TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ********** VÕ THỊ VÂN HÒA TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG) HỌC PHẦN LÝ[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ********** VÕ THỊ VÂN HÒA TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (PHẦN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG) HỌC PHẦN LÝ LUẬN DẠY HỌC TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN Huế, tháng năm 2017 TL-TN-PTĐT Mở đầu Câu hỏi trắc nghiệm khách quan thể nhiều ưu điểm đánh giá khả toán học sinh đo lường trình tư cao hơn, đo lường áp dụng tình tốt so với câu hỏi tự luận Ngồi ra, trắc nghiệm khách quan cịn cung cấp đơn vị kiến thức diện rộng, tương đối đủ phù hợp với mục tiêu giáo dục tốn Vì vậy, việc chuyển từ câu hỏi truyền thống sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan phát huy ưu điểm trên, đồng thời hạn chế khuyết điểm câu hỏi truyền thống Một số toán minh họa Bài 1: Cho tam giác 𝑨𝑩𝑪, 𝑴(𝟏; 𝟐), 𝑵(𝟎; 𝟐), 𝑷(𝟐; 𝟑) trung điểm 𝑨𝑩, 𝑩𝑪, 𝑪𝑨 Tìm tọa độ đỉnh tam giác Giải: Cách 1: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 đường trung bình tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có: 𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶 𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵 𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃 = (1; 1) 𝑛𝐵𝐶 = (−1; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 𝑁𝑀 𝑛𝐴𝐶 = (0; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑁 = (−2; −1) 𝑛𝐴𝐵 = (1; −2) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Phương trình tổng quát đường thẳng 𝐵𝐶 qua 𝑁(0; 2) nhận ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝐵𝐶 = (−1; 1) làm vector pháp tuyến là: −𝑥 + 𝑦 − = Phương trình tổng quát đường thẳng 𝐴𝐵 qua 𝑀(1; 2) nhận ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝐴𝐵 = (1; −2) làm vector pháp tuyến là: 𝑥 − 2𝑦 + = Phương trình tổng quát đường thẳng 𝐴𝐶 qua 𝑃(2; 3) nhận 𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = (0; 1) làm vector pháp tuyến là: 𝑦 − = Vì 𝐴 giao điểm 𝐴𝐵 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐴 nghiệm hệ 𝑥 − 2𝑦 + = 𝑥=3 ⇔{ { 𝑦=3 𝑦−3=0 VÕ THỊ VÂN HỊA TL-TN-PTĐT Vậy 𝐴(3; 3) Vì 𝐵 giao điểm 𝐴𝐵 𝐵𝐶 nên tọa độ điểm 𝐵 nghiệm hệ 𝑥 − 2𝑦 + = 𝑥 = −1 ⇔{ { 𝑦= −𝑥 + 𝑦 − = Vậy 𝐵(−1; 1) Vì 𝐶 giao điểm 𝐵𝐶 𝐴𝐶 nên tọa độ điểm 𝐶 nghiệm hệ −𝑥 + 𝑦 − = 𝑥=1 ⇔{ { 𝑦=3 𝑦−3=0 Vậy 𝐶(1; 3) Cách 2: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 đường trung bình tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có: 𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶, 𝑀𝑃 = 𝑁𝐶 𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵, 𝑃𝑁 = 𝑀𝐵 𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴, 𝑁𝑀 = 𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃 = (1; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐶 ; 𝑦𝐶 − 2) 𝑁𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 𝑁𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐴 − 2; 𝑦𝐴 − 3) 𝑃𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑁 = (−2; −1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = (𝑥𝐵 − 1; 𝑦𝐵 − 2) =1 𝑥 =1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ { 𝑥𝐶 𝑁𝐶 ⇔{ 𝐶 𝑦𝐶 − = 𝑦𝐶 = Vậy 𝐶(1; 3) ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑁𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔ {𝑥𝐴 − = ⇔ {𝑥𝐴 = 𝑃𝐴 𝑦𝐴 − = 𝑦𝐴 = Vậy 𝐴(3; 3) 𝑥 − = −2 𝑥 = −1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑁 ⇔ { 𝐵 ⇔{ 𝐵 𝑦𝐵 − = −1 𝑦𝐵 = Vậy 𝐵(−1; 1) Cách 3: 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ) 𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ) 𝐶(𝑥𝐶 ; 𝑦𝐶 ) 𝑥 + 𝑥𝐵 = (I) { 𝐴 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 𝑥 + 𝑥𝐶 = (II) { 𝐴 𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 = 𝑥 + 𝑥𝐶 = (III) { 𝐵 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 = VÕ THỊ VÂN HÒA TL-TN-PTĐT 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 = 𝑥𝐵 = −1 𝑦𝐵 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐶 = −2 𝑥 = 𝑦 + 𝑦𝐶 = Từ (I), (II), (III), suy 𝐵 ⇔ 𝐶 𝑦𝐵 − 𝑦𝐶 = −2 𝑦𝐶 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 = 𝑥𝐴 = { 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = { 𝑦𝐴 = Vậy 𝐴(3; 3), 𝐵(−1; 1), 𝐶(1; 3) Cách 4: 𝑀𝑃, 𝑃𝑁, 𝑁𝑀 đường trung bình tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên ta có: 𝑀𝑃 ∥ 𝑁𝐶, 𝑀𝑃 = 𝑁𝐶 𝑃𝑁 ∥ 𝑀𝐵, 𝑃𝑁 = 𝑀𝐵 𝑁𝑀 ∥ 𝑃𝐴, 𝑁𝑀 = 𝑃𝐴 Suy 𝐴𝑀𝑁𝑃, 𝐵𝑁𝑃𝑀, 𝐶𝑃𝑀𝑁 hình bình hành ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 1) 𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀 = (−1; −1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 0) 𝑁𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; 0) 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑁 = (−2; −1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝑃 = (2; 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 1; 𝑦 − 2) 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥 − 2; 𝑦 − 3) 𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥; 𝑦 − 2) 𝑁𝐴 Áp dụng quy tắc hình bình hành ta được: 𝑥−1=0 𝑥=1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐶 𝑀𝑃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 ⇔ { ⇔{ 𝑦−2=1 𝑦=3 Vậy 𝐶(1; 3) Tương tự ta tính 𝐴(3; 3), 𝐵(−1; 1) Bài tốn có nhiều cách giải, cách thể hai nội dung kiến thức kỹ thuật giải toán Chẳng hạn, cách dùng kiến thức đường trung bình quy tắc hình bình hành, cách sử dụng quy tắc trung điểm Khi làm toán tự luận này, học sinh lựa chọn giải theo cách định ta kiểm tra kỹ thuật đó, ví dụ cách ta biết học sinh dùng quy tắc trung điểm Trong lúc đó, cịn nhiều kỹ thuật cách giải khác nữa, ví dụ ta muốn kiểm tra kỹ thuật viết phương trình đường thẳng cách 1, kiến thức hai vector cách Ở đây, câu hỏi trắc nghiệm phát huy tác dụng Hoặc là, trường hợp cách 1, 2, 4, học sinh cần sử dụng tính chất đường trung bình Nếu khơng nhớ nhầm lẫn tính chất học sinh khơng thể làm VÕ THỊ VÂN HỊA TL-TN-PTĐT tiếp tốn được, ta khơng thể biết học sinh có làm kỹ thuật, kiến thức phần sau hay không Trắc nghiệm khách quan cho ta hội tìm phần tốn học sinh Tận dụng bốn cách giải trên, ta đặt câu hỏi trắc nghiệm tương ứng nhằm kiểm tra nhiều kiến thức, kỹ thuật Cụ thể, ta có câu hỏi trắc nghiệm sau Những câu hỏi trắc nghiệm tương ứng Câu 1: Đường thẳng qua trung điểm hai cạnh tam giác có tính chất sau đây? A Định hai cạnh đoạn thẳng B Có độ dài nửa cạnh thứ ba C Là đường trung tuyến tam giác D Song song với cạnh thứ ba Để chọn đáp án D, học sinh cần biết định nghĩa tính chất đường trung bình Phương án A, B, C gây nhiễu cho học sinh không học kĩ kiến thức, nhớ mang máng tính chất Câu 2: Cho đường thẳng 𝑑 có vectơ phương 𝑢 ⃗ = (−2; −1) Hãy tìm vectơ pháp tuyến A 𝑛⃗ = (−2; 4) B 𝑛⃗ = (−4; −2) C 𝑛⃗ = (−1; −2) D 𝑛⃗ = (1; 2) Để chọn đáp án A, học sinh phải biết quy tắc đổi tọa độ vector phương sang vector pháp tuyến lưu ý 𝑛⃗ vector pháp tuyến 𝑘𝑛⃗ vector pháp tuyến Phương án C, D gây nhiễu cho học sinh cách đổi tọa độ vector phương sang vector pháp tuyến, nhầm dấu Câu 3: Phương trình sau phương trình tổng quát đường thẳng 𝑑 qua điểm 𝑀(1; 2) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (1; −2)? A 2𝑥 + 𝑦 − = B 𝑥 − 2𝑦 + = C 𝑥 + 2𝑦 + = D 2𝑥 − 𝑦 = Để chọn đáp án B, học sinh phải biết viết phương trình tổng quát đường thẳng VÕ THỊ VÂN HÒA TL-TN-PTĐT Phương án C gây nhiễu cho học sinh nhầm lẫn điểm vector, phương án A gây nhiễu cho học sinh nhầm lẫn vector pháp tuyến vector phương Câu 4: Giả sử 𝐼 giao điểm 𝑑: 𝑥 − 2𝑦 + = 𝑙: −𝑥 + 𝑦 − = Tìm tọa độ điểm 𝐼 A 𝐼(1; 3) B 𝐼(1; 2) C 𝐼(−1; 1) D Không tồn 𝐼 Để chọn đáp án C, học sinh phải biết vị trí tương đối hai đường thẳng kỹ giải hệ phương trình Phương án A, B gây nhiễu cho học sinh sử dụng phương pháp tọa độ điểm vào phương trình, học sinh đưa kết luận vội vàng tọa độ điểm thỏa phương trình Câu 5: Hai vector sau hai vector nhau? B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑁 A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝐶 C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝑀 Để chọn đáp án A, học sinh phải biết kiến thức vector điều kiện để hai vector Phương án B, C, D gây nhiễu học sinh chưa hiểu điều kiện để hai vector phải hướng (phương án B, D) độ dài (phương án C) Câu 6: Cho 𝑀 trung điểm 𝐴𝐵, biểu thức tọa độ sau biểu diễn đúng? 𝑥 +𝑥 =𝑥 𝑥 + 𝑥𝐵 = 2𝑥𝑀 2𝑥 + 2𝑥𝐵 = 𝑥𝑀 𝑥 + 𝑥𝑀 = 2𝑥𝐵 A.{𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 𝑦𝑀 B.{ 𝐴 C.{ 𝐴 D.{ 𝐴 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 = 2𝑦𝑀 2𝑦𝐴 + 2𝑦𝐵 = 𝑦𝑀 𝑦𝐴 + 𝑦𝑀 = 2𝑦𝐵 𝐴 𝐵 𝑀 Để chọn đáp án B, học sinh cần biết biểu thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng Phương án A, C gây nhiễu cho học sinh không nhớ nhớ mang máng biểu thức tọa độ, học sinh nhầm lẫn vị trí điểm chọn phương án D VÕ THỊ VÂN HÒA TL-TN-PTĐT Câu 7: Cho 𝑀𝑁𝑃𝑄 hình bình hành Biểu thức vector sau đúng? A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑃 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑄 = ⃗0 B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑄 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0 C 𝑀𝑁 𝑀𝑄 − 𝑀𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D 𝑀𝑁 𝑀𝑄 = 2𝑀𝑃 Để chọn đáp án C, học sinh cần hiểu quy tắc hình bình hành Phương án A, B, D gây nhiễu cho học sinh khơng hiểu quy tắc hình bình hành, nhầm lẫn quy tắc trung điểm (phương án D) hay quy tắc trọng tâm (phương án A), áp dụng sai quy tắc ba điểm (phương án B) Tóm lại, để làm câu trắc nghiệm khách quan, học sinh cần nắm vững kiến thức kỹ tính tốn bản, điều giúp em hạn chế sa vào phương án nhiễu, tiết kiệm thời gian làm hiệu kiểm tra cao Bài 2: Cho hình bình hành có tọa độ đỉnh (𝟒; 𝟎) Biết phương trình đường thẳng chứa hai cạnh 𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟎 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟐 = 𝟎 Tìm tọa độ ba đỉnh cịn lại hình bình hành Giải: Gọi 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 bốn đỉnh hình bình hành Vì 𝐶 giao điểm 𝐵𝐶 𝐷𝐶 nên tọa độ điểm 𝐶 nghiệm hệ 𝑥 − 3𝑦 =0 𝑥 = −6 ⇔{ { 𝑦 = −2 2𝑥 − 5𝑦 + = Vậy 𝐶(−6; −2) Trước bắt tay vào giải tốn này, học sinh cần vẽ hình để xác định vị trí điểm đường thẳng mà đề cho Học sinh chọn cách vẽ kiện hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦 Nhưng thật thời gian phải thật xác Thay vào đó, học sinh xét xem điểm (4; 0) có nằm đường thẳng 𝑥 − 3𝑦 = 2𝑥 − 5𝑦 + = hay khơng đường thẳng có cắt hay khơng, từ xác định vị trí điểm, đường thẳng ứng với phần hình bình hành Tiếp tục tốn, ta giải theo cách sau VÕ THỊ VÂN HÒA ... giáo dục tốn Vì vậy, việc chuyển từ câu hỏi truyền thống sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan phát huy ưu điểm trên, đồng thời hạn chế khuyết điểm câu hỏi truyền thống Một số toán minh họa Bài 1:... Mở đầu Câu hỏi trắc nghiệm khách quan thể nhiều ưu điểm đánh giá khả tốn học sinh đo lường q trình tư cao hơn, đo lường áp dụng tình tốt so với câu hỏi tự luận Ngồi ra, trắc nghiệm khách quan cịn... Trắc nghiệm khách quan cho ta hội tìm phần tốn học sinh Tận dụng bốn cách giải trên, ta đặt câu hỏi trắc nghiệm tương ứng nhằm kiểm tra nhiều kiến thức, kỹ thuật Cụ thể, ta có câu hỏi trắc nghiệm