Phuong phap toa do trong khong gian

Phương pháp giải các bài toán về tọa độ trong không gian thường gặp trong TSĐH

Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 58 THAM LUẬN A. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua 1 điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với 1 mặt phẳng    cho trước. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua 3 điểm M, N, P không thẳng hàng. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng    đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  . Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng  và vuông góc với mặt phẳng    . Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng  và song song với  ’ (  ,  ’ chéo nhau). Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng  và 1 điểm M. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng    chứa 2 đường thẳng cắt nhau  và  ’ . Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng    chứa 2 song song  và  ’. Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu (S). Phương pháp giải 1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S) 2. Nếu mặt phẳng    tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M  (S) thì mặt phẳng    đi qua điểm M và có VTPT là MI  3.Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được VTPT của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( D chưa biết). Sử dụng điều kiện tiếp xúc:     , d I R   để tìm D. II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có VTCP Dạng 2.1: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Dạng 2.2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d, cắt đường thẳng d’. Dạng 3.1: Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt 2 đường thẳng a, b. Dạng 3.2: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (  ), cắt 2 đường thẳng a, b. Dạng 4: Viết phương trình đt  đi qua A  (P), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d. Dạng 5: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). III. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN NAY: (Khối D_2010) Chuẩn: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mp (P): x + y + z  3 = 0 và (Q): x  y + z  1 = 0. Viết phương trình mp (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 1 Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 59 PVT (1;1;1) P n   ; PVT (1; 1;1) Q m    ; PVT (2;0; 2) 2(1;0; 1) R k n m          Phương trình (R) có dạng : x  z + D = 0. Ta có : d (0;(R)) = 2 2 2 2 2 D D     Phương trình (R) : 2 2 0 2 2 0 x z hay x z       Nâng cao: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng  1 : 3 x t y t z t          và  2 : 2 1 2 1 2 x y z     . Xác định toạ độ điểm M thuộc  1 sao cho khoảng cách từ M đến  2 bằng 1. 2/ M   1  M(3+t; t; t) 2 2 (2;1;0) 1 (2;1;2) qua A VTCP a         Ta có : (1 ; 1; ) AM t t t     2 [ , ] (2 ;2; 3) a AM t t       ; d(M;  2 ) = 1 2 2 2 2 1 (4;1;1) (2 ) 4 ( 3) 1 2 10 17 3 2 10 8 0 4 (7;4;4) 4 1 4 t M t t t t t t t M                         1. (Khối D_2009) Chuẩn: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22 : 1 1 1 y x z      vặt phẳng (P):x+2y3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng . Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 60 ĐS: Chuẩn 5 1 ; ; 1 2 2 D        , Nâng cao 3 1 2 1 x t d y t z t             2. (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐS: a. x 2 +y 2 +z 2 3x3y3z=0, b. H(2;2;2). 3. (Khối D_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(1;2;4) và đường thẳng 21 : 1 1 2 y x z      . Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 61 a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA 2 +MB 2 nhỏ nhất. ĐS: a. 2 2 : 2 1 1 yx z d      , b. M(1;0;4). 4. (Khối D_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 2 2 3 : 2 1 1 yx z d       , 1 1 1 1 : 1 2 1 yx z d       . a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d 1 . b. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . ĐS: a. A’(1;4;1), b. 2 1 3 : 1 3 5 yx z        . 5. (Khối D_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 2 1 1 : 3 1 2 yx z d       và 2 12 3 : 10 2 x t d y t z t           . a. Chứng minh d 1 và d 2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d 1 và d 2 . b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 62 ĐS: a. 15x+11y17z10=0, b. 5 OAB S   . 6. (Khối D_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). ĐS:     2 2 2 1 1 1 x y z      . 7. (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d k là giao tuyến của hai mặt phẳng (  ): x+3kyz+2=0, (  ): kxy+z+1=0. Tìm k để đường thẳng d k Vuông góc với mặt phẳng (P):xy2z+5=0. ĐS: k=1. 8. (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2xy+2=0 và đường thẳng d m là giao tuyến của hai mặt phẳng (  ): (2m+1)x+(1m)y+m1=0, (  ): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng d m song song với mặt phẳng (P). Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 63 ĐS: 1 2 m   . (Khối B_2010) Chuẩn: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A (1; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1 3 . A (1; 0; 0); B (0; b; 0); C (0; 0; c) với b, c > 0  (ABC) : 1 1 x y z b c     (ABC) : bc.x + cy + bz – bc = 0 Vì d (0; ABC) = 1 3 nên 2 2 2 2 1 3 bc b c b c     3b 2 c 2 = b 2 c 2 + b 2 + c 2  b 2 + c 2 = 2b 2 c 2 (1) (P) : y – z + 1 = 0 có VTPT là (0;1; 1) P n    Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 64 (ABC) có VTPT là ( ; ; ) n bc c b   Vì (P) vuông góc với (ABC)  . 0 P P n n n n         c – b = 0 (2) Từ (1), (2) và b, c > 0 suy ra : b = c = 1 Nâng cao: 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2 1 2 x y z    . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến  bằng OM. d (M; ) = NM,a a      . M  Ox  M (m; 0; 0)  qua N (0; 1; 0) có VTCP a  = (2; 1; 2) NM (m; 1;0)     a, NM (2;2m; 2 m)          Ta có: d (M, ) = OM  a, NM OM a          2 5m 4m 8 m 3     4m 2 – 4m – 8 = 0  m = 1 hay m = 2. Vậy M (1; 0; 0) hay M (2; 0; 0) 9. (Khối B_2009) Chuẩn: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(2;1;3), C(2;1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z5=0 và hai điểm A(3;0;1), B(1;1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 65 ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z5=0, Nâng cao 3 1 : 26 11 2 yx z       . 10. (Khối B_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;2;1), C(2;0;1). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z3=0 sao cho MA=MB=MC. ĐS: a. x+2y4z+6=0, b. M(2;3;7). 11. (Khối B_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 2x+4y+2z3=0 và mặt phẳng (P): 2xy+2z14=0. a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất. Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 66 ĐS: a. y2z=0, b. M(1;1;3). 12. (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng 1 1 1 : 2 1 1 y x z d      , 2 1 : 1 2 2 x t d y t z t             . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d 1 , d 2 . b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho A, M, N thẳng hàng. ĐS: a. (P): x+3y+5z13=0, b. M(0;1;1), N(0;1;1). 13. (Khối B_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 với A(0;3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4). a. Tìm tọa độ các đỉnh A 1 , C 1 . Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB 1 C 1 ). b. Gọi M là trung điểm của A 1 B 1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A , M và song song với BC 1 . Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A 1 C 1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. Tổ Toán – Tin Trường THPT Cao Bá Quát 67 ĐS: 17 2 MN  14. (Khối B_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(4;2;4) và đường thẳng 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t              . Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. ĐS: 2 4 4 : 3 2 1 yx z       15. (Khối B_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho   0;6;0 AC   . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. ĐS: Khoảng cách bằng 5 16. (Khối A_2010) Chuẩn [...]... - x 1 y z  2   và mặt phẳng (P) : 2 1 1 x  2y + z = 0 Gọi C là giao điểm của  với (P), M là điểm thuộc  Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 Nâng cao 1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : 2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng x2 y2 z 3 Tính khoảng cách từ A đến  Viết phương trình mặt cầu tâm :   2 3 2 A, cắt  tại hai điểm B và C sao...  =25 2 17 17 Phương trình (S) : x 2  y 2  (z  2) 2  25 17 (Khối A_2009) Chuẩn: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x2yz4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z22x4y6z11=0 Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y+2z1=0 và hai đường thẳng 1 : x 1... (): x4y+z3=0 19 (Khối A_2007) x 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y 1 z  2 và  1 1  x  1  2t  d2 :  y  1  t z  3  a Chứng minh rằng d 1 và d2 chéo nhau b Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 ĐS: d : x  2 y z 1   7 1 4 20 (Khối A_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình... - ĐS: a 2xz=0, b H(2;3;4) 24 (CĐ_Khối A_2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2yz+10 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2) ĐS: (P): 4x5y+2z10 25 (CĐ_Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình x y... - Bài1: Trong 2 không 2  x  1   y  2    z  3 gian 2 Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình  14 và điểm M  1; 3; 2  Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua sao cho (P) cắt (S) theo một giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất Ta thấy M thuộc miền trong của (S) và (S) có tâm I  1; 2; 3 , R  14 Do đó, (P) qua M cắt (S) theo một giao tuyến... phương trình 2x  y  z  1  0   x  3 y  1 z  M(2, 2, 3)  1  1  3  Bài 5: Trong không gian (Oxyz), lập phương trình mặt phẳng  đi qua hai điểm 1 7 A(2, 1; 0), B(5;1;1) và khoảng cách từ điểm M(0; 0; ) đến mặt phẳng   bằng 2 6 3 2 x  y  5z  1  0; 5x  17y  19z  27  0 Bài 6: Trong không gian (Oxyz), cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0),C(0; 0; c),(a, b, c  0) và luôn thỏa mãn... M(1;0;2) thì minP = 2  11  29  Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:  x  2t x  4 y 1 z  5  d1 :   và : d 2 :  y  3  3t t 3 1 2  zt  Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 HD: Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;0;... d là giao của (P) và mp trung trực của đoạnh AB Tìm điểm C thuộc d sao cho CA.=.AB Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z  1 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và   2 1 3 khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng x 1 y z  2 d:   2 1 2... qua A sao cho khoảng cách từ d đến ( ) lớn nhất Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng x 1 y z  2 d:   và mp (): x+y+z=0 2 1 2 a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d b Viết phương trình đường thẳng  đi qua A, // d sao cho khoảng cách từ  đến d lớn nhất Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : x2 y2 z ... Quát - Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d  d  I ,  P   2.2  2  1  3  16 5 d  R 3 Do đó (P) và (S) không có điểm chung .Do vậy, min MN = d –R = 5 -3 = 2 Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0 Dễ thấy N0 là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) . phẳng (P). Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22 : 1 1 1 y x z      vặt phẳng (P):x+2y3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt. mặt phẳng (P). ĐS:     2 2 2 1 1 1 x y z      . 7. (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng d k là giao tuyến của hai mặt phẳng (  ): x+3kyz+2=0,. d k Vuông góc với mặt phẳng (P):xy2z+5=0. ĐS: k=1. 8. (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2xy+2=0 và đường thẳng d m là giao tuyến của hai mặt