ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG THỊ LIÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số 60 46 0[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG THỊ LIÊN CẤU TRÚC ĐẠI SỐ CỦA ĐỘ ĐO XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊNH HÀ NỘI - NĂM 2014 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU LỜI CẢM ƠN KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số Bool 1.1.1 Đồng cấu 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ 1.1.3 Bao hình (Upper envelopes) 1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm 1.1.5 Hàm cộng tính đại số Bool 1.1.6 Đại số thương 1.2 Độ đo đại số 1.2.1 Nguyên tắc phân loại độ đo đại số 1.2.2 Tích đơn 1.2.3 Topo độ đo đại số 1.2.4 Đồng cấu 1.2.5 Phiếm hàm cộng tính độ đo đại số 1.3 Nguyên tắc phân loại không gian độ đo 1.3.1 Địa phương hóa ngặt 1.3.2 Nguyên tử phi nguyên tử 1.4 Định lý trù mật Lebesgue 1.5 Định lý Radon-Nikodym 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym 1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện 1.6 Tích vơ hạn 1.7 Định lý Vitali Rr 1.8 Matingle 1.9 Không gian Riesz 1.9.1 Không gian tuyến tính phần 1.9.2 Khơng gian Riesz 1.9.3 Dải 6 10 10 11 11 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 16 16 16 17 17 18 18 18 19 19 1.9.4 Không gian Acsimet 1.9.5 Không gian Riesz Acsimet 1.9.6 Không gian đối ngẫu 1.10 Không gian hàm 1.10.1 Không gian L0 1.10.2 Suprema infima L0 1.10.3 Dải L0 1.11 Tiên đề chọn bổ đề Zorn 1.11.1 Tiên đề chọn 1.11.2 Bổ đề Zorn 19 20 20 21 21 21 21 22 22 22 23 23 23 27 35 35 35 37 ĐỊNH LÝ PHÉP NÂNG 3.1 Phép nâng 3.2 Mật độ 3.3 Định lý phép nâng 44 44 45 47 ĐỊNH LÝ KWAPIEN 4.1 Tốn tử tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến không gian Acsimet 4.2 Toán tử tuyến tính dương độ đo đại số nửa hữu hạn KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 56 ĐỊNH LÝ MAHARAM 2.1 Sự phân loại độ đo đại số 2.1.1 Nguyên tử tương đối 2.1.2 Loại Maharam 2.1.3 Đại số Bool 2.2 Phân loại độ đo đại số địa phương 2.2.1 Định lý Maharam 2.2.2 Tế bào (The cellularity) đại sô Boolean Riesz 56 58 65 66 LỜI NÓI ĐẦU Chúng ta học tìm hiểu số cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, Mở rộng lên chút tìm hiểu cấu trúc đại số độ đo xác suất phức tạp nhiều đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian Riesz, không gian Acsimet, không gian hàm Luận văn trình bày ba định lý mà tơi thấy hay lý thuyết độ đo: Định lý Maharam, định lý phép nâng, định lý Kwapien Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức đại số Boolean, độ đo đại số Phần cuối chương giới thiệu không gian Riesz Chương 2: Định lý Maharam Phần đầu chương định nghĩa mô tả ’sự nhất’ độ đo xác suất Phần sau trình bày định lý quan trọng Maharam phân loại độ đo đại số Chương 3: Định lý phép nâng Chương trình bày phép nâng mật độ dưới, không gian địa phương hóa ngặt có mật độ Xây dựng phép nâng từ mật độ Phần cuối chương mô tả khơng gian địa phương hóa ngặt đầy đủ có phép nâng Chương 4: Định lý Kwapien Chương trình bày số vấn đề tương đối liên quan tới tốn tử tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến khơng gian Riesz Ascimet Sau chuyển sang phân tích quan trọng Kwapien tốn tuyến tính dương từ khơng gian L0 đến khơng gian L0 độ đo đại số nửa hữu hạn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc tận tình bảo TS Nguyễn Thịnh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt q trình giáo dục đào tạo nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà Nội, Tháng năm 2014 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để tìm hiểu phần luận văn: Định lý Maharam, định lý phép nâng định lý Kwapien, cần lượng kiến thức trình bày Chương khơng sâu nghiên cứu chi tiết mà cung cấp kiến thức để chuẩn bị cho chương sau nên phần kiến thức trình bày có lẽ rời rạc 1.1 Đại số Bool Định nghĩa 1.1.1 +) Vành Bool vành (A, +, ) a2 = a, ∀a ∈ A +) Đại số Bool vành Bool A với đồng nhân = 1A Trong trường hợp ta chấp nhận = Bổ đề 1.1.2 Cho A vành Bool, I ideal A a ∈ A\I có đồng cấu vành φ : A → Z2 cho φa = φd = 0, ∀d ∈ I 1.1.1 Đồng cấu +) Đại số con: Cho A đại số Bool Đại số A có nghĩa vành A có chứa đồng nhân = 1A Mệnh đề 1.1.3 Ideal đại số Bool Nếu A đại số Bool, tập I ⊆ A ideal A ∈ I, a ∪ b ∈ I, ∀a, b ∈ I a ∈ I với b ∈ I, a ⊆ b +) Đồng cấu Bool: Đồng cấu Bool có nghĩa hàm π : A → B đồng cấu vành π (1A ) = 1B Mệnh đề 1.1.4 Cho A, B, E đại số Bool a) Nếu π : A → B đồng cấu Bool π (A) đại số B b) Nếu π : A → B θ : B → E đồng cấu Bool θπ : A → E đồng cấu Bool c) Nếu π : A → B đồng cấu Bool song ánh π −1 : B → A đồng cấu Bool Mệnh đề 1.1.5 Cho A, B đại số Bool hàm π : A → B Khi ta có điều sau tương đương: i π đồng cấu Bool ii π (a ∩ b) = πa ∩ πb π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A iii π (a ∪ b) = πa ∪ πb π (1A \a) = 1B \πa, ∀a, b ∈ A iv π (a ∪ b) = πa ∪ πb πa ∩ πb = 0B , a, b ∈ A, a ∩ b = 0A , π (1A ) = 1B Bổ đề 1.1.6 Cho A đại số Bool A0 đại số A Cho c phần tử A A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } đại số A Khi A1 gọi đại số A sinh A0 ∪ {c} Bổ đề 1.1.7 Cho A, B đại số Bool A0 đại số A π : A0 → B đồng cấu Bool c ∈ A Nếu v ∈ B cho πa ⊆ v ⊆ πb, a, b ∈ A0 a ⊆ c ⊆ b có đồng cấu Bool π1 từ A1 A sinh A0 ∪ {c} cho π1 thác triển π π1 c = v Chúng ta có số khái niệm quan trọng Định nghĩa 1.1.8 : Cho P tập riêng phần C tập P a C có hướng lên (upwards-directed) với p, p0 ∈ C có q ∈ C cho p ≤ q p0 ≤ q Tức tập không rỗng hữu hạn C có cận C Tương tự, C có hướng xuống (downwards-directed) p, p0 ∈ C có q ∈ C cho p ≤ q q ≤ p0 Tức tập không rỗng hữu hạn C có cận C b C đóng có thứ tự sup A ∈ C với A tập khơng rỗng có hướng lên C cho supA định nghĩa P inf A ∈ C với A tập khơng rỗng có hướng xuống C cho infA xác định P c C dãy đóng có thứ tự supn∈N pn ∈ C với (pn )n∈N dãy không giảm C cho supn∈N pn xác định P, infn∈N pn ∈ C với (pn )n∈N dãy không tăng C cho infn∈N pn xác định P d Bảo toàn thứ tự: Cho P Q tập riêng phần φ : P → Q hàm bảo toàn thứ tự φ (p) ≤ φ (q) Q với p ≤ q P e Ta nói φ liên tục có thứ tự i φ (sup A) = sup φ (p) với A tập khơng rỗng có hướng lên P p∈A supA xác định P ii φ (inf A) = inf φ (p) với A tập khơng rỗng có hướng xuống P p∈A infA xác định P f φ dãy liên tục có thứ tự σ liên tục có thứ tự nếu: i φ (p) = sup φ (pn ) với (pn )n∈N dãy không giảm P p = supn∈N pn P n∈N ii φ (p) = inf φ (pn ) với (pn )n∈N dãy không tăng P p=infn∈N pn P n∈N g Tập D ⊆ A với A đại số Bool trù mật có thứ tự ∀a ∈ A, a 6= có d 6= 0, d ∈ D cho d ⊆ a h Tập Cofinal i C cofinal với P p ∈ P có q ∈ C cho p ≤ q ii Cofinality P (ký hiệu cf(P)) lực lượng nhỏ tập cofinal P Mệnh đề 1.1.9 Cho A đại số Bool a Nếu e ∈ A A ⊆ A tập không rỗng cho supA xác định A sup {e ∩ a : a ∈ A} xác định e ∩ sup A b Nếu e ∈ A A ⊆ A tập không rỗng cho infA xác định A inf {e ∪ a : a ∈ A} xác định e ∩ infA c Giả sử A, B ∈ A tập không rỗng supA, supB xác định A sup {a ∩ b : a ∈ A, b ∈ B} xác định sup A ∩ sup B d Giả sử A, B ∈ A tập không rỗng infA, infB xác định A inf {a ∪ b : a ∈ A, b ∈ B} xác định infA ∪ infB Bổ đề 1.1.10 Nếu A đại số Bool D ⊆ A trù mật có thứ tự với a ∈ A có tập rời C ⊆ D cho sup C = a Nói riêng: a = sup {d : d ∈ D, d ⊆ a} có phân hoạch đơn vị C ⊆ D 1.1.2 Tính Dedekind đầy đủ Định nghĩa 1.1.11 : Cho P tập riêng phần a P Dedekind đầy đủ tính đầy đủ có thứ tự đầy đủ cách có điều kiện tập khơng rỗng P có cận có cận nhỏ b P Dedekind σ -đầy đủ σ -đóng có thứ tự nếu: i Mọi tập không rỗng đếm P mà có cận có cận nhỏ ii Mọi tập không rỗng đếm P mà có cận có cận lớn Bổ đề 1.1.12 Cho A đại số Bool A0 đại số A Lấy c ∈ A tập A1 = {(a ∩ c) ∪ (b\c) : a, b ∈ A0 } đại số sinh A0 ∪ {c} a Giả sử A0 Dedekind đầy đủ Nếu A0 đóng có thứ tự A A1 đóng có thứ tự b Giả sử A0 Dedekind σ -đầy đủ Nếu A0 σ -đại số A A1 σ -đại số A 1.1.3 Bao hình (Upper envelopes) Định nghĩa 1.1.13 a Cho A đại số Bool, E đại số A Cho a ∈ A viết upr (a, E) = inf {c : c ∈ E, a ⊆ c} inf xác định E b Nếu A ⊆ A tập cho upr (a, E) xác định với a ∈ A, a0 = sup A xác định A c0 = supa∈A upr (a, E) xác định E c0 = upr (a0 , E) c Nếu A ⊆ A: upr (a, E) xác định upr (a ∩ c, E) = c ∩ upr (a, E) , ∀c ∈ E Định nghĩa 1.1.14 Cho (A, µ) , (B, ν) độ đo đại số Đồng cấu Bool π : A → B bảo toàn độ đo ν (πa) = µa, ∀a ∈ A 1.1.4 Chuỗi điều kiện đếm Định nghĩa 1.1.15 a Đại số Bool A chuỗi điều kiện đếm hay c c c tập rời A đếm 10 b Không gian topo X c c c thỏa mãn chuỗi điều kiện đếm tính chất Souslin tập hợp rời tập mở X đếm Hệ 1.1.16 Cho A c c c đại số Bool a Nếu A Dedekind σ -đầy đủ A Dedekind đầy đủ b Nếu A ⊆ A dãy đóng có thứ tự A đóng có thứ tự c Nếu Q tập đóng hồn tồn φ : A → Q hàm bảo toàn thứ tự dãy liên tục có thứ tự φ liên tục có thứ tự 1.1.5 Hàm cộng tính đại số Bool Định nghĩa 1.1.17 Cho A độ đo đại số Hàm ν : A → R cộng tính hữu hạn cộng tính ν (a ∪ b) = νa + νb với a, b ∈ A, a ∩ b = Thỉnh thoảng ta gọi hàm cộng tính khơng âm độ đo cộng tính hữu hạn 1.1.6 Đại số thương Định nghĩa 1.1.18 Vành thương Cho R vành I ideal R Một lớp I tập có dạng a + I = {a + x : x ∈ I} , a ∈ R R/I tập lớp I R Viết a• thay cho a+I Mệnh đề 1.1.19 Cho A đại số Bool I ideal A Thì vành thương A/I đại số Bool ánh xạ tắc a 7→ a• : A → A/I đồng cấu Bool (a∆b)• = a• ∆b• , (a ∪ b)• = a• ∪ b• , (a ∩ b)• = a• ∩ b• , (a\b)• = a• \b• với a, b ∈ A 11 1.2 Độ đo đại số Định nghĩa 1.2.1 Độ đo đại số cặp (A, µ) A đại số Bool Dedekind σ -đầy đủ µ : A → [0, ∞] hàm cho µ0 = ∞ P Với (an )n∈N dãy rời A, µ (supn∈N an ) = µan n=0 µa > với a ∈ A, a 6= Mệnh đề 1.2.2 Cho (A, µ) độ đo đại số A ⊆ A tập khơng rỗng có hướng lên Nếu supa∈A µa < ∞ supA xác định A µ (sup A) = supa∈A µa Mệnh đề 1.2.3 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo, N ideal tập µ-tập bỏ qua Cho µ đại số Bool thương P P \ µ : A → [0, ∞] xác nh bi àE ã = àE, E ỏnh x tắc E 7→ E • : 1.2.1 P ∩N có phiếm hàm P (A, µ) độ đo đại số → A dãy liên tục có thứ tự Nguyên tắc phân loại độ đo đại số Định nghĩa 1.2.4 Cho (A, µ) độ đo đại số a Ta nói (A, µ) độ đo xác suất µ1 = b (A, µ) hữu hạn hồn tồn µ1 < ∞ c (A, µ) σ -hữu hạn có dãy (an )n∈N A cho µan < ∞, ∀n ∈ N supn∈N an = d (A, µ) nửa hữu hạn với a ∈ A, µa = ∞ có b 6= 0, b ⊆ a cho µb < ∞ Mệnh đề 1.2.5 : Cho (A, µ) độ đo đại số nửa hữu hạn điều sau tương đương với i (A, µ) σ -hữu hạn 12 ii A c c c iii Có A = {0} có phiếm hàm ν : A → [0, 1] cho (A, ν) độ đo xác suất 1.2.2 Tích đơn P P họ không gian độ đo với tổng trực tiếp (X, , µ) i∈I P độ đo đại số (A, µ) (X, , µ) đồng với tích đơn độ đo đại P số (Ai , µi ) Xi , i , µi a Nếu Xi , i , µi b Cho (A, µ) độ đo đại số địa phương Nếu (ei )i∈I phân hoạch đơn vị A Q (A, µ) đẳng cấu với tích i∈I (Aci , µ Aci ) ideal tương ứng 1.2.3 Topo độ đo đại số Mệnh đề 1.2.6 Nếu (A, µ) độ đo đại số địa phương B đại số A bao đóng B B A đại số hay nói cách xác B đóng có thứ tự A sinh B Bổ đề 1.2.7 Nếu (A, µ) độ đo đại số địa phương B đại số đóng A a ∈ A đại số E A sinh B ∪ {a} đóng 1.2.4 Đồng cấu Định nghĩa 1.2.8 Cho (A, µ) (B, ν) độ đo đại số Đồng cấu Bool π : A → B bảo toàn độ đo ν (πa) = µa, ∀a ∈ A Mệnh đề 1.2.9 Cho (A, µ) (B, ν) độ đo đại số đồng cấu Bool π : A → B bảo toàn độ đo a π đơn ánh 13 b (A, µ) hữu hạn hồn tồn (B, ν) hữu hạn hoàn toàn trường hợp π liên tục có thứ tự π [A] đại số đóng B Mệnh đề 1.2.10 Cho (A, µ) (B, ν) độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn, đại số A0 topo trù mật A π : A0 → B đồng cấu Bool cho ν (πa) = µa, ∀a ∈ A0 π mở rộng tới đồng cấu bảo toàn độ đo từ A tới B Định nghĩa 1.2.11 Cho A đại số Bool Hàm ν : A → R cộng tính đếm ∞ ∞ P P σ - cộng tính νan định nghĩa νan = ν sup an với (an )n∈N n∈N rời sup an xác định A n∈N Định nghĩa 1.2.12 Cho A đại số Bool Hàm ν : A → R cộng tính đầy đủ τ -cộng tính ν cộng tính hữu hạn inf |νa| = với A tập a∈A khơng rỗng có hướng lên A với inf =0 1.2.5 Phiếm hàm cộng tính độ đo đại số Định nghĩa 1.2.13 Cho (A, µ) độ đo đại số ν : A → R phiếm hàm cộng tính hữu hạn ν liên tục tuyệt đối µ cho ∀ε > có δ > cho |νa| ≤ ε với µa ≤ δ 1.3 1.3.1 Nguyên tắc phân loại không gian độ đo Địa phương hóa ngặt Định nghĩa 1.3.1 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo Thì µ (X, địa phương hóa (localizable) µ nửa hữu hạn ∀ε ∈ i, E × H bỏ qua ∀E ∈ ε 14 P có H ∈ P P , µ) cho ii, Nếu G ∈ P E\G bỏ qua ∀E ∈ ε H\G bỏ qua Ta gọi H tập hợp tất cận thực E Định nghĩa 1.3.2 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo µ (X, P P , µ) địa phương hóa ngặt (strictly localizable) khai triển có phân hoạch hXi ii∈I X tập đo độ đo hữu hạn cho P = {E : E ⊆ X, E ∩ Xi ∈ P , ∀i ∈ I} µE = P µ (E ∩ Xi ), ∀E ∈ P i∈I Ta gọi họ hXi ii∈I khai triển X 1.3.2 Nguyên tử phi nguyên tử Định nghĩa 1.3.3 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo Tập E ∈ µ µE > ∀F ∈ P nguyên tử P , F ⊆ E hai tập F, E\F bỏ qua Định nghĩa 1.3.4 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo Thì µ (X, P , µ) phi nguyên tử tán xạ khơng có ngun tử µ 1.4 Định lý trù mật Lebesgue Định lí 1.4.1 Cho I khoảng R cho f hàm giá trị thực mà nhận giá trị nguyên I x+h R Rx 1 f (x) = lim h h↓0 x f = lim h h↓0 f= x−h x+h R lim 2h f, ∀x h↓0 x−h ∈ I Hệ 1.4.2 Cho E ⊆ R tập đo lim 2h µ (E ∩ [x − h, x + h]) = h↓0 với hầu hết x ∈ E lim 2h µ (E ∩ [x − h, x + h]) = với hầu hết x ∈ R\E h↓0 15 1.5 1.5.1 Định lý Radon-Nikodym Định lý Radon-Nikodym Định lí 1.5.1 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo hàm ν : P → R Thì điều sau tương đương: i) Có hàm f µ-khả tích cho νE = R f, ∀E ∈ P E ii) ν cộng tính hữu hạn liên tục thực µ Mệnh đề 1.5.2 Cho (X, P , µ) khơng gian độ đo ν : P → R phiếm hàm cộng tính hữu hạn a Nếu ν cộng tính đếm ν liên tục tuyệt đối µ νE = µE = b ν liên tục thực µ khi: i ν cộng tính đếm ii ν liên tục tuyệt đối P P iii Với E ∈ νE 6= có F ∈ cho µF < ∞ µ (E ∩ F ) 6= P c Nếu (X, , µ) σ -hữu hạn ν liên tục thực µ ν cộng tính đếm liên tục tuyệt đối µ P d Nếu (X, , µ) hữu hạn hồn tồn ν liên tục thực µ ν liên tục tuyệt đối µ 1.5.2 Kỳ vọng có điều kiện P Định nghĩa 1.5.3 Cho (X, , µ) khơng gian xác suất khơng gian độ đo P với µX = Cho T ⊆ σ - đại số Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện f R R T hàm g µ T -khả tích cho gd (µ T ) = gdµ, ∀F ∈ T F 16 g Ta có g hàm T-đo xác định khắp nơi X 1.6 Tích vô hạn P Định nghĩa 1.6.1 Cho Xi , i , µi i∈I họ khơng gian xác suất Q Xi họ hàm x với tập xác định I cho x (i) ∈ Xi , ∀i ∈ I Trong Tập X = i∈I Q trường hợp ta nói mặt trụ đo tập X biểu diễn C = Ci i∈I P với Ci ∈ i , ∀i ∈ I {i : Ci 6= Xi } hữu hạn 1.7 Định lý Vitali Rr Định lí 1.7.1 Cho A ⊆ Rr tập bất kỳ, I họ hình trịn đóng khơng tầm thường Rr cho điểm A chứa phần tử nhỏ I có S tập đếm rời I0 ⊆ I cho µ (A\ I) = Hệ 1.7.2 a Nếu D ⊆ Rr tập lim µ δ↓0 ∗ (D∩B(x,δ)) µB(x,δ) = hầu hết x ∈ D = χE (x) b Nếu E ⊆ Rr tập đo lim µ(E∩B(x,δ)) µB(x,δ) δ↓0 c Nếu D ⊆ Rr f : D → R hàm hầu hết x ∈ D: lim δ↓0 µ∗ ({y : y ∈ D, |f (y) − f (x)| ≤ ε} ∩ B (x, δ)) = 1, ∀ε > µB (x, δ) d Nếu D ⊆ Rr f : D → R hàm đo với hầu hết x ∈ D: lim δ↓0 µ∗ ({y : y ∈ D, |f (y) − f (x)| ≥ ε} ∩ B (x, δ)) = 0, ∀ε > µB (x, δ) 17 1.8 Matingle Định lí 1.8.1 Martingale Levy P P Cho (X, , µ) khơng gian xác suất n n∈N dãy không tăng σ -đại số P P S P Viết ∞ cho σ -đại số sinh n Cho X biến ngẫu nhiên n∈N giá trị thực Ω với kỳ vọng hữu hạn với n ∈ N cho Xn kỳ vọng P có điều kiện X n Thì X∞ (ω) = lim Xn (ω) xác định với hầu hết lim E (|X∞ − Xn |) = X∞ n→∞ n→∞ P kỳ vọng có điều kiện X ∞ 1.9 1.9.1 Không gian Riesz Khơng gian tuyến tính phần Định nghĩa 1.9.1 Khơng gian tuyến tính phần khơng gian tuyến tính (U, +, ) R có thứ tự với ≤ cho: u≤v ⇒u+ω ≤v+ω u ≥ 0, v ≥ ⇒ αu ≥ với u, v, ω ∈ U, α ∈ R Định nghĩa 1.9.2 Tốn tử tuyến tính dương Cho U V hai khơng gian tuyến tính phần Viết L (U ; V ) cho tập tốn tử tuyến tính từ U đến V Nếu T ∈ L (U ; V ) T ≥ T gọi tốn tử tuyến tính dương 18 Định nghĩa 1.9.3 Đồng cấu Riesz Cho U, V khơng gian tuyến tính phần Một đồng cấu Riesz từ U đến V toán tử tuyến tính T : U → V cho với A ⊆ U tập hữu hạn không rỗng infA=0 U infT [A] = V 1.9.2 Không gian Riesz Định nghĩa 1.9.4 Một dàn tập (P, ≤) thứ tự phần cho p, q ∈ P bất kỳ: p ∨ q = sup {p, q} p ∧ q = inf {p, q} xác định P Định nghĩa 1.9.5 Không gian Riesz dàn vectơ khơng gian tuyến tính phần mà dàn 1.9.3 Dải Định nghĩa 1.9.6 Cho U không gian Riesz Một dải không gian chuẩn tắc U khơng gian tuyến tính phần Định nghĩa 1.9.7 Dải phép chiếu Cho U khơng gian Riesz Khi dải phép chiếu U tập V ⊆ U cho V + V ⊥ = U 1.9.4 Không gian Acsimet Định nghĩa 1.9.8 Cho không gian tuyến tính phần U thỏa mãn điều tương đương sau: i Nếu u, v ∈ U cho nu ≤ v, ∀n ∈ N u ≤ ii Nếu u ≥ U infδ>0 δu = U gọi khơng gian Acsimet 19 ... NÓI ĐẦU Chúng ta học tìm hiểu số cấu trúc đại số nhóm, vành, trường, Mở rộng lên chút tìm hiểu cấu trúc đại số độ đo xác suất phức tạp nhiều đại số Borel, đại số Bool, độ đo đại số, không gian... ∩N có phiếm hàm P (A, µ) độ đo đại số → A dãy liên tục có thứ tự Nguyên tắc phân loại độ đo đại số Định nghĩa 1.2.4 Cho (A, µ) độ đo đại số a Ta nói (A, µ) độ đo xác suất µ1 = b (A, µ) hữu hạn... Nếu (A, µ) độ đo đại số địa phương B đại số đóng A a ∈ A đại số E A sinh B ∪ {a} đóng 1.2.4 Đồng cấu Định nghĩa 1.2.8 Cho (A, µ) (B, ν) độ đo đại số Đồng cấu Bool π : A → B bảo toàn độ đo ν (πa)