Luận văn thạc sĩ toán học phương trình hàm sinh bởi hàm hợp trên tập số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  VŨ VIẾT TRƢỜNG PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM HỢP TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Chuyên ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜ[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ VIẾT TRƢỜNG PHƢƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM HỢP TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2020 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12 tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân, bạn bè, đồng nghiệp ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Vũ Viết Trường ii Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số 1.1 Các tính chất hàm số tập hợp 1.2 Đặc trưng hàm tính chất liên quan 1.2.1 Khái niệm phương trình hàm 1.2.2 Phép lặp 1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 1.3 Đặc trưng hàm tuần hoàn 1.3.1 Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 1.3.2 Hàm tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính 1.4 Dãy số sinh hàm hợp f (αx + β) Chương Phương pháp giải phương trình hàm tập 2.1 Sử dụng nguyên lý quy nạp 2.1.1 Nhận xét 2.1.2 Một vài ví dụ minh họa 2.1.3 Bài tập áp dụng 2.2 Ứng dụng toán dãy số vào giải phương trình hàm 2.2.1 Lý thuyết 2.2.2 Một vài ví dụ minh họa 2.2.3 Bài tập áp dụng 2.3 Sử dụng đánh giá bất đẳng thức 2.3.1 Lý thuyết 2.3.2 Một vài ví dụ minh họa 2.3.3 Bài tập áp dụng 2.4 Sử dụng nguyên lý cực hạn 2.4.1 Lý thuyết rời 2 3 8 13 17 rạc 20 20 20 20 25 26 26 26 28 28 28 29 31 31 31 iii 2.5 2.6 2.4.2 Một vài ví dụ minh họa 2.4.3 Bài tập áp dụng Hàm số sử dụng tính chất số học 2.5.1 Lý thuyết 2.5.2 Một vài ví dụ minh họa 2.5.3 Bài tập áp dụng Hàm số hệ đếm số 2.6.1 Lý thuyết 2.6.2 Một vài ví dụ minh họa 2.6.3 Bài tập áp dụng 31 33 34 34 34 40 42 42 43 46 Chương Các dạng phương trình hàm sinh hàm hợp tập số nguyên qua kỳ Olympic 49 3.1 Các dạng toán xác định dãy số 49 3.2 Một số dạng toán khác 60 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 Mở đầu Luận văn nhằm cung cấp số dạng toán phương pháp giải phương trình hàm sinh hàm hợp tập số nguyên Chuyên đề nằm chương trình bồi dưỡng HSG lớp THPT phục vụ kỳ thi tỉnh, quốc gia khu vực Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp, tốn liên quan tới phương trình hàm sinh hàm hợp thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó phần kiến thức chuyên đề không nằm chương trình tốn lớp 12 bậc trung học phổ thơng Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phương trình hàm, tơi chọn đề tài luận văn "Phương trình hàm sinh hàm hợp tập số nguyên" Tiếp theo, khảo sát số lớp toán từ đề thi HSG Quốc gia tỉnh thành nước năm gần Cấu trúc luận văn gồm chương: Chương Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số Chương Phương pháp giải phương trình hàm tập rời rạc Chương Các dạng phương trình hàm sinh hàm hợp tập số nguyên qua kỳ Olympic Tiếp theo, cuối chương trình bày tập áp dụng đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan 2 Chương Một số kiến thức liên quan đến đặc trưng hàm số Trong chương này, tác giả hệ thống lại tính chất hàm số, đặc trưng hàm tính chất liên quan, khái niệm hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn đặc trưng hàm tuần hoàn Các kết chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [4] [8] 1.1 Các tính chất hàm số tập hợp Định nghĩa 1.1 (xem [2]) Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với (và một) phần tử Y Phần tử gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu f (x) - Tập X gọi tập xác định f Tập hợp Y gọi tập giá trị f - Ánh xạ f từ X đến Y kí hiệu f :X→Y x 7→ y = f (x) - Khi X Y tập số thực, ánh xạ f gọi hàm số xác định X - Cho a ∈ X, y ∈ Y Nếu f (a) = y ta nói y ảnh a a nghịch ảnh y qua ánh xạ f - Tập hợp Y = {y ∈ Y |∃x ∈ X, y = f (x)} gọi tập ảnh f Nói cách khác, tập ảnh f (X) tập hợp tất phẩn tử Y mà có nghịch ảnh Định nghĩa 1.2 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y gọi đơn ánh với a ∈ X, b ∈ X mà a 6= b f (a) 6= f (b), tức hai phần tử phân biệt có hai ảnh phân biệt 3 Từ định nghĩa ta suy ánh xạ f đơn ánh với a ∈ X, b ∈ X mà f (a) = f (b), ta phải có a = b Định nghĩa 1.3 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y gọi toàn ánh với phần tử y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho y = f (x) Như f toàn ánh Y = f (X) Định nghĩa 1.4 (xem [2]) Ánh xạ f : X → Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Như ánh xạ f : X → Y song ánh với y ∈ Y , tồn phần tử x ∈ X để y = f (x) Định nghĩa 1.5 (xem [2]) Ánh xạ ngược f , kí hiệu f −1 , ánh xạ từ Y đến X gán cho phần tử y ∈ Y phần tử x ∈ X cho y = f (x) Như f −1 (x) = y ⇔ f (x) = y Nếu f khơng phải song ánh ta định nghĩa ánh xạ ngược f Do nói đến ánh xạ ngược f song ánh Nhận xét 1.1 Một số lưu ý áp dụng tính chất đơn ánh, tồn ánh, song ánh giải phương trình hàm +) Nếu f : R → R đơn ánh từ f (x) = f (y) suy x = y +) Nếu f : R → R toàn ánh với y ∈ R, ln tồn x ∈ R f (x) = y , tức phương trình (ẩn x) y = f (x) ln có nghiệm +) Nếu f hàm số mà đơn ánh ta hay dùng thủ thuật tác động f vào hai vế, tạo f (ϕ (x)) = f (φ (x)) suy ϕ (x) = φ (x) +) Nếu f tồn ánh ta hay dùng: Tồn số b cho f (b) = , sau tìm b Nếu quan hệ hàm hàm bậc biến vế phải nghĩ đến tính đơn ánh, toàn ánh +) Nếu f : R → R toàn ánh f (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ T, T tập giá trị hàm f f (x) = ϕ (x) , ∀x ∈ R Về sau, luận văn ta xét ánh xạ hàm số xác định nhận giá trị tập hợp số thực 1.2 1.2.1 Đặc trưng hàm tính chất liên quan Khái niệm phương trình hàm Phương trình hàm hiểu phương trình mà hai vế phương trình xây dựng từ số hữu hạn hàm chưa biết (của số hữu hạn biến) từ số hữu hạn biến độc lập Phép xây dựng thực từ số hữu hạn hàm biết (một hay nhiều biến) số hữu hạn phép thay hàm biết hàm chưa biết thành hàm biết chưa biết khác Trong báo Kuczma [8] trình bày chi tiết lý thuyết phương trình hàm sau: Định nghĩa 1.6 (Định nghĩa ”từ” phương trình hàm) Một từ định nghĩa theo điều kiện sau đây: 1◦ Các biến độc lập gọi từ 2◦ Nếu t1 , , từ f (x1 , , xp ) hàm p biến, f (t1 , , ) từ 3◦ Khơng tồn từ khác Khi đó, phương trình hàm định nghĩa sau: Định nghĩa 1.7 (Định nghĩa phương trình hàm) Phương trình hàm đẳng thức t1 = t2 hai từ t1 t2 chúng chứa tối thiểu hàm chưa biết số hữu hạn biến số độc lập xác định Vấn đề phân loại phương trình hàm khó chưa giải thỏa đáng Định nghĩa 1.8 Phương trình hàm hàm ẩn hàm biến gọi phương trình hàm thơng thường Định nghĩa 1.9 Số biến độc lập xuất phương trình hàm gọi bậc phương trình Thơng thường, phương trình vi phân, tích phân, phương trình đạo hàm riêng, toán biên, dạng toán cần xác định hàm số Tuy nhiên, dạng tốn có chứa thêm yếu tố khơng phải từ nên biểu thức tương ứng hai từ theo nghĩa nêu Như vậy, phương trình hàm tổng quát cho thường khơng kèm theo giả thiết quy (có đặc trưng giải tích lên hàm tính đo được, tính bị chặn, khả tích, khả vi, đơn điệu, liên tục, lồi, lõm, ) 5 1.2.2 Phép lặp Định nghĩa 1.10 (Phép lặp) Phép lặp f n (x) hàm f (x) định nghĩa sau: f (x) = x, f n+1 (x) = f (f n (x)), x ∈ R, n = 0, 1, 2, (Các hàm f n (x) (n = 0, 1, 2, ) xác định R) x Ví dụ 1.1 Cho hàm số f (x) = √ Hãy xác định hàm số + x2 f n (x) = f [f [f [· · · [f (x)] · · · ]]] Lời giải Ta giải toán phương pháp quy nạp Thật Với n = ta có x √ f (x) x + x2 f (x) = f [f (x)] = p =s =√ 2 + 2x + (f (x))2 x 1+ + x2 Giả sử ta chứng minh f k (x) = √ x Khi đó, + kx2 x f k (x) + kx2 k+1 k p f (x) = f [f (x)] = , =s  2 + (f k (x))2 x 1+ √ + kx2 √ suy f k+1 (x) = p Vậy f n (x) = √ x + (k + 1)x2 x + nx2 Ví dụ 1.2 Giả sử f : R+ → R+ hàm liên tục, nghịch biến cho f (x + y) + f (f (x) + f (y)) = f (f (x + f (y)) + f (y + f (x))), ∀x, y ∈ R+ (1.1) Chứng minh f (f (x)) = x Lời giải Với y = x ta có f (2x) + f (2f (x)) = f (2f (x + f (x))) (1.2) Thay x f (x) vào (1.1) ta f (2f (x)) + f (2f (f (x))) = f (2f (f (x) + f (f (x)))) (1.3) Từ (1.2) (1.3) suy f (2f (f (x))) − f (2x) = f (2f (f (x) + f (f (x)))) − f (2f (x + f (x))) Nếu f (f (x)) > x hàm f giảm thực nên vế trái phương trình nhận giá trị âm, f (f (x) + f (f (x))) > f (x + f (x)) f (x) + f (f (x)) < f (x) + x, điều mâu thuẫn với giả sử f (f (x)) > x Ta chứng minh điều tương tự với giả sử f (f (x)) < x Do ta có f (f (x)) = x 1.2.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Xét hàm số f (x) xác định tập D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.11 (xem [1]) Giả sử M ⊂ D(f ) Khi a) f (x) gọi hàm số chẵn x0 tập M , ∀x ∈ M, ta có 2x0 − x ∈ M f (2x0 − x) = f (x) b) f (x) gọi hàm số lẻ x0 M , ∀x ∈ M, ta có 2x0 − x ∈ M f (2x0 − x) = −f (x) Nhận xét 1.2 Như vậy, hàm chẵn, lẻ thông thường hàm chẵn, lẻ R Ví dụ 1.3 Mọi hàm số f (x) xác định R biểu diễn dạng f (x) = f1 (x) + f2 (x), đó, f1 (x) hàm số chẵn f2 (x) hàm số lẻ 1 Lời giải Đặt f1 (x) = [f (x) + f (−x)] f2 (x) = [f (x) − f (−x)] Rõ ràng 2 f1 (x) hàm chẵn, f2 (x) hàm lẻ ta có f (x) = f1 (x) + f2 (x) Ví dụ 1.4 Mọi hàm số f (x) hàm chẵn x0 M ⊂ R biểu diễn dạng f (x) = [g(x) + g(2x0 − x)], ∀x ∈ M, Với g hàm xác định M (1.4) Lời giải Thật vậy, ứng với hàm g tùy ý xác định M, từ (1.4) ta có f (2x0 − x) = f (x), ∀x ∈ M Ngược lại, f hàm chẵn x0 M f (2x0 − x) = f (x) ⇔ f (x) = [f (x) + f (2x0 − x)], ∀x ∈ M Vậy f có dạng (1.4) với g = f Ví dụ 1.5 Hàm số f (x) hàm lẻ x0 M ⊂ R biểu diễn dạng f (x) = [g(x) − g(2x0 − x)], ∀x ∈ M, Với g hàm xác định M (1.5) Lời giải Thật vậy, ứng với hàm g tùy ý xác định M, từ (1.5) ta có f (2x0 − x) = −f (x), ∀x ∈ M Ngược lại, f hàm lẻ x0 M f (2x0 − x) = −f (x) ⇔ f (x) = [f (x) − f (2x0 − x)], ∀x ∈ M Vậy f có dạng (1.5) với g = f Nhận xét 1.3 Như vậy, theo định nghĩa hàm chẵn x0 hàm bất biến phép lấy đối xứng qua điểm x0 Từ đó, ta có lớp hàm tương ứng bất biến qua phép nghịch đảo x0 sau Định nghĩa 1.12 (xem [1]) Giả sử M ⊂ D(f ) a) f (x) gọi hàm số chẵn nhân tính x0 6= tập M ,  x2  x20 ∀x ∈ M, ta có ∈ M f = f (x) x x b) f (x) gọi hàm số lẻ nhân tính x0 M ,  x2  x20 ∀x ∈ M, ta có ∈ M f = −f (x) x x Ví dụ 1.6 Mọi hàm số f (x) hàm chẵn nhân tính x0 6= M ⊂ R biểu diễn dạng  x2 i 1h f (x) = g(x) + g , ∀x ∈ M (1.6) x Lời giải Thật vậy, ứng với hàm g tùy ý xác định M, từ (1.6) ta có f  x2  x = f (x), ∀x ∈ M Ngược lại, f hàm chẵn nhân tính x0 M  x2  x  x2 i 1h = f (x) ⇔ f (x) = f (x) + f , ∀x ∈ M x Vậy f có dạng (1.6) với g = f Ví dụ 1.7 Mọi hàm số f (x) hàm lẻ nhân tính x0 6= M ⊂ R biểu diễn dạng  x2  f (x) = [g(x) − g ], ∀x ∈ M x (1.7) Lời giải Thật vậy, ứng với hàm g tùy ý xác định M, từ (1.7) ta có  x2  f = −f (x), ∀x ∈ M x Ngược lại, f hàm lẻ nhân tính x0 M  x2  x  x2 i 1h = −f (x) ⇔ f (x) = f (x) − f , ∀x ∈ M x Vậy f có dạng (1.7) với g = f 1.3 1.3.1 Đặc trưng hàm tuần hoàn Hàm tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.13 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M, ta có x ± a ∈ M f (x ± a) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.14 (xem [1]) Cho f (x) hàm tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hoàn với chu kỳ dương bé T Ví dụ 1.8 f (x) = C , C số, hàm số tuần hoàn với chu kỳ số dương khơng có chu kỳ sở Ví dụ 1.9 f (x) = {x} = x − [x] hàm số tuần hoàn với chu kỳ sở T0 = Ví dụ 1.10 Hàm sin x, cos x hàm số tuần hoàn với chu kỳ sở 2π Hàm tan x, cot x hàm tuần hoàn với chu kỳ sở π 2π Các hàm sin(ax + b), cos(ax + b), a 6= 0, tuần hoàn với chu kỳ sở |a| π Các hàm tan(ax + b), cot(ax + b), a 6= 0, tuần hoàn với chu kỳ sở |a| Ví dụ 1.11 Hàm số f (x) = (−1)[x] {x} hàm số tuần hoàn với chu kỳ Thật vậy, f (x + 2) = (−1)[x+2] {x + 2} = (−1)[x] (−1)2 {x} = (−1)[x] {x} = f (x), ∀x ∈ R Dễ thấy f (x + α) 6≡ f (x) với < α < 2, nên chu kỳ sở hàm số cho Tính chất 1.1 (xem [1]) Tồn hàm tuần hoàn R khơng có chu kì sở Ví dụ 1.12 Hàm Dirichle  0 x 6∈ Q f (x) = 1 x ∈ Q hàm tuần hoàn R chu kỳ a ∈ Q∗ tùy ý Vì Q∗ khơng có số nhỏ nên hàm f (x) khơng có chu kỳ sở Tính chất 1.2 (xem [1]) Hàm tuần hoàn liên tục R hàm bị chặn Tính chất 1.3 Cho f1 , f2 , , fn : R → R hàm tuần hoàn liên tục thỏa n P mãn điều kiện fi hàm tuần hoàn khơng có tổng m hàm số i=1 hàm với < m < n Khi đó, hàm fi có chung chu kì Chứng minh Ta chứng minh tốn phương pháp quy nạp Thật vậy, *) Với n = Giả sử f, g hai hàm tuần hoàn với chu kỳ t s, f + g hàm tuần hoàn với chu kỳ k 10 Khi đó, ta có f (x + k) + g(x + k) = f (x) + g(x), ∀x ∈ R Suy f (x + k) − f (x) = g(x) − g(x + k) = ϕ(x) t Nếu ϕ 6≡ const ϕ tuần hồn với chu kỳ t, s nên ∈ Q, suy f, g có chu s kỳ Nếu ϕ = a (const) ta chia làm trường hợp: +) Nếu a = f, g có chu kỳ k +) Nếu a 6= f (x + k) − f (x) = a ⇒ f (x + nk) − f (x) = na Cố định x ta có lim f (x + nk) = +∞ n→+∞ Điều vơ lý hàm tuần hồn liên tục hàm bị chặn Do a = Vậy f, g có chu kỳ Hay tốn với n = *) Giả sử khẳng định với số k < n (n ≥ 3) Ta chứng minh khẳng định với k = n Giả sử f1 + f2 + · · · + fn tuần hồn với chu kỳ T > Khi n X fi (x + T ) = i=1 n X fi (x) i=1 Đặt gi (x) = fi (x + T ) − fi (x) Ta có n−1 X gi (x) = −gn (x) = fn (x) − fn (x + T ) i=1 Lại có gi (x) hàm tuần hồn liên tục có chu kỳ với fi (x) với i < n Nếu khơng có tổng bé n − hàm số hàm suy gi (x) có chu kỳ k , (1 ≤ i ≤ qn − 1) Gọi t1 , t2 , , tn chu kỳ sở hàm f1 , f2 , , fn ti k Suy ∈ Q, ≤ i ≤ n − Suy ∈ Q Suy f1 , f2 , , fn−1 có ti tj chu kỳ L L Ta có ∈ Q nên f1 , f2 , , fn có chu kỳ tn Nếu có tổng số hàm gi hàm hằng, giả sử g1 + g2 + · · · + gk = const, (k ≥ 1) [f1 (x + T ) + f2 (x + T ) + · · · + fk (x + T )] − [f1 (x) + f2 (x) + · · · + fk (x)] = a 11 Do k P fi giới nội nên a = Suy i=1 f1 (x + T ) + f2 (x + T ) + · · · + fk (x + T ) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fk (x) Vì k < n nên theo giả thiết quy nạp, f1 , f2 , , fk có chu kỳ Suy g1 , g2 , , gk có chu kỳ Lại có g1 (x) + g2 (x) + · · · + gn (x) = 0, ∀x ∈ R Như tập {gi }ni=1 chia thành tập có số lượng phần tử nhỏ mà tổng tất hàm tập số Nếu tập có phần tử gi rõ ràng gi tuần hồn với chu kỳ T với tập lại, theo giả thiết quy nạp, hàm fk tuần hồn với chu kỳ T Tính chất 1.4 Cho hai hàm f (x), g(x) liên tục tuần hoàn R với chu kỳ sở a b Khi F (x) = f (x) + g(x) tuần hoàn a b thông ước, tức a ∈ Q b a a m Chứng minh Nếu ∈ Q, tồn cặp số (m, n) = 1, m, n ∈ N∗ để = b b n Đặt T = n.a = m.b Ta có F (x + T ) = f (x + T ) + g(x + T ) = f (x + n.a) + g(x + m.b) = f (x) + g(x) = F (x) Vậy F (x) = f (x) + g(x) hàm tuần hoàn chu kỳ T Ngược lại, ta có f g có chu kỳ T Khi đó, chọn T = na = mb với a m m, n ∈ Z∗ Suy = ∈ Q b n Tính chất 1.5 Cho hàm số tuần hoàn f, g : R → R thỏa mãn điều kiện lim (f − g)(x) = Khi x→+∞ f (x) = g(x), ∀x ∈ R Chứng minh Gọi T, S chu kì hàm số f, g Ta có ∀x ∈ R, n ∈ N, g(x) − f (x) = [f (x + nT + nS) − g(x + nT + nS)] − [f (x + nS) − g(x + nS)] + [g(x + nT ) − f (x + nT )] 12 Cố định x ∈ R, cho n → ∞ ta có g(x) − f (x) = lim [g(x) − f (x)] x→+∞ = lim {[f (x + nT + nS) − g(x + nT + nS)] n→∞ − [f (x + nS) − g(x + nS)] + [g(x + nT ) − f (x + nT )]} = Suy g(x) = f (x), ∀x ∈ R Tiếp theo, ta xét lớp hàm phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.15 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn (cộng tính) chu kỳ b (b > 0) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M, ta có x ± b ∈ M f (x ± b) = −f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.16 (xem [1]) Cho f (x) hàm phản tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) phản tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hoàn với chu kỳ bé T Ví dụ 1.13 f (x) = sin(3x) − sin x hàm phản tuần hồn cộng tính với chu kỳ sở π Thật vậy, f (x + π) = sin(3x + 3π) − sin(x + π) = − sin 3x + sin(x) = −f (x), ∀x ∈ R Tính chất 1.6 Mọi hàm phản tuần hồn M hàm tuần hoàn M Chứng minh Giả sử f (x) hàm phản tuần hồn với chu kỳ b ∈ M , ta có f (x + 2b) = −f (x + b) = f (x), ∀x ∈ M Ngồi ra, x ± b ∈ M nên x ± 2b ∈ M Vậy f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b Tính chất 1.7 f (x) hàm phản tuần hồn với chu kỳ b M f (x) có dạng f (x) = g(x + b) − g(x) với g(x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b 13 Chứng minh Ta có f (x + b) = g(x + b + b) − g(x + b) = g(x) − g(x + b) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M x ± b ∈ M Do f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M Ngược lại, với f (x) hàm phản tuần hoàn chu kỳ b M Chọn g(x) = − f (x), Khi ∀x ∈ M, ta có x ± 2b ∈ M  1 1 g(x + 2b) = −( )f (x + 2b) = ( )f (x + b) = − f (x) = g(x) 2 g(x + b) − g(x) = 1.3.2  1 1 f (x) = f (x), ∀x ∈ M − f (x + b) + 2 Hàm tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.17 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a; (a > 1) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M, ta có a±1 x ∈ M f (a±1 x) = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ 1.14 Xét f (x) = sin(2π log2 x) Khi f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π(1 + log2 x)) = sin(2π log2 x) = f (x) Tính chất 1.8 Nếu f (x) g(x) hai hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ tương m ln |a| ứng a b M = , m, n ∈ N∗ F (x) = f (x) + g(x) ln |b| n G(x) = f (x).g(x) hàm tuần hồn nhân tính M ln |a| m Chứng minh Từ giả thiết = suy |a|n = |b|m Ta chứng minh ln |b| n 2n 2m T := a = b chu kỳ F (x) G(x) Thật vậy, ta có F (T x) = f (a2n x) + g(b2m x) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M ; G(T x) = f (a2n x)g(b2m x) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M, T ±1 x ∈ M Do đó, F (x), G(x) hàm tuần hồn nhân tính M 14 Tính chất 1.9 Nếu f (x) hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a, a > R g(t) = f (ln t), (t > 0) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ ea R+ Ngược lại, f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a (a > 1) R+ g(t) = f (et ) hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ ln a R Chứng minh Giả sử f (x) hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ a, a > R Xét g(t) = f (ln t), (t > 0) Ta có g(ea t) = f (ln(ea t)) = f (ln ea + ln t) = f (a + ln t) = f (ln t) = g(t), ∀t ∈ R+ Vậy g(t) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ ea R+ Ngược lại, giả sử f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a (0 < a 6= 1) R+ Xét g(t) = f (et ), ∀t ∈ R Ta có g(t + ln a) = f (et+ln a ) = f (et eln a ) = f (aet ) = f (et ) = g(t), ∀t ∈ R Vậy g(t) hàm tuần hồn cộng tính chu kỳ ln a R Tiếp theo, ta xét lớp hàm phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.18 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ a (a > 1) M M ⊂ D(f )  ∀x ∈ M, ta có a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M √ [sin(2π log2 ( 2x)) − sin(2π log2 x)] Khi f (x) √ hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ √ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ ( 2)±1 x ∈ R+ Ví dụ 1.15 Xét f (x) = √ √ f ( 2x) = [sin(2π log2 (2x)) − sin(2π log2 ( 2x))] √ = [sin(2π(1 + log2 x)) − sin(2π log2 ( 2x))] √ = [sin(2π log2 x) − sin(2π log2 ( 2x))] = −f (x) 15 Tính chất 1.10 Mọi hàm phản tuần hồn nhân tính M hàm tuần hồn nhân tính M Chứng minh Theo giả thiết tồn b > cho ∀x ∈ M b±1 ∈ M f (bx) = −f (x), ∀x ∈ M Suy ra, ∀x ∈ M b±1 ∈ M f (b2 x) = f (b(bx)) = −f (bx) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M Như vậy, f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ b2 M Tính chất 1.11 f (x) hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ b (b > 1) M f (x) có dạng: f (x) = (g(bx) − g(x)), đó, g(x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ b2 M Chứng minh (i) Giả sử f hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ b M Khi g(x) = −f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ b2 M 1 (g(bx) − g(x)) = (−f (bx) − (−f (x))) 2 = (−(−f (x)) + f (x)) = f (x), ∀x ∈ M (ii) Ngược lại, f (x) = (g(bx) − g(x)), 1 f (bx) = (g(b2 x) − g(bx)) = (g(x) − g(bx)) 2 = − (g(bx) − g(x)) = −f (x), ∀x ∈ M Hơn nữa, ∀x ∈ M b±1 x ∈ M Do đó, f (x) hàm phản tuần hồn nhân tính M Ví dụ 1.16 Cho a > Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (ax) = f (x), ∀x ∈ R+ Lời giải Đặt x = at f (at ) = h1 (t) Khi t = loga x f (ax) = f (x) ⇔ h1 (t + 1) = h1 (t), ∀t ∈ R, 16 h(t) = f (at ) Xét x < Đặt −x = at f (−at ) = h2 (t) Khi t = loga |x| f (ax) = f (x) ⇔ h2 (t + 1) = h2 (t), ∀t ∈ R Kết luận: f (x) = h(loga |x|) h(t) hàm tuần hồn cộng tính tùy ý chu kỳ R Ví dụ 1.17 Cho a < 0, a = −1 Xác định tất hàm f (x) thỏa mãn điều kiện f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R Lời giải Từ điều kiện toán suy f (a2 x) = f (x), ∀x ∈ R Vậy, nghiệm tốn có dạng f (x) = [g(x) − g(ax)], g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R Thật vậy, f (x) có dạng ta có f (ax) = [g(ax) − g(a2 x)] [g(ax) − g(x)] = −f (x), ∀x ∈ R Ngược lại, với f (x) thỏa mãn điều kiện tốn, chọn g(x) = f (x) Khi g(a2 x) = g(x), ∀x ∈ R 1 [g(x) − g(ax)] = [f (x) − f (ax)] 2 = [f (x) + f (x)] = f (x), ∀x ∈ R Suy nghiệm cần tìm f (x) = [g(x) − g(ax)], ... 12 bậc trung học phổ thông Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phương trình hàm, tơi chọn đề tài luận văn "Phương trình hàm sinh hàm hợp tập số nguyên" Tiếp... sau, luận văn ta xét ánh xạ hàm số xác định nhận giá trị tập hợp số thực 1.2 1.2.1 Đặc trưng hàm tính chất liên quan Khái niệm phương trình hàm Phương trình hàm hiểu phương trình mà hai vế phương. .. LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 Mở đầu Luận văn nhằm cung cấp số dạng toán phương pháp giải phương trình hàm sinh hàm hợp tập số nguyên Chuyên đề nằm chương trình bồi dưỡng HSG lớp THPT phục vụ