SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Thời gian: 90 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Giải phương trình sau tập số thực: x 4 x x 4 x x 1 4 x x 5 Lời giải 2 x 2 x Điều kiện: 2 x4 x x x x Ta có x 4 x x 4 x x 1 4 x x 5 x 1 x x 1 x x x x x x 16 x x x x x 3x 11 0.(1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta x x 16 x x x x x x 16 x 1 x x 3x 11 2 x 3x 11 x 10 x 33x 36 x x 3 0, x 2; 4 2 Như vế trái (1) nhỏ Do phương trình có nghiệm x x x 1 x 4 x x 4 x Thử lại ta kết luận phương trình có nghiệm nhất: x Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho số nguyên tố thỏa mãn p1 p2 p3 p4 p4 p1 Giả sử p1 Chứng minh p1 chia 30 dư 11 Lời giải Từ giả thiết p2 , p3 nhận hai ba giá trị p1 2; p1 4; p1 6 p2 Trường hợp 1: p3 Điều vơ lí p2 Trường hợp 2: p3 Điều vơ lí p1 p1 p1 p1 ba số p1 , p2 , p3 có số chia hết cho ba số p2 , p3 , p4 có số chia hết cho p1 mod 3 Do p2 p1 2, p3 p1 6, p4 p1 Từ suy ra: p1 1 mod Kết hợp với p1 lẻ ta suy p1 11 mod 30 tức ta có điều cần phải chứng minh 1 (2n 1) Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho dãy số un với un Tính lim un (2n 2) Lời giải Ta có 1.3 3.5 5.7 … 2n (2n 1) 2n 3 Do 2.4.6 (2n 2) 12.32.52 (2n 1) (2n 3) 1.3.5 (2n 1) 2n Suy (2n 1) un (2n 2) 2n Áp dụng nguyên lý kẹp, lim nên lim un 2n Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Một hàng bưởi Tân Uyên gồm 17 thẳng hàng đánh số theo thứ tự số tự nhiên từ đến 17 Ban đầu có ong đậu để hút mật hoa Sau đó, có hai ong bay sang hai bên cạnh để tìm hút mật theo hai chiều ngược Hỏi sau số giờ, có hay khơng trường hợp mà: a) Khơng có ong có thứ tự chẵn b) Có ong cuối Lời giải a) Khơng có ong có thứ tự chẵn Có thể xảy trường hợp Chẳng hạn, sau thứ ong thứ chuyển sang thứ 3, ong thứ chuyển sang thứ 3, Sau thứ 4, ong 14 chuyển sang 15, ong 16 chuyển sang thứ 15 Lúc khơng cịn ong có thứ tự chẵn b) Có ong cuối Đánh số ong vị trí bưởi mà đậu Gọi S tổng tất 17 ong Ban đầu ta có S i 153 i 1 Khi ong bay sang bên cạnh, bay hướng số 1, trị số gán ong giảm 1; ngược lại, bay hướng số 17, trị số gán ong tăng thêm Do sau có hai ong bay sang bên cạnh ngược hướng nên S const Vậy có ong cuối S 153 (điều vơ lí) Cho nên ta kết luận xảy trường hợp Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho a, b, c 1;1 thỏa mãn 2abc a b c Chứng minh a 3b 3c a b c Lời giải Đầu tiên ta có: 2abc a b c 1 a 1 b (ab c) (*) 2 2 Ta lại có: 2a 3b3c3 a b6 c a b a 3b3 c a b6 (ab c)2 a 2b abc c Trang 2/5 – Diễn đàn giáo viên Toán Bất đẳng thức vừa phân tích ln a 2b abc c a 2b | ab | 1 a a2 1 b4 b 1 Kết hợp với (*) ta có (ab c)2 a 2b abc c 1 a 1 b a 2 a2 b4 b2 a6 b6 Suy ra: a b6 (ab c )2 a b2 abc c bất đẳng thức Do bất đẳng thức ban đầu đúng, ta có điều phải chứng minh Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O Đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M N Chứng minh S BCD BD S AMN AC Lời giải Đầu tiên ta có hình vẽ sau Qua C kẻ CF AB với F AD DBC FAC S BD Ta có: AFC BCD g g BCD (1) BDC S AFC AC ACF BAC S AMN AM AN sin BAD S AM AN Lại có: (2) AMN S AFC AF AC S AF AC sin BAD AFC 2 S BD AF AC Từ (1) (2) suy BCD (3) S AMN AC AM AN S BCD BD Tiếp theo ta có: , kết hợp với (3) ta có: AM AN AF AC S AMN AC AM AN AN AF AN AF FC FN AN AF FN AF FN AF FN Bất đẳng thức AF FN AF FN theo bất đẳng thức AM - GM nên ta suy điều phải chứng minh Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021-2022] Cho tam giác ABC có I tâm đường tròn nội tiếp Gọi M , N , P điểm nằm cạnh BC , CA, AB cho AN AP BP BM CM CN Gọi X , Y , Z tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANP , BPM , CMN Chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ Lời giải Đầu tiên ta có hình vẽ sau: Ta gọi D, E , F hình chiếu I lên BC , CA, AB Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ID IE IF AE AF ; BF BD; CD CE Ta có: AN AP BP BM CM CN AE EN AF PF BF FP BD MD CD DM CE EN AF EN AF PF BD FP BD MD CE DM CE EN EN PF PF MD MD EN Suy EN PF MD mà ID IE IF nên IEN IFP IDM IM IN IP tức I tâm đường tròn ngoại tiếp MNP Tiếp theo, ta gọi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng với M , N , P qua D, E , F Khi ta suy AC1 AN , AB1 AP Chứng minh tương tự hai phần lại ta suy IC1B IMB IC1 IM Tương tự ta có: IN IC1 IM IN IC1 Chứng minh tương tự ta có: IN IP IA1 ; IM IP IB1 mà IM IN IP nên suy điểm M , N , P, A1 , B1 , C1 đồng viên Gọi H hình chiếu I lên MN Ta có: EH A1 N B1M DH E , H , D thẳng hàng (theo tiên đề Euclid) Suy E , H , D tạo thành điểm Simpson MCN I MCN Chứng minh tương tự ta hồn tồn có ngay: I ANP , I MBP Suy ba điểm I , X , A, I , Y , B, I , Z , C thẳng hàng Tiếp theo ta xét bổ đề sau: Cho tam giác có tâm đường trịn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp tam giác Gọi điểm cung chứa , tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Chứng minh bổ đề: Ta có: (tính chất góc ngồi) mà chất phân giác) nên ta suy ra Mặt khác , suy mà khơng (tính nên ta suy nên ta suy tức tam giác cân (1) Mà điểm cung không chứa nên (2) Nên từ (1) (2) ta suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IM IN IZ Áp dụng bổ đề vừa nêu trên, suy IN IP IX mà IM IN IP nên từ ta suy IP IM IY IX IY IZ tức I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ HẾT ... lim un 2n Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021- 2022] Một hàng bưởi Tân Uyên gồm 17 thẳng hàng đánh số theo thứ tự số tự nhiên từ đến 17 Ban đầu có ong đậu để hút mật hoa Sau đó, có hai ong bay sang hai... mật theo hai chiều ngược Hỏi sau số giờ, có hay khơng trường hợp mà: a) Khơng có ong có thứ tự chẵn b) Có ong cuối Lời giải a) Khơng có ong có thứ tự chẵn Có thể xảy trường hợp Chẳng hạn, sau thứ... trị số gán ong tăng thêm Do sau có hai ong bay sang bên cạnh ngược hướng nên S const Vậy có ong cuối S 153 (điều vơ lí) Cho nên ta kết luận xảy trường hợp Câu [HSG-BÌNH DƯƠNG 2021- 2022] Cho