Thế tương tác coulomb trong lớp ba graphene

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08 2019) 82 THẾ TƢƠNG TÁC COULOMB TRONG LỚP BA GRAPHENE  Nguyeãn Vaên Meän(*) Toùm taét Thế tương tác Coulomb có đóng góp đáng kể vào các đặc[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 39 (08-2019) THẾ TƢƠNG TÁC COULOMB TRONG LỚP BA GRAPHENE  Nguyễn Văn Mện(*) Tóm tắt Thế tương tác Coulomb có đóng góp đáng kể vào đặc tính quan trọng hệ nhiều hạt mang điện Bài báo nhằm xác định biểu thức giải tích tương tác Coulomb điện tử cấu trúc lớp cấu tạo từ ba lớp graphene song song nhau, ngăn cách lớp điện môi khác cách giải phương trình Poisson Kết giải tích khảo sát số cho thấy hàm Coulomb không gian xung lượng chịu ảnh hưởng mạnh không đồng điện môi Thế Coulomb xuyên lớp giảm nhanh theo vector sóng khoảng cách lớp nội lớp bị ảnh hưởng yếu phụ thuộc vào môi trường xung quanh lớp graphene lân cận Từ khóa: Thế tương tác Cloulomb, graphene, điện mơi khơng đồng Giới thiệu Bài tốn hệ nhiều hạt tương tác toán quan trọng vật lý đại việc giải toán loại giúp giải nhiều tốn quan trọng khác, giúp xác định đặc tính quan trọng hệ khảo sát Tương tác Coulomb loại tương tác có cường độ lớn bỏ qua hệ nhiều hạt mang điện Đặc biệt hơn, cấu trúc lớp Coulomb xem chủ yếu, đóng góp đáng kể vào nhiều đặc trưng cấu trúc lượng trạng thái bản, điện trở Coulomb drag, kích thích tập thể … Việc xác định biểu thức tường minh tương tác Coulomb hệ sở để xác định đặc trưng hệ Thế Coulomb bắt nguồn từ tương tác tĩnh điện điện tích điểm, tuân theo định luật Coulomb có biểu thức đơn giản hệ hai điện tích, xác định sử dụng từ lâu toán vật lý Tuy nhiên, hệ gồm số lớn hạt đồng phân bố tập trung vùng không gian hẹp cấu trúc lớp biểu thức thế, cần xác định không gian xung lượng cho tiện sử dụng, không đơn giản Vấn đề phức tạp hệ có chứa graphene – cấu trúc gồm lớp nguyên tử với hàm phân bố dạng hàm delta Dirac Trong graphene đơn lớp, tương tác Coulomb xác định hàm tỷ lệ nghịch với vector sóng số điện mơi trung bình bao bọc lớp graphene Kết (*) Trường Đại học An Giang 82 sử dụng để xác định tính chất khác graphene kích thích tập thể, hệ số dẫn quang, tốc độ sóng âm… [3], [14] Trong cấu trúc graphene nhiều lớp có điện mơi đồng nhất, ngồi tương tác Coulomb nội lớp (có dạng giống graphene đơn lớp) Coulomb xuyên lớp, đặc trưng cho tương tác điện tử hai lớp khác nhau, có xuất hàm lũy thừa âm số tự nhiên khoảng cách hai lớp vector sóng [4], [15], [16] Các hàm giảm nhanh khoảng cách hai lớp vector sóng tăng lên lại có đóng góp đáng kể vùng sóng dài khoảng cách hai lớp nhỏ nên gây nhiều đặc tính lạ cho cấu trúc lớp đôi so với lớp đơn cấu thành [4], [13], [15], [16] Đối với hệ gồm hai lớp graphene ngăn cách lớp điện môi khác nhau, biểu thức tương tác Coulomb xác định nhờ việc giải phương trình Poisson có dạng phức tạp theo vector sóng, khoảng hai lớp Badalyan cộng công bố sử dụng [1] Sau đó, tương tác cho hệ loại nhóm nghiên cứu Nguyễn Quốc Khánh sử dụng để xác định phổ kích thích tập thể tính chất khác lớp đôi [5], [6], [10] Biểu thức tương tác Coulomb cấu trúc lớp đôi gồm lớp graphene lớp khí điện tử hai chiều với điện mơi khơng đồng tính tốn sử dụng để tính điện trở Coulomb drag, tần số plasmon tốc độ phân rã plasmon [7], [8], [11], [12] Cấu trúc gồm nhiều lớp graphene Zhu cộng nghiên cứu với điện môi đồng [17] Theo tìm hiểu tác giả, hệ ba lớp Tạp chí Khoa học số 39 (08-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP graphene có điện mơi khơng đồng chưa thấy có cơng bố khoa học công bố trước cho thấy có khác biệt đáng kể biểu thức tương tác Coulomb từ dẫn tới khác biệt đặc tính điện hệ khơng đồng so với hệ đồng mang thông số đặc trưng [1], [5], [7], [8], [9], [11] Chính vai trị quan trọng tương tác Coulomb không đồng điện môi đặc tính cấu trúc lớp, báo nhằm xác định tương tác Coulomb cho điện tử cấu trúc gồm ba lớp graphene, ngăn cách lớp điện môi khác nhau, làm sở cho việc xác định đặc tính khác cấu trúc loại Các biểu thức giải tích Coulomb nội lớp xuyên lớp xác định từ nghiệm phương trình Poisson khơng gian xung lượng Lý thuyết Lớp ba graphene với số điện môi không đồng có cấu tạo mơ tả Hình Ba lớp graphene song song song song với mặt phẳng Oxy, cách khoảng cách d, vị trí z  , z  d z  2d trạng thái điện tử lớp graphene Các hàm có dạng: 1  z     z  , (2) 2  z     z  d  , (3) 3  z     z  2d  (4) 2 Lần lượt thay phương trình (2), (3), (4) vào phương trình (1) với ý tính chất hàm delta Dirac ta biểu thức Coulomb nội lớp xuyên lớp không gian xung lượng là: (5) U11  q   e  q,0,0  , U 22  q   e  q, d , d  , U33  q   e  q,2d ,2d  , U12  q   U 21  q   e  q,0, d  , U13  q   U31  q   e  q,0,2d  , U 23  q   U32  q   e  q, d ,2d  (6) (6) (7) (8) (9) Để tìm dạng tường minh biểu thức tương tác ta cần xác định dạng tường minh hàm   q, z, z Hàm   q, z, z  ảnh Fourrier hàm      , z, z  , hàm biểu thị tương tác hai phần tử điện tích    vị trí z z  không gian Hàm      , z, z nghiệm phương trình Poisson [13]    z       , z, z   4 e        z  z  (10) Hàm   z  số điện mơi dọc Hình Lớp ba graphene với bốn lớp điện mơi có số điện môi khác Thế tương tác Coulomb không gian xung lượng xác định biểu thức [13]:   U ij  q   e  dz  dz  q , z, z   i  z   j  z    2 (1)  với i, j  1,2,3 số cho lớp graphene Các hàm i , j  z  hàm sóng xác định theo trục Oz Với hệ Hình 1, hàm xác định z0 1 ,  , 0 zd    z   (11) d  z  2d  ,  , z  2d Sử dụng phép biến đổi Fourier cho hàm  ta dẫn tới phương trình [13] d  q, z , z    d    z      z  q   q, z, z    4 e  z  z   (12) dz  dz  Giải phương trình (12) với hàm   z  xác định từ phương trình (11) ta thu hàm  ứng với trường hợp khác 83 Tạp chí Khoa học số 39 (08-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP thay vào phương trình (5)-(9) ta thu biểu thức tương tác Coulomb Kết thảo luận Việc xác định nghiệm phương trình (12) nhằm mục đích tìm tương tác U ij  q  phương trình (5)-(9) nên ta cần tìm nghiệm ứng với ba trường hợp sau:  Trường hợp ( z  , ứng với điện tử lớp graphene 1): nghiệm (12) là:  A1e qz , z0  qz  qz 0 zd  A e  A3e ,   q, z,0    qz (13)  qz d  z  2d  A4 e  A5e ,   qz z  2d  A6 e , Để xác định số A1  A6 phương trình (13), ta sử dụng điều kiện liên tục hàm  , đạo hàm hàm  gián đoạn hữu hạn đạo hàm hàm  z  z  [2]:  A1  A2  A3  qd  qd qd  qd  A2 e  A3e  A4 e  A5 e  A e qd  A e 2 qd  A e 2 qd  (14)  A   A   A  q  4 e 1  2  A2 e qd  A3e  qd   A4 eqd  A5e  qd   A e qd  A e 2 qd   A e 2 qd  Hệ phương trình (14) cho phép ta xác định hệ số Ai hàm   q        + Trường hợp ( z  d z  2d , ứng với điện tử lớp graphen thứ hai thứ ba): dạng nghiệm giống (13) hệ phương trình xác định hệ số (thay A ta ký hiệu B C) có khác đạo hàm gián đoạn z  d z  2d [2]:  B1  B2  B3  qd  qd qd  qd  B2 e  B3e  B4 e  B5e  B e qd  B e 2 qd  B e 2 qd (15)   B2   B3  1 B1    B4 e qd  B5e  qd   B2 e qd  B3e  qd  q  4 e    B e qd  B e 2 qd   B e 2 qd    Và 84     C1  C2  C3  qd  qd qd  qd C2 e  C3e  C4 e  C5e C e qd  C e 2 qd  C e 2 qd  (16)  2C2   2C3  1C1   C4 e qd  C5e  qd   C2 e qd  C3e  qd     4C6 e 2 qd   C4 e qd  C5e 2 qd  q  4 e         Giải hệ phương trình (14)-(16) để hệ số Ai , Bi , Ci ( i  1,2, ,6 ) thay vào biểu thức hàm  Biểu thức tương tác (5)-(9) viết lại thành: (17) U11  q   eA1 ,   U 22  q   e B2eqd  B3e qd , (18) U 33  q   eC6e2 qd , (19) U12  q   U 21  q   eB1 , (20) U13  q   U31  q   eC1 , (21)   U 23  q   U 32  q   e C2eqd  C3e qd (22) Các tính tốn chi tiết cho thấy, biểu thức Coulomb cho lớp ba graphene có dạng: 2 e2 U ij  q   fij  q  , (23) q đó:         2     e         e  (24) f q   , qd 3 f 22  q   3 qd 3 N  qd  11 8e2 qd 1 cosh  qd    sinh  qd    cosh  qd    sinh  qd   N  qd  ,       1   2     e2 qd  1        e4 qd  f33  q    , N  qd  f12  q   f 21  q   8 e2 qd  cosh  qd    sinh  qd   N  qd  f13  q   f31  q   f32  q   f 23  q   , 8 2 3e2 qd , N  qd  8 3e2 qd  cosh  qd   1 sinh  qd   N  qd  (25) (26) (27) (28) (29) Với N  x   1            2e2 x    1   2   (30) e4 x 1           Các biểu thức tương tự cho lớp đôi graphene Badalyan Peeters công bố [1] Thế tương tác Coulomb nội lớp (intra-layer), xác định từ biểu thức (24)-(26), bị ảnh hưởng số điện mơi mơi trường TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP xung quanh lớp graphene lân cận không chịu ảnh hưởng nhiều vector sóng q khoảng cách hai lớp d (do tử số mẫu số chứa lũy thừa số tự nhiên bậc) Trong đó, tương tác Coulomb xuyên lớp (interlayer) bị ảnh hưởng mạnh tích qd (do chứa thừa số lũy thừa số tự nhiên mẫu số có bậc lớn so với tử số) nhận thấy từ biểu thức (27)-(29) Hình Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) xuyên lớp (b) lớp ba graphene với điện môi không đồng Các tham số sử dụng d  20 nm , n  1011 cm2 , 1  SiO3  3,8 ,   3   Al2O3  9,1 ,   air  1,0 Hình biểu diễn hàm tương tác hàm theo vector sóng q Trong hình vẽ, U  2 e2 k F vector sóng Fermi graphene, n mật độ hạt tải graphene Các số điện môi sử dụng 1  SiO2  3,8,   3   Al2O3  9,1, Tạp chí Khoa học số 39 (08-2019) hai giá trị khoảng cách lớp khác d  20 nm d  50 nm Kết cho thấy, hai khoảng cách lớp khác nhau, đồ thị hàm U ii  q  nằm gần đồ thị hàm U ij  q  tách làm hai nhóm rõ rệt Điều chứng tỏ hàm U ij  q  phụ thuộc mạnh vào khoảng cách lớp so với hàm U ii  q  nhận định từ biểu thức giải tích Đối với hệ có điện mơi đồng nhất, ta thay 1    3     vào biểu thức (23)-(30) thu được: 2 e2  i  j qd U ij  q   e (31) q Biểu thức (31) tương tác Coulomb Zhu cộng sử dụng để tính phổ kích thích tập thể cho hệ gồm nhiều lớp graphene có điện mơi đồng [17] Để có so sánh chi tiết hơn, Hình vẽ đồ thị hàm với điện môi đồng không đồng Hệ đồng sử dụng số điện môi trung bình số điện mơi hai lớp xung quanh hệ (     1    /  2,4 )    air  1,0 [13] Các Hình 2(a) 2(b) cho thấy, tương tác nội lớp có giá trị lớn đáng kể so với tương tác xuyên lớp giá trị vector sóng, khoảng cách lớp mật độ hạt tải Hình Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) xuyên lớp (b) lớp ba graphene với điện môi đồng không đồng Các tham số sử dụng d  20 nm, n  1011 cm2 , 1  SiO3  3,8,   3   Al2O3  9,1,   air  1,0 Hệ đồng so sánh có số điện mơi trung bình     1    /  2, Hình Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) xuyên lớp (b) lớp ba graphene với điện môi không đồng Các tham số sử dụng d  20 nm d  50 nm , n  1011 cm2 , 1  SiO3  3,8,   3   Al2O3  9,1,   air  1,0 Để tìm hiểu kỹ ảnh hưởng khoảng cách lớp Coulomb tìm được, Hình 3(a) 3(b) vẽ với Hình 4(a) cho thấy, hệ đồng nhất, Coulomb nội lớp lớp graphene biểu diễn đường liền nét đậm Trong đó, hàm có giá trị khác đáng kể hệ không đồng chúng phụ thuộc khác vào số điện môi môi trường Sự khác biệt xảy nhiều U 22  q  lớp graphene nằm cách xa hai lớp điện môi bao bọc hệ ( 1  ) 85 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Hình 4(b) cho thấy tương tác Coulomb xuyên lớp hệ không đồng có giá trị khơng khác nhiều Trong hệ đồng nhất, hàm U12  q  U 23  q  có giá trị (đường liền nét đậm) U13  q  nhận giá trị nhỏ nhiều giảm nhanh theo vector sóng (đường chấm gạch) Kết luận Bài báo sử dụng phương trình Poisson để tìm biểu thức giải tích tương tác Coulomb nội lớp xuyên lớp không gian xung lượng cấu trúc gồm ba lớp graphene ngăn cách lớp điện mơi khác Kết tính tốn cho thấy tương tác nội lớp bị tác động điện môi bao bọc lớp graphene lân cận, nhận giá Tạp chí Khoa học số 39 (08-2019) trị khác nhiều lớp graphene chịu tác động khoảng cách lớp Trong đó, Coulomb xuyên lớp giảm nhanh theo vector sóng khoảng cách lớp Cả tương tác nội lớp xuyên lớp bị ảnh hưởng đáng kể không đồng số điện mơi hệ Các kết giải tích Coulomb báo sử dụng để khảo sát đặc tính quan trọng khác điện trở Coulomb drag, tính chất vận chuyển phổ kích thích tập thể hệ Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.012017.23./ Tài liệu tham khảo [1] Badalyan, S M and Peeters, F M (2012), “Effect of nonhomogenous dielectric background on the plasmon modes in graphene double-layer structures at finite temperatures”, Physical Review B, (85), p 195444 [2] Chow T (2003), Mathematical Methods for Physicists: A concise introduction, Cambridge University Press, Virtual Publishing [3] Hwang, E H and Sarma, S D (2007), “Dielectric function, screening, and plasmons in 2D graphene”, Physical Review B, (75), p 205418 [4] Hwang, E H and Sarma, S D (2009), “Exotic plasmon modes of double layer graphene”, Phys Rev B, (80), p 205405 [5] Nguyen Quoc Khanh and Nguyen Van Men (2018), “Plasmon modes in bilayer-monolayer graphene heterostructures”, Physica Status Solidi (b), https://doi.org/10.1002/pssb.201700656 [6] Dang Khanh Linh and Nguyen Quoc Khanh (2018), “Electrical conductivity of bilayergraphene double layers at finite temperature”, Superlattices and Microstructures, (114), p 406-415 [7] Nguyen Van Men and Nguyen Quoc Khanh (2018), “Plasmon modes in Dirac/Schrödinger hybrid electron systems including layer-thickness and exchange-correlation effects”, Canadian Journal of Physics, (96), p.615-621, dx.doi.org/10.1139/cjp-2017-0542 [8] Nguyen Van Men and Nguyen Quoc Khanh (2017), “Plasmon modes in graphene-GaAs heterostructures”, Physics Letters A, (381), p 3779 [9] Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh and Dong Thi Kim Phuong (2019), “Plasmon modes in MLG-2DEG heterostructures: Temperature effects”, Physics Letters A, (383), p 1364-1370 [10] Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh and Dong Thi Kim Phuong (2019), “Plasmon modes in double bilayer graphene heterostructures”, Solid State Communications, (294), p 43-48 [11] Nguyen Van Men and Dong Thi Kim Phuong (2018), “Plasmon modes in bilayer-graphene - GaAs heterostructures including layer-thickness and exchange-correlation effects”, International Journal of Modern Physics B, 32(23), p 1850256 [12] Principi, A., Carrega, M., Asgari, R., Pellegrini, V., and Polini, M (2012) “Plasmons and Coulomb drag in Dirac/Schrödinger hybrid electron systems”, Physical Review B, (86), p 085421 86 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 39 (08-2019) [13] Scharf, B and Matos-Abiague, A (2012), “Coulomb drag between massless and massive fermions”, Physical Review B, (86), p 115425 [14] Hồ Sỹ Tá (2017), Các đặc trưng plasmon tính chất động lực học hệ điện tử graphene, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Việt Nam [15] Dinh Van Tuan and Nguyen Quoc Khanh (2013), “Plasmon modes of double-layer graphene at finite temperature”, Physica E, (54), p 267-272 [16] Vazifehshenas, T., Amlaki, T., Farmanbar, M., and Parhizgar, F (2010), “Temperature effect on plasmon dispersions in double-layer graphene systems”, Physics Letters A, (374), p 4899-4903 [17] Zhu J J., Badalyan S M., Peeters F M (2013), “Plasmonic excitations in Coulomb coupled N-layer graphene structures”, Physical Review B, (87), p 085401 COULOMB BARE INTERACTION IN THREE-LAYER GRAPHENE Summary The Coulomb bare interaction has significant contributions to important characters of charged multibody systems This paper is to determine the analytical expressions for Coulomb interactions between electrons in a structure made up of three parallel monolayer graphene sheets, separated by different dielectric layers via solving Poisson equations Analytical and numerical results show that Coulomb potential functions in momentum space are affected strongly by the inhomogeneity of dielectric background Inter-layer Coulomb potentials decrease remarkably with an increase in wave vector q and separated distance d, while intra-layer ones are only weak functions of q and d, and depend on the environment around other graphene sheets Keywords: Coulomb bare interaction, graphene, inhomogeneous background dielectric Ngày nhận bài: 26/3/2019; Ngày nhận lại: 11/7/2019; Ngày duyệt đăng: 15/7/2019 87 ... tích tương tác Coulomb nội lớp xuyên lớp không gian xung lượng cấu trúc gồm ba lớp graphene ngăn cách lớp điện môi khác Kết tính tốn cho thấy tương tác nội lớp bị tác động điện môi bao bọc lớp graphene. .. (08-2019) trị khác nhiều lớp graphene chịu tác động khoảng cách lớp Trong đó, Coulomb xuyên lớp giảm nhanh theo vector sóng khoảng cách lớp Cả tương tác nội lớp xuyên lớp bị ảnh hưởng đáng kể... Chính vai trị quan trọng tương tác Coulomb không đồng điện môi đặc tính cấu trúc lớp, báo nhằm xác định tương tác Coulomb cho điện tử cấu trúc gồm ba lớp graphene, ngăn cách lớp điện môi khác nhau,