ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHO[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội - Năm 2019 Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục 1.2 Đa tạp Riemann toán tử 1.2.1 Trường tenxơ 1.2.2 Đa tạp Riemann 1.2.3 Đa tạp Riemann đủ 1.2.4 Các toán tử đa tạp Riemann 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci 1.3 Tích phân đa tạp Riemann Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian 2.1 Ước lượng tích phân gradient 2.2 Ước lượng chuẩn Lp 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p-Laplacian 2.4 Các hệ ứng dụng 5 5 10 12 14 25 28 30 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, PGS TS Nguyễn Thạc Dũng hướng dẫn tận tình truyền cảm hứng khoa học mối quan tâm đặc biệt sống Tiếp theo, xin gửi lời cảm ơn đến cán Khoa Toán-Cơ-Tin học, đặc biệt thầy thuộc mơn Giải tích, giảng sâu sắc, lôi giúp đỡ chân thành Tôi cảm ơn thành viên lớp Cao học khóa 2017-2019 giúp đỡ, trao đổi, sẻ chia suốt trình học tập trường ĐHKHTNĐHQGHN Cuối cùng, tơi cảm ơn gia đình bạn bè động viên học tập sống ii Danh mục ký hiệu Rn Không gian Euclid thực n chiều A := B A định nghĩa B Tp M Không gian tiếp xúc đa tạp M điểm p TM Phân thớ tiếp xúc T ∗M Phân thớ đối tiếp xúc Tp∗ M Không gian đối ngẫu Tp M điểm p (M, g) Đa tạp Riemann với metric g hX, Y i gp (X, Y ) |X| Chuẩn vectơ X: ∇ Toán tử gradient ui Tọa độ thứ i véc tơ ∇u ∆ Toán tử Laplace div Toán tử divergence Hess Tốn tử Hessian ⊗ Tích tensơ Ricf Tensor Barky-Émery Ricci đa tạp M B0 (R) Quả cầu trắc địa tâm 0, bán kính R k kLp Phép lấy chuẩn không gian Lp Ck Hàm trơn cấp k C0∞ Hàm trơn, có giá compact ∇X Y Liên thông Riemann trường vectơ X, Y [X, Y ] Tốn tử móc Lie du Tốn tử vi phân hàm thực u p g(X, Y ) MỤC LỤC V Thể tích cầu B0 (R) ∂/∂i Trường vectơ tọa độ ∂i Trường vectơ tọa độ Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến kết nghiệm dương phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz không gian đo metric trơn Nhắc lại không gian đo metric trơn ba (M, g, dµ), (M, g) đa tạp Riemann n chiều, đủ dµ := e−f dv với f hàm trơn giá trị thực cố định M , dv dạng thể tích Riemann Trên M , ta xét toán tử vi phân ∆f , gọi f -Laplacian, định nghĩa ∆f := ∆ − h∇f, ∇.i Trên không gian đo metric trơn có tương tự tự nhiên độ cong Ricci, gọi độ cong m-Bakry-Émery Ricci, xác định sau Ricm f := Ric + Hessf − ∇f ⊗ ∇f m−n (n < m ≤ ∞) Đặc biệt, m = ∞, Ric∞ f := Ricf := Ric + Hessf gọi độ cong Bakry-Émery Độ cong giới thiệu [2] Bakry-Émery nghiên cứu khuếch tán lí thuyết dịng Ricci Trường hợp sử dụng m = n xác định f hàm Tốn tử p-Laplace có trọng đa tạp M tác động 1,p hàm u ∈ Wloc (M ) định nghĩa theo nghĩa phân phối sau ∆p,f u = ef div(e−f |∇u|p−2 ∇u), nghĩa Z ∆p,f uϕe Ω −f Z dv = − ∇|u|p−2 ∇u, ∇ϕ e−f dv Ω với Ω ⊂ M mở ϕ ∈ W01,p (Ω) Ước lượng gradient công cụ quan trọng giải tích hình học sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác nhau, từ định lí Liouville, bất đẳng thức Harnack nghiệm dương tới dạng phương trình phi tuyến đa tạp Riemann Kotschwar Ni [1] thiết lập ước lượng gradient địa phương cho hàm p-harmonic với giả thiết độ cong bị chặn Gần Lời nói đầu đây, Wang Zhang [12] nghiên cứu hàm p-hamonic dẫn đến ước lượng gradient địa phương bất đẳng thức Harnack với số mà chúng phụ thuộc vào cận độ cong Ricci, chiều đa tạp, bán kính hình cầu Đối với phương trình p-Laplacian khơng gian đo trơn, vài kết ước lượng gradient tính Liouville trình bày [7]và [8] Đặc biệt, hai tác giả L Zhao D Yang [6] đưa ước gradient cho dạng riêng phương trình Lichnerowicz vốn xuất phát từ phương trình Halminton ràng buộc, phương trình p -Laplacian Lichnerowicz ∆p,f u + cuσ = không gian đo metric trơn,với c > 0, p > 1, σ ≤ p − u > Bên cạnh đó, tác giả L Zhao chứng minh ước lượng gradient cho số dạng khác, xem [5] Luận văn thiết lập ước lượng gradient địa phương cho nghiệm dương phương trình p-Laplacian phi tuyến tổng quát ∆p,f u + F (u) = 0, p>1 (∗) (u) với hàm F khả vi liên tục, thỏa mãn với u > F (u) ≥ Fp−1 u ≤ F (u) Khi đó, dễ thấy tốn mà hai tác giả L Zhao D Yang nói đến [6] trường hợp riêng tốn (*) Do đó, luận văn mở rộng kết báo [6] Ngồi ra, chúng tơi đưa số hệ F hàm quan trọng thường gặp Vật lý Tốn, chẳng hạn phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher Ngồi ra, việc trình bày ước lượng gradient cho phương trình ∆p,f u + F (u) = đưa chứng minh xác hơn, đính lỗi kỹ thuật tương đối nghiêm trọng báo [6] Hà Nội, ngày 26 tháng 11 năm 2019 Lê Văn Đại Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm liên quan đến hệ frame địa phương, đa tạp Riemann, tốn tử định nghĩa tích phân đa tạp Riemann, từ làm tiền đề xây dựng chương 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục Cho M đa tạp trơn, có biên khơng có biên Định nghĩa 1.1.1 (xem [9] tr.178) Cho M đa tạp trơn T M phân thớ tiếp xúc Một trường vectơ M ánh xạ liên tục X : M → T M , thỏa mãn với p ∈ M X(p) = Xp , Xp ∈ Tp M Nếu X ánh xạ trợn trường véc tơ tiếp xúc X gọi trường véc tơ trơn Lưu ý, xuyên suốt luận văn này, không nói thêm ta ln giả thiết trường véc tơ đa tạp trơn M trơn Định nghĩa 1.1.2 (xem [9] tr.178) Một hệ frame địa phương xác định tập mở U ⊆ M n thành phần trường vectơ (E1 , , En ) cho (E1 |p , , En |p ) lập nên sở Tp M với p ∈ U , U ≡ M gọi hệ frame toàn cục Đặc biệt, Ei hàm trơn gọi hệ frame trơn 1.2 1.2.1 Đa tạp Riemann toán tử Trường tenxơ Định nghĩa 1.2.1 (xem [9] tr.255) Cho π : E → M phân thớ véctơ Một nhát cắt địa phương E ánh xạ liên tục σ : M → E xác định tập mở U ⊆ M thỏa mãn πσ = IdU Khi U ≡ M σ gọi nhát cắt tồn cục Sau đây, ta định nghĩa phân thớ tenxơ M Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2.2 (xem [9] tr.316) Cho M đa tạp trơn, có biên khơng có biên Phân thớ k-tenxơ hiệp biến đa tạp M định nghĩa a T k T ∗ M := T k (Tp∗ M ), p∈M với T k (Tp∗ M ) = Tp∗ M ⊗ Tp∗ M ⊗ ⊗ Tp∗ M, (k lần), Tp∗ M khơng gian đối ngẫu không gian tiếp xúc Tp M Tương tự, ta định nghĩa phân thớ k-tenxơ phản biến a T k T M := T k (Tp M ), p∈M phân thớ tenxơ hỗn hợp dạng (k, `) a T (k,`) T M := T (k,`) (Tp M ) p∈M Chú ý rằng, phân thớ véctơ T k (T ∗ M ), T k (T M ) T (k,`) (T M ) có cấu trúc tự nhiên phân thớ véctơ trơn M Từ ta có định nghĩa trường tenxơ Định nghĩa 1.2.3 (xem [9] tr.317) Một nhát cắt phân thớ tenxơ gọi trường tenxơ (hiệp biến, phản biến, hỗn hợp) đa tạp M Không gian nhát cắt trơn phân thớ k -tenxơ hiệp biến, k -tenxơ phản biến, (k, `)-tenxơ hỗn hợp kí hiệu Γ(T k (T ∗ M )), Γ(T k (T M )) Γ(T (k,`) (T M )), chúng khơng gian véctơ vơ hạn chiều R Nói riêng, không gian tất trường k -tenxơ hiệp biến trơn kí hiệu ngắn gọn T k (M ) Trong hệ tọa độ trơn (xi ), trường k -tenxơ hiệp biến biểu diễn A = Ai1 ik dxi1 ⊗ ⊗ dxik , hàm Ai1 ik gọi hàm thành phần A hệ tọa độ chọn 1.2.2 Đa tạp Riemann Định nghĩa 1.2.4 (xem [10] tr.24) Một metric Riemann M trường 2-tenxơ hiệp biến đối xứng, xác định dương điểm M Nói cách khác, metric Riemann g M ánh xạ p 7→ gp ∈ cho tính chất sau thỏa mãn L2 (Tp M ; R) ... Ước lượng gradient cho phương trình p- Laplacian 2.1 Ước lượng tích phân gradient 2.2 Ước lượng chuẩn Lp 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p- Laplacian. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p- LAPLACIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... gradient cho số dạng khác, xem [5] Luận văn thiết l? ?p ước lượng gradient địa phương cho nghiệm dương phương trình p- Laplacian phi tuyến tổng quát ? ?p, f u + F (u) = 0, p> 1 (∗) (u) với hàm F khả vi liên