CÁC PH NG PHÁP VÀ KĨ THU T GI IƯƠ Ậ Ả PH NG TRÌNH NGHI M NGUYÊNƯƠ Ệ I PH N M Đ UẦ Ở Ầ I 1 Lý do ch n đ tài ọ ề * M c đích c a gi ng d y đ i s trong nhà tr ng ph thông THCS là ụ ủ ả ạ ạ ố ườ ổ M r ng[.]
CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN I. PHẦN MỞ ĐẦU I.1. Lý do chọn đề tài: * Mục đích của giảng dạy đại số trong nhà trường phổ thơng THCS là: Mở rộng khái niệm về số Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số Hàm số Phương trình " PHƯƠNG TRÌNH" là 1trong 4 mục đích lớn cần đạt của việc giảng dạy đại số trong nhà trường phổ thơng THCS. Đây là một vấn đề xun suốt tồn cấp mang "tính kĩ thuật" có nhiều áp dụng thực tiễn, Khái niệm phương trình được hiểu một cách tường minh theo quan điểm hàm Có thể nói tư tưởng của khái niệm là tư tưởng hàm. Nội dung của khái niệm thể hiện ở kĩ thuật tìm nghiệm tức là giải phương trình. Giải phương trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tương đương phương trình đã cho đến một phương trình đơn giản nhất. Vì vậy dạy phương trình là chủ yếu làm cho học sinh nắm vững kĩ thuật giải pt (kĩ thuật tìm nghiệm) song khơng được coi nhẹ tư tưởng của phương trình là khái niệm hàm số * Trong q trình rèn luyện kĩ năng giải các phương trình đại số ở dạng tổng qt. Học sinh cịn được đề cập tới việc giải các phương trình mà u cầu nghiệm của phương trình thuộc tập Z. Nên cần định hướng cho các đối tượng học sinh nói chung và học sinh khá giỏi nói riêng, những ý tưởng, phương thức tìm nghiệm ngun của 1 phương trình và hình thành cho học sinh những phương pháp và kĩ thuật giải phương trình nghiệm ngun * Bài tốn tìm nghiệm ngun của pt đã được ẩn tàng ngay từ các lớp ở bậc tiểu học cho đến chương trình tốn cấp 2 (THCS); bắt đầu từ lớp 6 việc tìm các nghiệm ngun của 1 pt đã được đề cập tường minh hơn. Có thể nói: bài tốn tìm nghiệm ngun của pt đã được đề cập trong chương trình tốn phổ thơng nhất là đối với các đối tượng học sinh khá , giỏi * Song việc tìm nghiệm ngun của 1 pt ở chương trình phổ thơng đặc biệt là ở THCS chưa nêu ra cụ thể về cách giải cũng như các dạng bài tập mà thường nêu ra trong 1bài tốn tổng hợp hoặc những bài tốn ở các tài liệu tham khảo. Do vậy việc giải các pt nghiệm ngun ở các kì thi nhất là thi học sinh giỏi; thi vào các trường chun, học sinh cịn lúng túng chưa có đượccách định hướng và kĩ thuật giải * Thực trạng của việc dạy và học và giải pt nói chung và giải pt nghiệm ngun nói riêng trong các lớp THCS chưa có được 1 chương trình cụ thể chưa được định hướng về phương pháp và kĩ thuật giải mà người dạy thường theo một số kinh nghiệm và khai thác bài tập theo hướng chủ quan của họ nên kết quả của việc dạy giải bài tập loại này cịn hạn chế * Thực tế của chương trình và SGK khơng nêu ra phương pháp giải cho phương trình nghiệm ngun, song thực tiễn trong bài tập, trong các đề thi có u cầu tìm các giá trị ngun của nghiệm;địi hỏi học sinh phải định hướng được cách giải * Thực tế của việc dạy học ở các lớp THCS ,giáo viên chưa trang bị cho HS cách suy nghĩ ,cách giải về loại tốn này * Căn vứ vào thực tế của chương trình tốn THCS; thực tiễn của việc dạy và học ;ucầu của việc bồi dưỡng HS khá giỏi và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của HS trong hoạt động học tập. * Với các lý do trên nên tơi có ý tưởng xây dựng:Một số phương pháp và kỹ thuật tìm nghiệm cho một số phương trình ở chương trình tốn THCS I.2. Mục đích nghiên cứu * Các kỹ thuật, phương pháp tìm nghiệm ngun * Sự áp dụng các phương pháp tìm nghiệm vào các dạng phương trình nghiệm ngun * Các bài tốn có liên quan I.3. Thời gian, địa điểm Năm học: 2006 2007; 2007 2008 Địa điểm: Trường THCS Mạo Khê II I. 4. Đóng góp mới về mặt lí luận, thực tiễn * Xây dựng được quan niệm, cách suy nghĩ, cách khai thác các bài tốn trong tập Z. * Xây đựng được một số kỹ thuật và phương pháp giải phương trình nghiệm ngun trên cơ sở kiến thức,tri thức phương pháp đã có trong chương trình * Nêu được các ứng dụng của các phương pháp giải vào các dạng phương trình nghiệm ngun và một số ứng dụng của việc đi tìm nghịêm ngun với các bài tốn có liên quan * Nêu ra bài học kinh nghiệm và cách khắc phục những sai lầm cho học sinh II. PHẦN NỘI DUNG II.1. Chương 1: Tổng quan * Trong chương này chúng ta hình dung được: Một số khái niệm: Giải phương trình chứa các ẩn x; y; t trong tập Z là tìm tất cả các bộ số ngun ( x, y , t, ) thoả mãn phương trình đó Khi giải phương trình với nghiệm ngun do phải lợi dụng các tính chất của tập Z nên ngồi các biến đổi tương đương ta cịn dùng đến các biến đổi mà các giá trị của ẩn mới chỉ thoả mãn điều kiện cần ( chứ chưa phải điều kiện cần và đủ của nghiệm ). Trong trường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó bằng cách thử vào phương trình đã cho. Vì thế việc giải một " Phương trình nghiệm ngun" thường gồm hai bước: Bước1: Giả sử phương trình có nghiệm ngun ( x0; y0; t0, ) ta suy ra các ẩn phải nhận các giá trị nào đó Bước 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để kết luận tập nghiệm của phương trình Để đơn giản trong nhiều trường hợp (bài tốn) bước 1 khơng tách riêng một cách tường minh và các giá trị x0, y0, t0 Vẫn được biểu thị bởi x, y, t Với bài tốn các phép biến đổi đến tương đương ta khơng cần bước hai Một phương trình nghiệm ngun có thể vơ nghiệm; vơ số nghiệm, hữu hạn nghiệm. Trường hợp phương trình có vơ số nghiệm ngun . Các nghiệm ngun của phương trình thường được biểu thị bởi cơng thức có chứa tham số là số ngun Sau đây tơi xin giới thiệu một số kĩ thuậtvà phương pháp thường dùng để giải các phương trình nghiệm ngun trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi * Kỹ thuật sử dụng tính chia hết * Kỹ thuật xét số của từng vế * Kỹ thuật dùng bất đẳng thức * Sử dụng các tính chất của số chính phương Nêu ra các ứng dụng của các phương pháp giải phương trình nghiệm ngun vào 1số dạng phương trình nghiệm ngun Tìm điều kiện của tham số có trong phương trình sao cho các nghiệm của pt đều là số ngun Vận dụng các phương pháp giải vào các bài tốn có liên quan Nêu ra các bài học kinh nghiệm II.2. Chương II: Nội dung vấn đề cần nghiên cứu II.2.1. Các Kỹ thuật và phương pháp tìm nghiệm ngun của phương trình II.2.1.1. Kỹ thuật sử dụng tính chia hết a) Phát hiện tính chia hết của 1 ẩn * Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun của phương trình 3x + 17y 159 = 0. (1) * Giải: Ta có phương trình tương đương 3x + 17y = 159 Nhận thấy 159 3; 3x 3. Suy ra: 17y = 159 3x 17y 3. Do (17, 3) = 1 y 3 Ta đặt y = 3t (t Z) thay vào (1) có: 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 x = 53 17t (t Z) y = 3t Thử lại: Thay x, y vào (1) thoả mãn. Vậy (1) có vơ số nghiệm ngun (x; y) được biểu thị bởi cơng thức: b) Đưa về phương trình ước số: * Khi giải phương trình ta đưa phương trình: f(x, y) = m (1) về dạng: f1 (x).f2 (y) = k. (2) (m, k Z) Ta coi (2) là phương trình ước số: Vế trái là tích các thừa số ngun * Ví dụ: Giải phương trình trong Z: xy y x 2 = 0 (*) Trước hết ta biến đổi phương trình: (*) x(y 1) (y 1) = 3 (y 1)(x 1) = 3 (đây chính là phương trình ước số) ta coi (y 1); (x 1) là các ướ của 3 vì 3 > 0 (x 1)(y 1) cùng dấu: Ta có: x 1 1 3 x 2 y 1 3 1 y 2 c) Tách ra các giá trị ngun: Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của pt: x(y 2) = y + 2 Giải: Biểu thị x theo y ta có: x = x = ( y 2) y y y (y 2) (với y = 2 pt vơ nghiệm) y vì x, y ngun (y 2) nên: y 2 là ước của 4 Ta có: y 2 4; 2; 1 y 6; 2; 4; 0; 3; 1 (x, y) (0; 2); (3; 4); (3; 1); (1; 0); (2; 6); (5; 3) * Chú ý: Với ví dụ xy y x 2 = 0 ta cũng làm như trên (coi đây là cách giải 2) II.2.1.2. Xét theo số dư từng vế của phương trình: * Dựa vào số dư ở mỗi vế của pt khi chia cho cùng một số ta có thể kết luận được nghiệm của pt hoặc có thể biểu thị ẩn theo phép chia có dư a) Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Các pt sau khơng có nghiệm ngun 1) x2 y2 = 1998; 2) x2 + y2 = 1999 Ở (1): Dễ chứng minh được x2, y2 chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 x2 y2 chia cho 4 chỉ có số dư là 0, 1, 3. Cịn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy pt đã cho vơ nghiệm Ở (2): Tương tự ta có: x2 + y2 chia cho 4 dư: 0; 1; 2. Vế phải: 1999 chia cho 4 dư 3 Vậy pt vơ nghiệm b) Ví dụ 2: Tìm các nghiệm ngun của pt: y2 + y 9x = 2 (*) Ta có: (*) 9x + 2 = y(y + 1) Vế trái (*) chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2 Suy ra: y = 3k + 1, y + 1 = 3k + 2 (k Z) 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2) 9x = 9k(k + 1) x = k(k + 1) * Thử lại: x = k(k + 1); y = 3k + 1 thoả mãn (*) x = k(k +1) Vậy: Nghiệm của pt là (k Z) y = 3k + 1 II.2.1.3. Dùng bất đẳng thức: a) Phương pháp sắp thứ tự các ẩn: * Ví dụ: Tìm 3 số ngun dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Giải: Gọi các số ngun cần tìm là x,y,t. Ta có: x + y + t = x y t (1) Vì x, y, t có vai trị bình đẳng trong pt nên có thể sắp thứ tự giá trị các ẩn chẳng hạn: t y x 1 x + y + t 3t hay xyt 3t xy 3 xy 1; 2; 3 Với xy=1 Tacó : x=1; y = 1 . Thay vào (1) được: 2+t = t (loại) Với xy =2 Ta có: x=1 ; y =2 ; Thay vào (1) được: t = 3 ã Với xy = 3 Ta có: x=1; y=3 Thay vào (1) có : t=2 (loại) vì y t Vậy 3số phải tìm là: 1; 2; 3 b) Xét từng khoảng giá trị của ẩn: * Ví dụ: Tìm các nghiệm ngun dương của pt: x y Do vai trị bình đẳng của x và y Ta có thể giả sử x y . Hiển nhiên có : y 3. Do x y 1 Suy ra x y Nên Ta xác định được miền giá trị của y: 4 y 6 x ã Với y = 5 Ta có x ã Với y = 6 Ta có x ã Với y = 4 ta có: x y 2 ; y y 3 y 6 1 x= 12 12 Suy ra x Z. Kết luận: Các nghiệm của pt là: 15 Suy ra x=6. (4; 12) ; (12; 4) ; (6; 6) c) Chỉ ra một số nghiệm rồi chứng minh pt chỉ có những nghiệm đó ( hoặc chứng minh pt chỉ có nghiệm duy nhất) * Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 5x; chia cả 2 vế cho 5x 5 Viết pt dưới dạng: ( )x + ( )x = 1 (1) Với x = 0 (1) vơ nghiệm Với x = 1 (1) thoả mãn ( x = 1 là nghiệm) Ta chứng minh cho x = 1 là 1 nghiệm duy nhất của pt đã cho Với x 2 thì: ( )x 5 x ( ) +( )x 1 5 ( )x Nên pt vơ nghiệm với x 2 Vậy p t chỉ có 1 nghiệm là x = 1 x * Ta cũng có thể tìm nghiệm ngun dương của pt: + 1 bằng phương + = x x pháp trên d) Sử dụng điều kiện có nghiệm số của một pt bậc hai 2 * Ta viết pt f(x,y) = 0 dưới dạng pt bậc 2 đối với 1 ẩn (chẳng hạn x) khi đó y là tham số Điều kiện cần để pt bậc 2 có nghiệm là 0 (Để có nghiệm ngun cịn cần là số chính phương) * Ví dụ: Tìm các nghiệm ngun của pt: x2 + y2 xy x y = 0 (1) Ta biến đổi thành pt: x2 (y + 1) x + (y2 y) = 0 (2) ( Nhờ đổi tham số coi x là ẩn; y là tham số) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0 (y + 1)2 4 (y2 y) 0 3y2 + 6y + 1 0 3y2 6y 1 0 3(y 1)2 4 (y 1)2 1 Suy ra: y 1 1 0 y 2 y 0; 1; 2 Với y = 0 thay vào (2) được: x2 x = 0 x1 = 0; x2 = 1 Với y = 1 thay vào (2) được: x2 2x = 0 x3 = 0; x4 = 2 Với y = 2 thay vào (2) được: x2 3x + 2 = 0 x5 = 1; x6 = 2 * Thử lại: Các giá trị trên thoả (1) ta có 6 nghiệm (0; 0); (1; 0); (0; 1); (2; 1); (1; 2); (2; 2) * Chú ý: ta có thể dùng cách viết (1) dưới dạng "tổng các bình phương": (x 1)2 + (y 1)2 + (x y)2 = 2 Song nhờ nhận xét vế trái là tổng của 3 số chính phương có giá trị bằng 2 nên tồn tại một số bằng 0 Nếu x 1 = 0. Cho đáp số: (1; 0); (1; 2) Nếu y 1 = 0. Cho đáp số: (0; 1); (2; 1) Nếu x y = 0. Cho đáp số: (0; 0); (2; 2) II.2.1.4. Sử dụng tính chất của số chính phương a) Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương Số chính phương khơng có tận cùng bằng 2; 3; 7; 8 Số chính phương chia hết cho số ngun tố k thì chia hết cho k2 Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0; 1 Số chính phương chia cho 4 có số dư là 0; 1 Số chính phương chia cho 8 có số dư là 0; 1; 4 * Ví dụ: Tìm các số ngun x để 9x + 5 là tích của 2 số ngun liên tiếp Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n Z 36x + 20 = 4n2 + 4n 36x + 21= 4n2 + 4n + 1 3(12x + 7) = (2n + 1)2 Nhận thấy số chính phương (2n + 1)2 = 3(12x + 7) (2n + 1)2 3 nên chia hết cho 9. Mà (12x+7) khơng chia hết cho 3 12x+7 khơng chia hết cho 9 Mâu thuẫn này chứng tỏ khơng có x Z để 9x + 5= n(n + 1) * Chú ý: Có thể làm theo cách khác như sau: 9x + 5 = n(n + 1) n2 + n (9x + 5) = 0 (*) (*) có nghiệm ngun khi là số chính phương (coi (*) là pt bậc hai ẩn n) Nhưng = 1 + 4.(9x + 5) = 36x + 21 chia hết cho 3 nhưng khơng chia hết cho 9. Nên khơng là số chính phương. Vậy khơng tồn tại n Z để 9x + 5 = n(n + 1) b) Tạo ra bình phương đúng: * Ví dụ: Tìm các nghiệm ngun của pt: 2x2 + 3y2 = 19 4x. (1) Ta có thể tạo ra bình phương đúng như sau: (1) 2x2 + 4x + 2= 3(7 y2) 2(x + 1)2 = 3(7 y2). (2) Suy ra: 3(7 y2) 2 (7 y2) 2 y lẻ Do: 7 y2 0 y2 = 1 khi đó (2) có dạng: x + 1 = 3 x = 2 2(x + 1)2 = 18 (x + 1)2 = 9 x + 1= 3 x = 4 Từ đó có các nghiệm là: (2; 1); (2; 1); (4; 1); (4; 1) c) Xét các số chính phương liên tiếp: * Ta chú ý ngun lý sau: " ở giửa 2 số chính phương liên tiếp khơng có số chính phương nào ". Do đó với mọi a, x Z ta có: Khơng tồn tại x sao cho : a2