PowerPoint Presentation ÔN TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐÔN TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG CÁC GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Ta có thể phân theo 2 nhóm lớn như sau (phân theo giới hạn t[.]
ÔN TẬP GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A A CÁC CÁCKIẾN KIẾNTHỨC THỨCTRỌNG TRỌNGTÂM: TÂM: I.I Một Mộtsố sốgiới giớihạn hạncơ cơbản bảncủa củahàm hàmsố sốcần cầnnhớ nhớ II II.Các Cácđịnh địnhlí, lí,quy quytắc tắcvề vềgiới giớihạn hạncủa củahàm hàmsố số B B.HỆ HỆTHỐNG, THỐNG,PHÂN PHÂNNHÓM, NHÓM,DẠNG DẠNG CÁC CÁCGIỚI GIỚIHẠN HẠNCỦA CỦAHÀM HÀMSỐ SỐTHƯỜNG THƯỜNGGẶP GẶP Ta Tacó cóthể thểphân phântheo theo22nhóm nhómlớn lớnnhư nhưsau: sau:(phân (phântheo theogiới giớihạn hạntại tạiđâu? đâu? Sau Sauđó đóphân phântheo theokết kếtquả quảcủa củagiới giớihạn) hạn) I.I.Nhóm Nhómgiới giớihạn hạncủa củahàm hàmsố sốtại tại11điểm: điểm:lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x) x x0 II II.Nhóm Nhómgiới giớihạn hạncủa củahàm hàmsố sốtại tạivơ vơcực: cực: xlim C C.MỘT MỘTSỐ SỐVÍ VÍDỤ DỤ x x0 f ( x) x x0 ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I Một số giới hạn đặc biệt hàm số cần nhớ 1/ lim c c x x0 / lim x x0 x x0 / lim c c x / lim c c x c / lim k 0 x x k / lim x c / lim k 0 x x x / lim x x k k số lẻ k số chẵn Với: c số k số nguyên dương ÔN TẬP: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM II Các định lí, quy tắc giới hạn hàm số 1.Định lí a) Giả sử lim f ( x) L lim g ( x) M x x0 x x0 ● lim [f ( x) g ( x)] L M x x0 ● lim [f ( x) g ( x)] L M x x0 ● lim [f ( x).g ( x)] L.M x x0 f ( x) L ● lim (nếu M ≠ 0) x x0 g ( x ) M b) Nếu f ( x) 0 lim f ( x) L x x0 L 0 xlim x f ( x) L Nhận xét: Ta nói tính chất giới hạn (hữu hạn) bảo tồn phép tốn: cộng, trừ, nhân, chia, lấy bậc hai Nói nơm na, nghĩa là: lim (tổng) = tổng (lim) lim (hiệu) = tổng (lim) lim (tích) = tích (lim) lim (thương) = thương (lim) lim (căn-bậc 2) = (lim) ÔN TẬP: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM II Các định lí, quy tắc giới hạn hàm số Nhận xét 1: 2.Định lí lim f ( x) L Định lí cho ta biết tồn x x0 giới hạn hàm số điểm x0 lim f ( x ) lim f ( x) L -Khi giới hạn bên trái bên phải x x0 x x0 h/s điểm h/s tồn giới hạn điểm Nhận xét 2: ax x x x0 xb x x x0 x x ax x0 x x0 xb a ) x x0 : x x0 Có nghĩa x tiến x0 từ phía trái phải b) x x0 : x x0 Có nghĩa x tiến x0 từ phía bên trái c) x x0 : x x0 Có nghĩa x tiến x0 từ phía bên phải ƠN TẬP: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM II Các định lí, quy tắc giới hạn hàm số Quy tắc giới hạn a Quy tắc nhân (tích) ( a 0) () Cách nhớ: (1 số khác 0) x (vô cùng) (vô cùng) b Quy tắc chia (thương) h( x ) h ( x ) a q ( x ) q ( x) Cách nhớ: (1 số) chia (vô cùng) h( x) h ( x ) a 0 q ( x ) q( x) Cách nhớ: (1 số khác 0) chia (0) (vô cùng) Nhận xét : -Ở quy tắc nhân, ta phải xét dấu để nhận kết quả: hay -Ở quy tắc chia, kết ta khơng cần xét dấu -Ở quy tắc chia, kết vơ ta phải xét dấu để nhận: hay ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG - CÁC GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP CỦA HÀM SỐ I Nhóm giới hạn hàm số điểm 1) Dạng giới hạn hàm số giá trị hàm số: lim f ( x) f ( x0 ) x x lim h( x) 0 Nhận xét: -Dạng vô định 0/0 dạng quan trọng mà 2) Dạng vô định : lim h( x) x x0 q ( x) 0 học sinh cần quan tâm nắm vững phương x x0 q( x) xlim x0 pháp giải a)Trường hợp h( x) mà h(x), q(x) đa thức: ta khử dạng vô định phương pháp tách q( x) nhân tử b)Trường hợp h( x) mà h(x), q(x) có chứa thức (bậc 2, bậc 3): ta khử dạng vô định q( x) phương pháp nhân lượng liên hợp đẳng thức tương ứng *Các đẳng thức liên quan: (a b)(a b) a b (a b)(a ab b ) a b3 ; (a b)(a ab b ) a b3 ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG - CÁC GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP CỦA HÀM SỐ I Nhóm giới hạn hàm số điểm lim h( x) a 0 h ( x ) x x0 a 3) Dạng (a 0) , cụ thể: xlim x0 q ( x ) h( x) 0 xlim x0 h( x ) đó: lim (xét dấu nhận hay ) x x0 q( x) Nhận xét: -Ở dạng này, ta sử dụng quy tắc chia (thương) để thực hiện, ý xét dấu tử mẫu để nhận kết hay -Tóm tắt nội dung quy tắc: a ( a 0) ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG - CÁC GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP CỦA HÀM SỐ I Nhóm giới hạn hàm số điểm Dạng giới hạn bên điểm, ta có trường hợp: lim f ( x ) a x x0 a) Trường hợp kết hữu hạn (1 số): f ( x ) b xlim x0 lim f ( x) L *Đặc biệt: x x0 f ( x ) L xlim x0 lim f ( x) L x x0 *Còn nếu: lim f ( x) lim f ( x) khơng tồn lim f ( x) x x x x0 x x0 lim f ( x) x x0 b) Trường hợp kết vô cực: f ( x) xlim x0 Chú ý: Giới hạn bên thường gặp hàm số không xác định điểm hàm số cho nhiều (từ 2) công thức Nhận xét: Ở giới hạn bên ta thực tương tự giống điểm cho trường hợp có kết hữu hạn (1 số) cho trường hợp có kết vơ cực (dạng 1, 2, trình bày trên) ƠN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ B HỆ THỐNG, PHÂN NHÓM, DẠNG - CÁC GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP CỦA HÀM SỐ II Nhóm giới hạn hàm số vơ cực Chú ý: Ở dạng ta thường gặp hàm lim f ( x) L số f(x) thường đa thức; phân thức (đa/đa); Dạng có kết hữu hạn (1 số): x f ( x) L hàm có chứa thức… xlim -Nếu f(x) đa thức: kết vô cực lim f ( x) Chú ý xét dấu cẩn thận để nhận: hay 2) Dạng có kết vơ cực ( ): x -Nếu f(x) phân thức đa/đa ta có lim f ( x ) x trường hợp +Bậc tử mẫu nhau: kết Nhận xét: Ở giới hạn vơ cực kĩ là: hệ số bậc cao / hệ số bậc cao thuật thực tương tự giới hạn +Bậc tử bé bậc mẫu: kết dãy số +Bậc tử lớn bậc mẫu: kết vô Chú ý cho trường hợp: x Ví dụ k cực Chú ý xét dấu cẩn thận để nhận kết lim x k số lẻ như: x hay lim x lim ( x) x x ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Chú ý: Ở phương pháp chia đa thức biến, ta cần nhớ số kiến thức sau: -Nếu đa thức f(x) có nghiệm x0 *Kĩ thuật khử dạng vơ định 0/0 f(x) = (x – x0).g(x) với g(x) đa thức có bậc ( x x0 ).C ( x) A( x) C ( x) lim lim lim nhỏ bậc f(x) bậc x x0 B ( x ) x x0 ( x x ).D ( x ) x x0 D ( x ) -Đặc biệt, tam thức bậc 2: f(x)=a.x2+b.x+c Ta cần nhớ: có nghiệm x1, x2 -Kiến thức phân tách đa thức thành nhân tử a.x +b.x+c = a.(x – x1)(x – x2), ý f(x) có phương pháp:Đặt nhân tử chung; dùng nghiệm kép x0 a.x2+b.x+c =a.(x – x0)2 đẳng thức; chia đa thức biến… -Kiến thức khử thức bậc 2, cách nhân * Cách tìm g(x) đa thức f(x) có nghiệm x lượng liên hợp phân tách thành: f(x) = (x – x0).g(x) *Các HĐT liên quan: -Ta chia đa thức biến xếp f(x) 2 (a b)(a b) a b cho nhân tử (x – x0 ) -Ngoài ra, ta có chia nhanh hệ số theo sơ (a b)(a ab b ) a b3 đồ Hooc-ne 2 3 (a b)(a ab b ) a b ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Sơ đồ Hooc-ne: Tìm đa thức g(x) f(x) =(x - x0).g(x) với g(x) có bậc nhỏ bậc f(x) bậc Nên ta cần tìm hệ số g(x) Sơ đồ bảng dòng sau: -Dòng 1: Từ ô thứ 2, xếp hệ số đa thức f(x) theo số mũ giảm dần, khuyết hạng tử bậc hệ số hạng tử -Dịng 2:Ơ thứ nghiệm x0 f(x),ơ cuối ln 0, cịn lại (ơ 2->ơ áp chót) hệ số g(x).Ta tìm sau: thứ hạ hệ số đầu f(x) hạ xuống,các hệ số ô cịn lại tìm theo quy luật:lấy hệ số liền trước nhân với nghiệm x cộng với hệ số cột Ví dụ: Cho đa thức bậc 3: ax3+bx2+cx+d có nghiệm x0 ax3+bx2+cx+d=(x – x0)(a’x2+b’x+c’) a hệ số a’, b’, c’b sau: c d có bảng tìm x0 a’=? b’=? c’=? a’=a b’=a’.x0+b c’=b’.x0+c 0=c’.x0+d Hạ a dòng Chổ kết phải xuống ln ƠN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Dạng lim f ( x) f ( x0 ) x x0 Ví dụ 1: a) lim(2 x x 1) 2.12 3.1 4 x x 32 b) lim x x 3 Nhận xét: -Dạng đơn giản nhất, ta cần thay x0 vào hàm số kết nhận số xác định nên ta nhận kết giới hạn nhờ vào định lí giới hạn hữu hạn *Dạng vơ định 0/0 Ví dụ 2: x x 3.02 2.0 a ) lim ; x x 0 x(3x 2) lim x x lim(3 x 2) 3.0 2 x x x 3.22 6.2 b) lim ; x x 0 4 x( x 2) lim x ( x 2)( x 2) lim x 3x 3.2 x2 22 a b (a b)(a b) 2 x x ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Dạng vơ định 0/0 Ví dụ 2: x x 12 3.1 c) lim ; x x 0 1 ( x 1)( x 2) lim lim( x 2) 1 x x x x x 2.( 1) 3.( 1) d ) lim ; 2 x x 1 ( 1) 0 5 5 5 x 1 x 2 x 2 1 2 2 2 lim lim x x ( x 1)( x 1) x 1 Tam thức bậc hai x2 - 3x+2 có nghiệm nên, ta có: x2 - 3x+2=1.(x - 1)(x - 2) Tam thức bậc hai 2x2 - 3x-5 có nghiệm -1 5/2 nên ta có: 2x2 - 3x-5=2.(x + 1)(x – 5/2) Còn: x2 -1 = x2 -12 = (x -1)(x+1) ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Dạng vơ định 0/0 Ví dụ 2: 3 Tam thức bậc hai x3 – 5x2+4 có nghiệm nên ta có: x3 – 5x2+4 =(x – 1)(ax2+bx+c), ta tìm a, b, c bảng chia Hooc-ne sau: x x 5.1 e) lim ; x =1 a = 3 x x 1 0 1 hạ xuống ( x 1)( x x 4) lim x ( x 1)( x x 1) Còn đa thức: x x 12 4.1 lim x x x 1 1 1 -5 b = -4 c = -4 b=a.x0+(-5) c=b.x0+0 =1.1-5 =-4.1+0 0=c.x0+4 =-4.1+4 x3 -1= x3 -13 = (x -1)(x2+x.1+12)=(x -1)(x2+x+1) Hoặc ta chia bảng Hooc-ne x0=1 a = hạ xuống 0 -1 b = b=a.x0+0 =1.1+0 c = c=b.x0+0 =1.1+0 0=c.x0+(-1) =1.1 -1 ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm Nhận xét:Ở phân thức chưa bậc Để khử bậc lượng x Ta nhân lượng liên hợp x cho tử mẫu (a-b)(a+b)=a2-b2 Khi đó, tử thức biến đổi sau: *Dạng vơ định 0/0 Ví dụ 2: x 3 3 g ) lim ; x x 0 6 lim x lim x x 3 ( x 6) x 3 3 x 3 3 x ( x 3) ( x 6) x 3 3 x 3 1 x 3 lim x x 3 3 x x 3 3 x ( x 6) lim x 3 3 32 ( x 3) Chú ý: Nếu lượng chứa bậc nằm mẫu ta thực tương tự ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Dạng vơ định 0/0 Ví dụ 2: 3 x 1 ; x h) lim x Nhận xét:Ở phân thức chứa bậc Để khử bậc lượng x Ta nhân lượng liên hợp 2 1 0 2 0 x x 1.1 12 cho tử mẫu (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 Khi đó, tử thức biến đổi sau: x x x 1.1 12 lim x ( x 2) x x 1.1 12 3 x 1 x x 1.1 12 ( x 1) lim x ( x 2) x x 1 x 13 ( x 1) x lim x 2 x 3 ( x 2) x x 1 Chú ý: Nếu hàm số chứa bậc dạng tổng a+b ta 1 lim làm tương tự với lượng liên hợp 2 x 3 3 x x 1 1 2 (a -ab+b ) ÔN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Dạng a / (với a khác 0) Ví dụ 3: 2.2 2x 2.1 x 1 b) lim ; 2 a ) lim ; x ( x 2) x ( x 1) (2 2) (1 1) lim(2 x 5) lim(2 x 1) 3 x Ta có : x Ta có: 2 lim x 0; x : ( x 2) 0 x x 1 0; x 1: ( x 1) lim x 2x x 1 Suy ra: lim Suy ra: lim 2 x ( x 2) x ( x 1) a Nhận xét: câu ta sử dụng quy tắc chia: ( a 0) (1 số khác tiến đến vơ cực) ƠN TẬP:GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ C MỘT SỐ VÍ DỤ I Nhóm giới hạn điểm *Dạng giới hạn bên điểm Ví dụ 4: Tìm giới hạn sau (nếu có): 2 x x 1 a )Cho f ( x) x x Tìm: lim f ( x) ? x x 1) 2.1 3 lim f ( x) lim(2 x Ta có: x 2 lim f ( x ) lim( x 2) 3 x 1 x lim f ( x) lim f ( x) 3 x Vậy: lim f ( x) 3 x x x 2 2 x b)Cho f ( x ) x x Tìm: lim f ( x) ? x lim f ( x) lim x 2.2 4 x Ta có: x 2 l im f ( x ) lim ( x 1) 3 x 2 x lim f ( x) lim f ( x) x x f ( x) hay hàm số cho Vậy không tồn lim x khơng có giới hạn điểm x0=2 Nhận xét: câu ta sử dụng định lí tồn giới hạn hàm số điểm ... hình dung nội dung học Ngoài dạng hệ thống cịn nhiều dạng nâng cao khác mà em nghiên cứu tài liệu tham khảo khác -Khi thực tốn giới hạn việc nhận dạng hàm số kĩ thuật giải tương ứng quan trọng Thầy... chia đa thức biến xếp f(x) 2 (a b)(a b) a b cho nhân tử (x – x0 ) -Ngồi ra, ta có chia nhanh hệ số theo sơ (a b)(a ab b ) a b3 đồ Hooc-ne 2 3 (a b)(a ab b ) a b ÔN TẬP:GIỚI