Luận văn thạc sĩ toán học phủ của vành hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI H[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH —————————————– DƯƠNG THÁI BẢO PHỦ CỦA VÀNH HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG TP HỒ CHÍ MINH – 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Mỵ Vinh Quang Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ báo, sách liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn Tác giả luận văn Dương Thái Bảo Lời cám ơn Trong trình học tập, nghiên cứu đề tài ``Phủ vành hữu hạn'' nhận giúp đỡ, bảo nhiệt tình thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh để hồn thành luận văn Với tình cảm chân thành, tơi bày tỏ lịng biết ơn Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, Khoa Toán Tin– Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, thầy giáo, giáo tham gia quản lý, giảng dạy giúp đỡ suốt q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin bày tỏ biết ơn đặc biệt đến PGS TS Mỵ Vinh Quang – người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ kiến thức, tài liệu phương pháp để hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ suốt thời gian qua Mặc dù có nhiều cố gắng suốt q trình thực đề tài, song cịn có mặt hạn chế, thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp dẫn thầy giáo bạn đồng nghiệp Dương Thái Bảo Mục lục Trang Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Mở đầu …………………………………………………………… Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn …………………… 1.1 Trường hữu hạn ……………………………………………… 1.2 Vành sinh phần tử ……………………………… Chương Phủ vành hữu hạn ……………………………… 10 2.1 Vành tối đại tích trực tiếp trường hữu hạn ……… 10 2.2 Phủ tích vành hữu hạn ……………………………… 18 2.3 Phủ tích trực tiếp trường hữu hạn …………………… 22 2.4 Số phủ tích trực tiếp trường hữu hạn ………………… 25 2.5 Ví dụ phủ vành giao hốn địa phương ………………… 28 Kết luận …………………………………………………………… 30 Tài liệu tham khảo ………………………………………………… 31 Mở đầu Phủ nhóm G họ nhóm thực G mà hợp chúng G Dễ thấy, G phủ gồm nhóm thực Tuy nhiên, nhóm hữu hạn khơng xyclic có phủ hữu hạn Vấn đề đặt tương tự vành Phủ vành A họ vành thực A mà hợp chúng A Tất nhiên, vành A khơng có phủ gồm vành thực Bởi vậy, câu hỏi vành hữu hạn A có phủ gồm hữu hạn vành thực câu hỏi thú vị, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đến nhiều vấn đề mở cần tiếp tục tìm tịi, nghiên cứu Chính vậy, tơi định chọn đề tài “phủ vành hữu hạn” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ toán với mong muốn tìm hiểu vấn đề thú vị tốn học Mục tiêu đề tài là: nghiên cứu vành con, vành tối đại vành hữu hạn, nghiên cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn 2 Chương Vành hữu hạn trường hữu hạn Trong luận văn này, khái niệm vành hiểu vành có đơn vị Tập S khác rỗng vành R gọi vành R S với phép tốn cộng R lập thành nhóm Abel đóng với phép tốn nhân R (vành khơng hẳn chứa phần tử đơn vị) Bên cạnh đó, kí hiệu R  , R cho nhóm cộng R , nhóm nhân phần tử khả nghịch R (phần tử đơn vị kí hiệu e 1) 1.1 Trường hữu hạn Trong mục nhắc lại số kết mở rộng trường trường hữu hạn Đầu tiên khái niệm đặc số vành: số nguyên dương p gọi đặc số vành R p số bé thỏa px  với x  R Nếu không tồn số ngun dương p ta nói vành R có đặc số khơng Định lí 1.1.1 Cho F trường bất kì, đặc số F là số nguyên tố p Chứng minh Gọi F trường có đặc số p  Giả sử p không số nguyên tố, tồn p1 , p2 thỏa mãn  p1 , p2  p p  p1 p2 Ta có  pe  ( p1 p2 )e , mà e  e nên ( p1e)( p2e)  Do F trường nên p1e  p2e  hay p1 p2 đặc số F Điều mâu thuẫn với  p1 , p2  p □ Phần tử đơn vị e với đặc số p trường F tạo nên trường p Định lí 1.1.2 Cho F trường có phần tử đơn vị e , đặc số F p  đặt p  {0, e,2e,3e,,( p  1)e}, F có đặc số đặt p Khi p  {(me)(ne)1 | m, n  , n  0} trường bé F gọi trường nguyên tố F Chứng minh Nếu p trường trường F chứa phần tử đơn vị e nên trường F chứa p Xét F có đặc số p  Lấy le, ke le  ( p  l )e  p p le  ( p  l )e  pe  , suy Vì ke  le  ke  ( p  l )e  (k  p  l )e  p Nếu le  ( p, l )  1, nên tồn u, v cho pu  lv  Do ( pu  lv)e  e hay (lv)e  e , kéo theo (le)(ve)  e Điều có nghĩa (le)1  ve , lúc (ke)(le) 1  (kv)e  p  p Vậy p trường F dễ dàng nhận thấy p Xét F có đặc số 0, dễ dàng nhận thấy: với m, n  , n  (me)(ne)1   me  ne   mn  nm 1 (*) (me)(ne) 1   me  ne    mn  nm  e   nn  e  1  (me)(ne)   m e  n e  1   1    mm  e   nn  e  1 1 Vậy p (me)(ne)1  đóng với hai phép tốn F Mặt khác (me)(ne) 1  p p Ngoài (me)(ne)1  m  , (ne)(me) 1  p  (me)(ne)  (ne)(me)   e 1 Vậy p xạ (me)(ne)1 1 trường F Bên cạnh (*) nên p  thông qua ánh m n Hệ 1.1.3 Nếu F trường hữu hạn đặc số F số nguyên tố Chứng minh Theo định lí 1.1.1 đặc số p số nguyên tố Giả sử F có đặc số 0, theo định lí trường ngun tố p  Suy p có vơ hạn phần tử (mâu thuẫn với tính hữu hạn F ) Kế đến nói đến đặc điểm số phần tử trường hữu trường Định lí 1.1.4 Cho F trường hữu hạn chứa trường K có q phần tử Khi F có q m phần tử m  [ F : K ] Chứng minh Lúc ta xem F không gian vectơ trường K , F hữu hạn nên không gian vectơ hữu hạn chiều K Nếu m  [ F : K ] F có sở K gồm m phần tử, kí hiệu b1 , b2 ,, bm Khi phần tử F biểu diễn qua dạng a1b1  a2b2   ambm , a1 ,, am  K Tuy nhiên có q lựa chọn nên F có q m phần tử Định lí 1.1.5 Cho F trường hữu hạn Khi F có p n phần tử, số nguyên tố p đặc số F n  [ F : p ] Chứng minh Áp dụng trực tiếp định lí cho trường nguyên tố p 5 Tiếp theo định lí này, nhắc lại tồn trường hữu hạn với số phần tử cho trước Tuy nhiên để làm điều này, cần đến khái niệm trường phân rã Định nghĩa 1.1.6 Cho mở rộng trường F / K S tập khác rỗng F Ta kí hiệu K ( S ) giao tất trường F chứa K S , K ( S ) gọi trường F sinh K S Định nghĩa 1.1.7 Cho K trường f ( x)  K[ x] F mở rộng trường K Ta nói đa thức f phân rã F phân tích thành tích nhân tử tuyến tính f ( x)  a( x  a1 )( x  an ) với a, a1 ,, an  F Trường F gọi trường phân rã f K f phân rã F F  K (a1 ,, an ) Bổ đề 1.1.8 Cho f đa thức bất khả qui trường K Khi tồn mở rộng F K f có nghiệm Chứng minh Vì f ( x) bất khả qui nên F  K[ x] / ( f ( x)) trường Xét hai ánh xạ sau i : K  K [ x] a a j : K [ x]  K [ x] / ( f ( x)) p( x) p ( x)  ( f ( x)) Khi i, j đơn cấu, suy ji đơn cấu từ K vào K[ x] / ( f ( x)) Vì F mở rộng trường K Đặt   x  ( f ( x))  F Ta có f ( )  f ( x)  ( f ( x))   F Vậy  nghiệm f ( x) ... Vành hữu hạn, vành con, vành tối đại vành hữu hạn - Tích trực tiếp hữu hạn vành hữu hạn trường hữu hạn - Các phủ vành hữu hạn điều kiện cần đủ để có phủ - Số phủ vành hữu hạn 2 Chương Vành hữu. .. cứu tích trực tiếp vành hữu hạn ứng dụng kết phần để tìm điều kiện cần đủ để vành hữu hạn có phủ hữu hạn Trong trường hợp có phủ hữu hạn, tìm số bé phần tử phủ Số gọi số phủ vành Đối tượng phạm... định chọn đề tài ? ?phủ vành hữu hạn? ?? làm đề tài cho luận văn thạc sĩ tốn với mong muốn tìm hiểu vấn đề thú vị toán học Mục tiêu đề tài là: nghiên cứu vành con, vành tối đại vành hữu hạn, nghiên cứu