy mô 3.2.4.3 Liên hệ hiệu quy mô với bậc Giả sử hàm sản xuất Q = f ( K, L ) hàm cấp k +) Nếu k > hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ +) Nếu k < hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mơ +) Nếu k = hàm sản xuất có hiệu khơng đổi theo quy mơ Ví dụ 13 Hàm sản xuất dạng C.E.S có bậc 1, nên có hiệu khơng đổi theo quy mơ Ví dụ 14 Hàm sản xuất: Q ( K, L ) = aK α Lβ có cấp ( α + β ) nên: +) Nếu ( α + β ) > có hiệu tăng theo quy mô +) Nếu ( α + β ) < có hiệu giảm theo quy mơ +) Nếu ( α + β ) = có hiệu khơng đổi theo quy mơ 3.2.4.4 Liên hệ với đạo hàm riêng – Công thức Euler Định lý (Công thức Euler) Hàm số z = f ( x, y ) hàm cấp k x ⋅ z /x ( x, y ) + y ⋅ z /y ( x, y ) = k ⋅ z ( x, y ) Với z = f ( x, y ) giả thiết hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục 3.2.5 Đạo hàm hàm ẩn áp dụng phân tích kinh tế 3.2.5.1 Khái niệm hàm ẩn Nếu giá trị hai biến x, y quan hệ với hệ thức F ( x, y ) = (*), F ( x, y ) hàm hai biến xác định miền D ⊂ ℝ Nếu ∀x ∈ X, tồn hàm số y = f ( x ) thỏa mãn hệ thức (*), ta nói hệ thức xác định hàm ẩn y = f ( x ) tập X 89 Ví dụ 15 Xét hệ thức F ( x, y ) = x + y − = (**) Với ∀x ∈ [ −1,1] ta có y ( x ) = ± − x Vậy hàm y = − x với ∀x ∈ [ −1,1] hàm y = − − x với ∀x ∈ [ −1,1] hàm ẩn xác định hệ thức (**) 3.2.5.2 Định lý hàm ẩn Cho hàm hai biến F ( x, y ) xác định lân cận điểm ( x , y0 ) F ( x , y0 ) = 0, giả thiết F ( x, y ) có đạo hàm riêng liên tục Fy/ ( x, y ) ≠ điểm ( x, y ) thuộc hàm lân cận ( x , y0 ) ; Khi tồn hàm liên tục y = f ( x ) xác định lân cận x thỏa mãn điều kiện: y = f ( x ) , F x,f ( x ) = y /x = − Fx/ ( x, y ) Fy/ ( x, y ) (cơng thức đạo hàm hàm ẩn) Ví dụ 16 Cho hàm số: F ( x, y ) = x + y − = (**) Xác định hai hàm ẩn liên tục y = − x y = − − x với ∀x ∈ [ −1,1] Tại điểm ( x , y0 ) = ( 0,1) ta có F ( 0,1) = Khi có hàm ẩn y = − x thoả mãn điều kiện y ( ) = Sử dụng cơng thức tính đạo hàm hàm ẩn Tính đạo hàm y theo x Đạo hàm riêng F theo x theo y Fx/ ( x, y ) = 2x; Fy/ ( x, y ) = 2y Đạo hàm y theo x: y /x =− Fx/ ( x, y ) Fy/ ( x, y ) =− x y +) Nếu y ( x ) = − x y /x = − 90 x − x2 =− x y +) Nếu y ( x ) = − − x y /x = x 1− x2 =− x y Ví dụ 17 Cho hàm cầu D = D ( P,Y0 ) (với P giá, Y0 mức thu nhập) hàm cung / > , S/ > S = S ( P ) với giả thiết DP/ < , D Y Giả sử giá cân P phụ thuộc mức thu nhập Y0 hàm ẩn biểu diễn hệ thức: F ( P, Y0 ) = D ( P, Y0 ) − S ( P ) = (***) Khi đó: PY/ =− FY/ ( P, Y0 ) FP/ ( P, Y0 ) = DY/ ( P, Y0 ) S/ ( P ) − DP/ ( P, Y0 ) >0 điều nói nên giá cân thay đổi chiều với thu nhập (chẳng hạn thu nhập Y0 tăng kéo theo giá cân tăng) Ví dụ 18 Giá loại hàng P chênh lệch cung – cầu S liên hệ với phương trình: SP − 0,1P ln S = c (c số) Sử dụng công thức đạo hàm hàm ẩn để tính tốc độ thay đổi giá chênh lệch cung cầu thay đổi? Giải: Đặt: F ( P,S ) = SP − 0,1P ln S − c = Ta có Đạo hàm riêng F theo S : FS/ ( S, P ) = P − 0,1.P S Đạo hàm riêng F theo P : FP/ ( S, P ) = S − 0, 2P.ln S Tốc độ thay đổi giá chênh lệch cung cầu thay đổi: ∂F / ∂S S = − P.S − 0,1P PS/ = − =− ∂F / ∂P S − 0, 2P.ln S S2 − 0, 2.P.S.ln S P − 0,1.P 91 3.2.6 Hai hàng hóa có tính chất thay bổ sung Giả sử Q1 = D1 ( P1 , P2 ) ; Q = D ( P1 , P2 ) hàm cầu hai loại hàng hóa, P1 , P2 thứ tự giá hai hàng hóa Theo tính chất hàm cầu hàng hóa thơng thường: giá tăng cầu giảm, có: ∂D1 ∂D & = > , hai hàng hóa có tính chất thay ∂P2 ∂P1 cho 92 3.2.7 Bài tập Bài số Cho hàm lợi ích : U ( x, y ) = 12xy − 2x − y ( x, y > ) 1) Tại x = 50, y0 = 60 , x tăng thêm đơn vị y khơng đổi lợi ích thay đổi nào? 2) Tính MU y x = 50, y0 = 60 giải thích ý nghĩa kết nhận 3) Tính tỉ số MRTSyx = MU x ( x = 50, y0 = 60 ) MU y 4) Tại x = 50, y0 = 60 , x tăng thêm 0,5 đơn vị y giảm 1,5 đơn vị lợi ích thay đổi nào? Đáp số : 1) MU x ( 50, 60 ) = 520; 2) MU y ( 50,60 ) = 1480; 3) MRTSyx ( 50,60 ) = 13 ; 4) ∆U ( 50, 60 ) = −460 12 Bài số Cho hàm cầu : Q D = 0, 4Y 0,2 P − 0,3 ( Y thu nhập, P giá) Hãy tính hệ số co dãn cầu theo giá cầu theo thu nhập Đáp số : ε Q D |Y = 0, 2; ε Q D |P = −0,3 Bài số Cho hàm sản xuất có dạng: Q ( K, L ) = 12KL − 2K − 3L2 ( K, L > ) Hàm sản xuất có hiệu tăng, giảm hay khơng đổi theo quy mơ? Giải thích Đáp số : Hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ Bài số Cho hàm sản xuất có dạng: Q ( K, L ) = 120K L2 ( K, L > ) 1) Tính MPK MPL K = 1000 L = 225 Nêu ý nghĩa kết nhận 2) Tính tỉ số MRTSLK = MPK , ( K =1000, L0 = 225 ) MPL 3) Tính hệ số co dãn sản lượng theo vốn K theo lao động L 4) Nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K, tăng mức sử dụng lao động L thêm 4% sản lượng Q thay đổi nào? 5) Nếu tăng mức sử dụng vốn K thêm 3% giảm mức sử dụng lao động L xuống 2% sản lượng Q thay đổi nào? Đáp số : 1) MPK (1000, 225 ) = 120; MPL (1000, 225 ) = 400; 2) MRTSLK = 0,3; 93 3) εQ|K = ; εQ|L = ; 4) Sản lượng tăng 2%; 5) Sản lượng tăng 1% 2 1 Bài số Cho hàm sản xuất có dạng: Q ( K, L ) = K 0,5 + L0,5 với K vốn L 3 lao động 1) Tìm hàm suất cận biên vốn lao động 2) Hàm sản xuất có hiệu tăng theo qui mơ không? 11 Đáp số : 1) MPK = K 0,5 + L0,5 K −0,5 ; MPL = 3 3 0,5 0,5 −0,5 K + L L ; 33 2) Hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mô Bài số Giả sử hàm cầu hai hàng hóa cho bởi: Q1 = 55 − 2P1 − P2 ; Q = 40 − P1 − P2 Sử dụng đạo hàm riêng cho biết hai hàng hóa có tính chất thay hay bổ sung? Đáp số : Hàng hóa có tính bổ sung Bài số Cho hàm sản xuất Y(t) = 0, 7K 0,5 L0,7 Với K = 120 + 0, 2t; L = 100 + 0,1t 1) Tính hệ số tăng trưởng vốn K, lao động L Y 2) Tính hệ số co dãn Y theo K Y theo L 3) Hãy cho biết hiệu việc tăng quy mô sản xuất trường hợp Đáp số : 1) rK = 0, 0,1 0,1 0,07 ; rL = ; rY = + ; 120 + 0, 2t 100 + 0,1t 120 + 0, 2t 100 + 0,1t 2) ε YK = 0,5; ε YL = 0,7 ; 3) Tăng quy mơ sản xuất có hiệu Bài số Thu nhập quốc dân ( Y ) quốc gia có dạng: Y = 0, 48K 0,4 L0,3 NX 0,01 Trong đó: K vốn, L lao động NX xuất ròng 1) Khi tăng 1% lao động ảnh hưởng đến thu nhập quốc dân? Có ý kiến cho giảm mức lao động xuống 2% tăng xuất rịng 15% mà thu nhập không đổi, cho biết điều hay sai? 2) Cho nhịp tăng trưởng NX 4%, K 3%, L 5% Xác định nhịp tăng trưởng Y Đáp số: 1) Thu nhập quốc dân tăng 0,3%; sai; 2) rY = 2,74% 94 3.3 Mơ hình cực trị khơng có điều kiện ràng buộc (tự do) nhiều biến kinh tế 3.3.1 Xác định quỹ vốn lao động để tối đa hóa doanh thu, lợi nhuận Cho hàm sản xuất Q = f ( K, L ) giá bán sản phẩm P Biết giá thuê đơn vị vốn p K giá thuê đơn vị lao động pL Bài toán Xác định mức sử dụng vốn K lao động L để sản lượng Q cực đại/tối đa Bài toán đưa toán cực trị tự hàm sản xuất với hai biến K L Bài toán Hãy xác định mức sử dụng vốn K lao động L để lợi nhuận cực đại /tối đa Chúng ta cần xác định hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận +) Hàm doanh thu : TR ( K, L ) = P.Q = P.f ( K, L ) +) Hàm chi phí : TC ( K, L ) = p K ⋅ K + p L ⋅ L +) Hàm lợi nhuận : π ( K, L ) = TR − TC = P ⋅ Q ( K, L ) − p K ⋅ K − p L ⋅ L Bài toán đưa toán cực trị tự hàm lợi nhuận với hai biến K L Ví dụ 21 Ước lượng hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q ( K, L ) = − K − 8L3 + 3KL + 200, ( K > 0, L > ) Hãy xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng cực đại Giải +) Bước Tính đạo hàm riêng cấp cấp Đạo hàm riêng cấp Q K/ ( K, L ) = −3K + 3L; Q L/ ( K, L ) = −24L2 + 3K Đạo hàm riêng cấp // // Q KK ( K, L ) = −6K; Q LL ( K, L ) = −48L; // // Q KL ( K, L ) = Q LK ( K, L ) = +) Bước Giải hệ phương trình để tìm điểm dừng QK/ ( K, L ) = −3K + 3L = ⇔ / 3K − 24L = QL ( K, L ) = 95 L = K K = K = ⇔ ⇔ hay (loại K > 0, L > ) L = K − 8K = L = 1 1 Hàm số có điểm dừng M , 2 4 1 1 +) Bước Kiểm tra điều kiện đủ M , 2 4 // 1 // 1 A = Q KK , = −3 < 0; C = Q LL , = −12 < 0; 2 4 2 4 // 1 // 1 B = Q KL , = Q LK , = > 2 4 4 Xét định thức D= −3 3 −12 = 27 > A < 1 1 1 1601 Vậy hàm số đạt cực đại M , với Q max = Q , = 2 4 2 4 Ví dụ 22 Tìm K, L để hàm lợi nhuận sau đạt giá trị cực đại π ( K, L ) = 300K L4 − 100K − 150L Giải +) Bước Tính đạo hàm riêng cấp cấp Đạo hàm riêng cấp πK/ πL/ ( K, L ) = 200K ( K, L ) = − 1 L4 − 75K L − 100; − 150 Đạo hàm riêng cấp // π KK ( K, L ) = − // πKL ( K, L ) = − 200 − 225 // K L ; πLL ( K, L ) = − K L ; // πLK ( K, L ) = 50K − − 3L +) Bước Giải hệ phương trình để tìm điểm dừng 96 1 − ( K, L ) = 200K L4 ⇔ / − π K, L = ) L ( 75K L π K/ 1 − L4 200K ⇔ − 75K L − 100 = − 150 = = 100 (1) = 150 ( 2) Lập tỷ số hai phương trình ta suy được: K = 4L (3) Thế (3) vào (2), ta − 75 ( 4L ) L − = 150 ⇔ L 12 = 2⋅4 − ⇔ L = 16 (4) Thay (4) vào (3), ta được: K = 64 Hàm số có điểm dừng M ( 64,16 ) +) Bước Kiểm tra điều kiện đủ M ( 64,16 ) // A = πKK ( 64,16 ) = − − 200 25 (64) (16) = − < 0; 48 C= // πLL − 225 225 < 0; ( 64,16 ) = − (64) (16) = − 32 B= // πKL ( 64,16 ) = // πLK ( 64,16 ) = 50(64) − − (16) = 25 > 16 Xét định thức 25 48 D= 25 16 − 25 625 16 A < = 225 512 − 32 Vậy hàm số đạt cực đại M ( 64,16 ) với πmax = π(64,16) = 800 Ví dụ 23 Cho hàm sản xuất doanh nghiệp: Q ( K, L ) = 15K 0,4 L0,4 , Q sản lượng, K vốn L lao động Viết hàm lợi nhuận Tìm giá trị K L thỏa mãn điều kiện cần để cực đại hàm lợi nhuận biết giá thuê đơn vị vốn USD, giá thuê đơn vị lao động USD giá bán sản phẩm USD Giải Hàm lợi nhuận 97 π ( K, L ) = TR − TC = PQ − ( p K K + p L L ) = 15K 0,4 L0,4 − 2K − 4L +) Bước Tính đạo hàm riêng cấp cấp Đạo hàm riêng cấp πK/ ( K, L ) = 6K −0,6 L0,4 − 2; πL/ ( K, L ) = 6K 0,4 L−0,6 − Đạo hàm riêng cấp // // πKK ( K, L ) = −3,6K −1,6L0,4 ; πLL ( K, L ) = −3,6K 0,4L−1,6 ; // // πKL ( K, L ) = πLK ( K, L ) = 2, 4K −0,6L−0,6 +) Bước Giải hệ phương trình để tìm điểm dừng πK/ ( K, L ) = 6K − 0,6 L0,4 − = ⇔ / 0,4 − 0,6 −4 = 6K L πL ( K, L ) = − 0,6 0,4 L 6K ⇔ 0,4 − 0,6 6K L = (1) = (2) 0 Lập tỷ số phương trình (1) phương trình (2) ta được: K = 2L (3) Thế (3) vào (2), ta có 6(2L)0,4 L− 0,6 = ⇔ L−0,2 = ⇔ L = 30,375 (4) ⋅ 20,4 Thay (4) vào (3), ta được: K = 60,75 Hàm số có điểm dừng M ( 60, 75; 30,375 ) +) Bước Kiểm tra điều kiện đủ M ( 60, 75; 30,375 ) // A = πKK ( 60,75; 30,375 ) = −3,6(60,75) −1,6 (30,375)0,4 ; // C = πLL ( 60,75; 30,375 ) = − 3,6(60, 75)0,4 (30,375) −1,6 ; // B = πKL ( 60,75; 30,375) = 2, 4(60,75)−0,6 (30,375) −0,6 Xét định thức D= A B = 7, 2(60,75) −1,2 (30,375) −1,2 > A < B C Vậy hàm số đạt cực đại M ( 60, 75; 30,375 ) , với πmax = π ( 60,75;30,375 ) = 98 243 ... P1 , P2 ) εQ D1 P1 = ∂QD1 P1 P1 = −4P1 ∂P1 QD1 6300 − 2P 12 − P 22 Hệ số co dãn cầu hàng hoá thứ theo giá hàng hoá thứ hai P2 thời điểm ( P1 , P2 ) là: εQ D1 P2 =− 10 P2 P2 6300 − 2P 12 − P 22 85... − 20 0 25 (64) (16) = − < 0; 48 C= // πLL − 22 5 22 5 < 0; ( 64,16 ) = − (64) (16) = − 32 B= // πKL ( 64,16 ) = // πLK ( 64,16 ) = 50(64) − − (16) = 25 > 16 Xét định thức 25 48 D= 25 16 − 25 625 ... xấp xỉ 32 đơn vị c) Với giả thiết cho doanh nghiệp nên sử dụng thêm đơn vị lao động ngày Vì ta có MPL 25 / MPK 32 = > = pL 2, 5 pK 12 3 .2. 2 Đạo hàm riêng hệ số co dãn Cho mơ hình hàm kinh tế: w