Luận văn thạc sĩ toán học về tính chẵn lẻ của số nhân tử bất khả quy modulo p của đa thức hệ số nguyên

��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC �������o0o������� ��M THÀ NGÅC T�M V� T�NH CH�N L� CÕA SÈ NH�N TÛ B�T KH� QUY MODULO P CÕA �A THÙC H� SÈ NGUY�N LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N, 5/201[.]

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o €M THÀ NGÅC T…M V— TNH CHŽN L” CÕA SÈ NH…N TÛ B‡T KHƒ QUY MODULO P CÕA A THÙC H› SÈ NGUY–N LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC THI NGUY–N, 5/2019 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o €M THÀ NGÅC T…M V— TNH CHŽN L” CÕA SÈ NH…N TÛ B‡T KHƒ QUY MODULO P CÕA A THC H Sẩ NGUYN Chuyản ngnh: Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp M số: 46 01 13 LUN VN THC S TON HC GIO VIN HìẻNG DN TS NGUYN DUY T…N THI NGUY–N, 5/2019 iii Mưc lưc Mð ¦u Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 K¸t thùc cõa hai a thùc Bi»t thùc cõa a thùc Tỹ ỗng cĐu Frobenius 10 Ch÷ìng nh lỵ Stickelberger 2.1 2.2 2.3 2.4 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy Fp [x] nh lỵ Stickelberger a thùc nguy¶n kh£ quy modulo mồi số p nguyản tố Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a thùc thüc 12 12 14 17 19 Chữỡng nh lỵ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc hai 21 3.1 3.2 3.3 Kỵ hiằu Legendre 21 nh lỵ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc hai 22 nh lỵ Stickelberger modulo 26 Kát luên Ti liằu tham kh£o 32 33 Mð ¦u Cho f (x) ∈ Z[x] l mởt a thực chuân (monic) hằ số nguyản bªc n v  khỉng câ nghi»m phùc k²p Gåi D(f ) l  bi»t thùc cõa f Cho p l  mët sè nguy¶n tè l´ v  gåi Fp = Z/pZ l trữớng hỳu hÔn cõ p phƯn tỷ Gồi f(x) Fp [x] l a thực nhên ữủc tứ f b¬ng c¡ch thu gån h» sè modulo p Gåi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f Khi õ mởt nh lỵ cừa Stickelberger khng nh rơng r v n cõ tẵnh chđn l, tực l r ≡ n (mod 2), v  ch¿ D(f ) l bẳnh phữỡng modulo p Mửc tiảu cừa luên vôn l tẳm hiu và chựng minh cừa nh lỵ Stickelberger n y cơng nh÷ ùng dưng cõa nâ chùng minh luêt thuên nghch bêc hai Ngoi phƯn M Ưu, Kát luªn v  T i li»u tham kh£o, bè cưc cõa luªn vôn ữủc chia lm ba chữỡng Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by mởt số ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc, bi»t thực cừa a thực v ỗng cĐu Frobenius Chữỡng nh lỵ Stickelberger Chữỡng ny trẳnh by và nh lỵ Stickelberger, mởt số vẵ dử minh hồa, v mởt tữỡng tỹ cừa nh lỵ ny cho a thực thỹc Chữỡng nh lỵ Stickelberger v luêt thuên nghch bêc hai Chữỡng ny trẳnh by và kỵ hiằu Legendre, luêt thuên nghàch bªc hai v  mët chùng minh cõa luªt n y sỷ dửng nh lỵ Stickelberger Luên vôn ny ữủc thỹc hiằn v hon thnh vo thĂng nôm 2019 tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc- Ôi hồc ThĂi Nguyản Qua Ơy, tĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc tợi TS Nguyạn Duy TƠn, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn suốt quĂ trẳnh lm viằc  hon thnh luên vôn ny TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án Khoa ToĂn-Tin, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản,  tÔo mồi iÃu ki»n º gióp t¡c gi£ håc tªp v  ho n th nh luên vôn cụng nhữ chữỡng trẳnh thÔc sắ TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn tợi têp th lợp cao hồc K11D, khõa 05/2017 - 05/2019  ởng viản giúp ù tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn ny ỗng thới tĂc giÊ xin gûi líi c£m ìn tỵi Ban gi¡m hi»u v  cĂc ỗng nghiằp tÔi trữớng THCS Hững Ôo, ổng TriÃu, QuÊng Ninh  tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v hon thnh luên vôn Xin chƠn thnh cÊm ỡn XĂc nhên cừa ngữới hữợng dăn TS Nguyạn Duy TƠn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2019 Ngữới viát luên vôn m Th Ngồc TƠm Chữỡng Mởt số kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực và kát thực cừa hai a thực, biằt thực cừa a thực v ỗng cĐu Frobenius Ti liằu tham khÊo sỷ dửng cho chữỡng n y l  t i li»u [2, Section 6.6] v  [3, Chapter 15] 1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc Gi£ sû f, g l hai a thực bián x vợi cĂc h» sè mët tr÷íng F Gi£ sû K l mởt trữớng õng Ôi số chựa F Gồi α1 , , αn l  t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa f K , tùc l  f (x) = a(x − α1 )(x − α2 ) (x − αn ), vỵi a ∈ K n o â T÷ìng tü, gåi β1 , , βm l  t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g K , tùc l  g(x) = b(x − β1 )(x − β2 ) (x − βm ), vợi b K no õ Ta nh nghắa kát thùc cõa f v  g , R(f, g) l  n Y m Y R(f, g) = a b (αi − βj ) (n = deg f, m = deg g) m n i=1 j=1 Ta liằt kả dữợi Ơy mởt số tẵnh chĐt cừa kát thực Tẵnh chĐt 1.1.1 R(g, f ) = (−1)mnR(f, g) 4 Chùng minh Ta câ m Y n n Y m Y Y m n R(g, f ) = a b (βj − αi ) = a b (αi − βj ) = (−1)mn R(f, g) m n j=1 i=1 i=1 j=1 Ta câ i·u phÊi chựng minh Tẵnh chĐt 1.1.2 R(f, g) = náu f v g cõ mởt nhƠn tỷ chung bêc dữỡng Chựng minh Náu f v g cõ mởt nhƠn tû chung l  h(x) ∈ F [x] Khi â gåi α ∈ K mët nghi»m cõa h K Nhữ vêy tỗn tÔi i, j cho i = α v  βj = α Ta suy t½ch nh nghắa R(f, g) cõ nhƠn tỷ i j = v vêy R(f, g) = Tẵnh ch§t 1.1.3 R(f, g) = a m n Y mn n g(αi ) = (−1) i=1 b m Y f (βj ) j=1 Q Q Chùng minh V¼ g(x) = b nj=1 (x − βi ), n¶n ta câ g(αi ) = b nj=1 (αi − βj ), vỵi måi i = 1, , n Do vªy a m n Y n Y n Y g(αi ) = a b (αi − βj ) = R(f, g) m n i=1 i=1 j=1 T÷ìng tü (ho°c sû dưng Tẵnh chĐt 1.1.1) ta suy R(f, g) = (1) mn n b m Y f (βj ) j=1 T½nh chĐt 1.1.4 Náu g(x) = f q + r, thẳ R(f, g) = am−deg r R(f, r) Chùng minh Tø Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ R(f, g) = a deg g n Y i g(αi ) = a deg g n Y [f (αi )q(αi ) + r(αi )] i=1 Vẳ i l nghiằm cừa cừa f , nản f (αi ) = v  vªy f (αi )q(αi ) + r(αi ) = r(α) Do â ta câ R(f, g) = a deg g n Y r(αi ) i=1 Mt khĂc, cụng theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, r) = adeg r R(f, g) = a deg g n Y Qn i=1 r(αi ) Do vªy r(αi ) = adeg gdeg r R(f, r) i=1 Tẵnh chĐt 1.1.5 R(f, b) = bdeg f náu b l vổ hữợng Chựng minh t g(x) = b Theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, g) = a n Y g(αi ) = bn i=1 CĂc Tẵnh chĐt 1.1.1,1.1.4, 1.1.5 cho php ta tẵnh toĂn kát thực cừa bĐt kẳ hai a thực no bơng thuêt toĂn chia cừa Euclid CĂc tẵnh chĐt ny cụng cho php ta chựng minh ữủc rơng kát thực R(f, g) l mởt phƯn tỷ cừa trữớng F mc dũ nõ ữủc nh nghắa dỹa theo cĂc phƯn tỷ trữớng lợn hỡn K Tẵnh chĐt 1.1.6 Ta câ R(f, g) n¬m F Chùng minh Ta chựng minh bơng quy nÔp theo deg f Náu g = b l hơng số thuởc F Thẳ theo Tẵnh chĐt 1.1.1 v 1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) = R(f, b) = bn thuëc F GiÊ sỷ khng nh  úng vợi mồi mồi a thực f v g vợi f cõ bêc nhọ hìn ho°c b¬ng n − X²t f v  g l hai a thực tũy ỵ vợi deg f = n ≥ Khi â theo thuªt to¡n chia a thực, tỗn tÔi hai a thực q v r F [x] cho g = f q + r, vỵi r = ho°c deg r < deg f = n Theo Tẵnh chĐt 1.1.4, Tẵnh chĐt 1.1.1 v theo giÊ thiát quy nÔp ta cõ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F Ta cõ iÃu phÊi chựng minh 6 Tẵnh chĐt 1.1.7 Ta cõ Náu f = f1 f2 thẳ R(f, g) = R(f1 , g)R(f2 , g) N¸u g = g1 g2 th¼ R(f, g) = R(f, g1 )R(f, g2 ) Chựng minh Suy tứ Tẵnh chĐt 1.1.3 1.2 Bi»t thùc cõa a thùc Cho f = f (x) ∈ F [x] l  a thùc vỵi h» sè trữớng F v K l mởt trữớng õng Ôi số chựa F Biằt thực cừa f ữủc nh nghắa l  D(f ) = (−1)n(n−1)/2 R(f, f ), ð Ơy f l Ôo hm cừa f v n = deg f Theo Tẵnh chĐt 1.1.2, ta cõ D(f ) 6= n¸u v  ch¿ n¸u f v  f khỉng câ thøa sè chung Chóng ta câ th tẵnh toĂn D(f ) bơng cĂch sỷ dửng thuêt toĂn Euclid trản f v f Dữợi Ơy l  mët sè v½ dư V½ dư 1.2.1 X²t f (x) = x − a Khi â f 0(x) = 1, vẳ vêy D(f ) = (1)(1.0)/2 R(f, 1) = R(f, 1) = 1deg f = V½ dư 1.2.2 X²t f (x) = x2 + ax + b Khi â f (x) = 2x + a v  D(f ) = −R(f, f ) Ta câ a a2 x + ax + b = (2x + a) + + (b − ) 4 x a2 °t r = b − Ta câ D(f ) = −R(f, f ) = −R(f , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) = 2deg f deg r (1)R(f , r) ( theo Tẵnh chĐt 1.1.4) = −22−0 R(f , r) = −4r = a2 − 4b 7 V½ dư 1.2.3 Cho f (x) = x3 + qx + r Th¼ f 0(x) = 3x2 + q v  thüc hi»n thuªt to¡n Euclid, ta câ   2q x3 + qx + r = (3x2 + q) + x+r , 3      2q 9x 27r 27r2 3x + q = x+r − + q+ 2q 4q 4q x Do â D(f ) = (−1)3·2/2 R(f, f ) = −R(f, f ) = −R(f , f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1) 2qx = −3deg f −1 R(f , + r) (theo T½nh ch§t 1.1.4) 2qx = −9R( + r, f ) (theo Tẵnh chĐt 1.1.1)  2 2q 2qx 27r2 R( = −9 + r, q + ) 3 4q 27r2 ) = −4q − 27r2 = −4q (q + 4q V½ dư 1.2.4 X²t f (x) = xn − ∈ F [x] Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x) Gåi α1 , , αn l  n nghi»m K (mởt trữớng õng Ôi số chựa F ) cõa a thùc f (x) = xn − Ta câ f (x) = nxn−1 Do vªy D(f ) = (−1) n(n−1)/2 R(f, f ) = (−1) n(n−1)/2 n Y f (αk ) k=1 = (−1) n(n−1)/2 n n n Y !n−1 αk k=1 n(n−1) = (−1)n(n−1)/2 nn (−1) = (−1)n(n−1)/2 nn V¼ theo ành lỵ Vite à à à n = (1)n a thùc f (x) ∈ F [x] ÷đc gåi l  mởt a thực chuân (monic) náu hằ số ựng vợi số mụ cao nhĐt cừa nõ bơng Mằnh à 1.2.5 Cho f l  mët a thùc monic v  α1, , αn l  c¡c nghi»m ... cõa f Cho p l  mët sè nguyản tố l v gồi Fp = Z/pZ l trữớng hỳu hÔn cõ p phƯn tỷ Gồi f(x) Fp [x] l a thực nhên ữủc tứ f bơng cĂch thu gån h» sè modulo p Gåi r l  sè nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f... o0o €M THÀ NGÅC T…M V— TNH CHŽN L” CÕA SÈ NH…N TÛ B‡T KHƒ QUY MODULO P CÕA A THÙC H Sẩ NGUYN Chuyản ngnh: Phữỡng ph? ?p ToĂn sỡ c? ?p M¢ sè: 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HC GIO VIN HìẻNG DN TS... Stickelberger 2.1 2.2 2.3 2.4 Nghiằm cừa a thùc b§t kh£ quy Fp [x] nh lỵ Stickelberger a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguyản tố Tữỡng tỹ cừa nh lỵ Stickelberger cho a