ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN XUÂN TRÌU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán ứng dụng Mã số 8 46 01 12 NG[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN XUÂN TRÌU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tun, người tân tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn–Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn đồng chí lãnh đạo phịng Giáo dục Đào tạo, Ban giám hiệu trường THCS Tân Lập huyện Vũ Thư, tỉnh Thái Bình tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet 1.2.2 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn 1.2.4 Phép chiếu Bregman 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh Chương Một số phương pháp chiếu giải hỗn hợp tổng quát 2.1 Bài toán cân hỗn hợp tổng quát 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 2.3 Phương pháp chiếu thu hẹp 3 4 12 17 20 hệ toán cân 21 21 24 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iv Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R + tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 F (T ) Fˆ (T ) tập điểm bất động ánh xạ T tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f 5f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M n→∞ v projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn hay vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert hay không gian Banach trường hợp riêng tốn chấp nhận lồi: “Tìm phần tử thuộc giao khác rỗng họ hữu hạn hay vơ hạn tập lồi đóng {Ci }i∈I không gian Hilbert H hay không gian Banach X”, với I tập số Bài toán có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học khác như: Xử lí ảnh, khơi phục tín hiệu, vật lý, y học Khi Ci tập nghiệm toán cân (tổng qt), có nhiều phương pháp đề xuất dựa phương pháp lặp cổ điển tiếng Đó phương pháp lặp Kranoselskii, Mann, Ishikawa, Halpern, phương pháp xấp xỉ mềm hay phương pháp sử dụng siêu phẳng cắt Cho đến vấn đề nghiên cứu phương pháp xấp xỉ nghiệm hệ tốn cân khơng gian Hilbert hay Banach chủ đề thu hút quan tâm nhiều người làm tốn ngồi nước Bằng cách sử dụng công cụ khoảng cách Bregman thay cho khoảng cách thơng thường, người ta tìm nhiều phương pháp xấp xỉ nghiệm lớp tốn cân Ngồi ra, sử dụng khoảng cách Bregman người ta giải toán cân bằng, tốn liên quan khác khơng gian Banach phản xạ mà khơng địi hỏi thêm tính chất hình học khác khơng gian tính lồi hay trơn Năm 2016, T.M Tuyen [21] nghiên cứu đưa ba thuật toán chiếu cho tốn tìm nghiệm hệ tốn cân hỗn hợp tổng quát không gian Banach phản xạ Cụ thể hơn, T.M Tuyen giới thiệu chứng minh hội tụ mạnh ba phương pháp lặp song song dựa phương pháp chiếu lai ghép (hybrid projection method) phương pháp chiếu thu hẹp (shrinking projection method) Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết kết T.M Tuyen báo [21] Theo đó, nội dung luận văn chia làm hai chương chính, đó: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet, hàm lồi, vi phân hàm lồi, phép biến đổi Young-Fenchel, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Chương Một số phương pháp chiếu giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Nội dung chương kết T.M Tuyen phương pháp chiếu lai ghép hai phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm nghiệm hệ toán cân hỗn hợp tổng quát khơng gian Banach phản xạ Ngồi ra, số hệ định lý cho số toán liên quan giới thiệu 3 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm hai mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman toán tử Bregman không giãn mạnh Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 13, 16, 19, 22] 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x thuộc X cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với x∗ ∈ X ∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu hx∗ , xi để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) X không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu 4 Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn * x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < +∞} Với x ∈ int domf y ∈ X, ta ký hiệu f (x, y) đạo hàm phải f x theo hướng y, tức f (x + ty) − f (x) f (x, y) = lim t↓0 t Định nghĩa 1.2.1 Hàm f gọi khả vi Gâteaux x giới hạn limt→0 (f (x + ty) − f (x))/t tồn với y Trong trường hợp f (x, y) trùng với (5f )(x), giá trị gradient 5f f x Định nghĩa 1.2.2 Hàm f gọi khả vi Fréchet x giới hạn tồn tập {y ∈ X : kyk = 1} Hàm f gọi khả vi Fréchet tập C X giới hạn tồn với x ∈ C kyk = Chú ý 1.2.3 i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) X, tốn tử gradient 5f phiếm hàm tuyến tính liên tục X 5 ii) Ta biết f khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) int domf , f liên tục đạo hàm Gâteaux 5f liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* int domf (xem [6]) iii) Nếu f khả vi Fréchet X, tồn số M cho k f (x)k ≤ M , với x ∈ X Dưới tính chất đơn giản hàm khả vi Fréchet Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8) Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều, f liên tục X Chứng minh Lấy u, v ∈ X Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với t ∈ [0, 1] Khi đó, ta có h(t + τ ) − h(t) f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)] = τ τ Vì f khả vi Fréchet X, nên cho τ → 0, ta nhận h0 (t) = 5f (u + t(v − u))(v − u) Theo định lý Lagrange, tồn θ ∈ (0, 1) cho h(1) − h(0) = h0 (θ) Suy |f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)| = | f (u + θ(v − u))(v − u)| ≤ k f (u + θ(v − u))kku − vk Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy tồn M cho k f (x)k ≤ M , với x ∈ X Do đó, ta nhận |f (u) − f (v)| ≤ M ku − vk Vậy f liên tục X 1.2.2 Hàm lồi khoảng cách Bregman Định nghĩa 1.2.5 Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞} i) Hàm f gọi thường dom f 6= ∅ f (x) > −∞(∀x ∈ D), dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞} ... Chương Một số phương pháp chiếu giải hệ toán cân hỗn hợp tổng quát Nội dung chương kết T.M Tuyen phương pháp chiếu lai ghép hai phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm nghiệm hệ tốn cân hỗn hợp tổng. .. Phép chiếu Bregman 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh Chương Một số phương pháp chiếu giải hỗn hợp tổng quát 2.1 Bài toán cân hỗn hợp tổng quát 2.2 Phương pháp chiếu. .. đối ngẫu X R tập hợp số thực R + tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F