Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 165 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
165
Dung lượng
3,45 MB
Nội dung
1 ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM 2018 - 2019 Câu (4,0 điểm): Tính giá trị biểu thức: a) A =−37 + 54 + ( −70 ) + ( −163) + 246 b) B = 125 ( −61) ( −2 ) ( −1) (n ∈ * ) 2n c) C =1 + – – + + – − + 2014 – 2015 – 2016 + 2017 + 2018 d) D = 32 32 32 32 32 + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 Câu (5,0 điểm): 2 1 Tìm x biết: a) x − :1 + = 3 2 b) x − 1 + = Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2, Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 Tìm n ∈ * biết n < 30 để số 3n + 5n + có ước chung lớn Câu (4,0 điểm): Tìm tất chữ số a, b, c thỏa mãn: abc − cba = 6b3 Tìm số phương có ba chữ số biết chia hết cho 56 Chứng minh : A 75 ( 42018 + 42017 + + 42 + ) + 25 chia hết cho 42019 = Câu (5,0 điểm): = 5. Cho góc AOB góc BOC hai góc kề bù Biết BOC AOB Tính số đo góc AOB góc BOC Gọi OD tia phân giác góc BOC Tính số đo góc AOD Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC chứa tia OB vẽ thêm 2019 tia phân biệt (không trùng với tia OA, OB, OC , OD cho) có tất góc Câu (2,0 điểm): 99 100 Chứng minh A = − + − + + 99 − 100 < 3 3 3 16 Tìm tất số nguyên tố p, q cho p + q pq + 11 số nguyên tố Hết LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỐN HUYỆN HOẰNG HĨA NĂM 2018 - 2019 Câu 1: a) A =−37 + 54 + ( −70 ) + ( −163) + 246 =( 54 + 246 ) + ( −37 ) + ( −163) + ( −70 ) = 300 + ( −200 ) + ( −70 ) =30 Vậy A = 30 b) B = 125 ( −61) ( −2 ) ( −1) (n ∈ * ) 2n = 125 ( −8 ) ( −61) 1= 61000 Vậy 61000 B= c) C =1 + – – + + – − + 2014 – 2015 – 2016 + 2017 + 2018 =1 + ( – – + ) + ( – – + ) + + ( 2014 – 2015 – 2016 + 2017 ) + 2018 = + 2018 = 2019 Vậy C = 2019 32 32 32 32 32 + + + + d) D = 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 15 45 1 1 1 1 = − + − + + − = − = 3 = 34 34 14 17 2 5 17 45 Vậy D = 34 Câu 2: Tìm x biết: 2 1 2 a) x − :1 + = ⇒ ( x − ):1 = 1⇒ x − = ⇒ x = 3 2 3 3 Vậy 2 x= b) x − 1 1 + = ⇒ 2x − = 6 TH1: x − 1 = ⇒ x = 6 TH2: x − 1 = − ⇒x = 6 1 Vậy x ∈ 0; 6 Tìm tất chữ số x, y cho 2019xy chia hết cho 2, Ta có 2019xy chia hết cho ⇒ y = Lại có 2019xy nên ( + + + + x + ) ⇒ (12 + x ) ⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9} Vậy ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( 3;0 ) ; ( 6;0 ) ; ( 9;0 )} Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 ( y + 1) x + y + 1= 41 ⇔ ( x + 1)( y + 1)= 41 Mà x, y nguyên x + y + ước 41 Tính ( x, y ) ∈ {( 40;0 ) ; ( 0; 40 ) ; ( −2; −42 ) ; ( −42; −2 )} Vậy ( x, y ) ∈ {( 40;0 ) ; ( 0; 40 ) ; ( −2; −42 ) ; ( −42; −2 )} Tìm n ∈ * biết n < 30 để số 3n + 5n + có ước chung lớn Gọi d ước chung 3n + 5n + ( d ∈ * ) Ta có 3n + 4 d 5n + 1 d nên ( 3n + ) – ( 5n + 1) d ⇔ 17 d ⇒ d ∈ {1;17} Để 3n + 5n + có ước chung lớn 1, ta phải có 3n + 417 hay ( n –10 )17 mà UCLN ( 3 ; 17 ) = nên ( n –10 )17 n= –10 17 k (k ∈ ) Vì n ∈ , n < 30 ⇒ −10 ≤ n –10 < 20 nên k ∈ {0 ; 1} Với k = ⇒ n = 10 , 3.10 + 417 5.10 + 117 (thỏa mãn) Với k =1 ⇒ n =27 , 3.27 + 417 5.27 + 117 (thỏa mãn) Vậy n ∈ {10 ; 27} Câu 3: Điều kiện : a, b, c ∈ N , < a, c ≤ 9; 0 ≤ b ≤9 6b3 Vì abc − cba = 6b3 ⇒ 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 6b3 ⇒ 99 ( a − c ) = ⇒ 6b3 99 ⇒ b = ⇒ a= − c 693= : 99 ⇒ a = + c Do < a ≤ ⇒ < c + ≤ ⇒ c = c = (vì c ≠ ) Với c =1 ⇒ a = Với c = ⇒ a = Vậy= a 9,= b 9,= c hoặc= a 8,= b 9,= c 1 Gọi số phương : xyz với ≤ x ≤ 9; ≤ y; z ≤ xyz = k ta có: k 56 = l 4.14l ( k ∈; l ∈ ) : = xyz = 56l suy ra: l = 14h 1 ( ) với h ∈ mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999 ⇒ ≤ l ≤ 17 ( ) , từ (1) (2) suy ra: h = , l = 14 nên số phương phải tìm là: 784 Vậy số cần tìm 784 Chứng minh : A 75 ( 42018 + 42017 + + 42 + ) + 25 chia hết cho 42019 = Đặt M= 42018 + 42017 + + 42 + 5= 42018 + 42017 + + 42 + + M= ( 42018 + 42017 + + 42 + + 1=) 42019 + 42018 + + 43 + 42 + 4M – M = (4 2019 + 42018 + + 43 + 42 + ) – ( 42018 + 42017 + + 42 + + 1) 3= M 42019 –1 ⇒ = M (4 2019 –1) : A 75 ( 42019 –1)= : + 25 25 ( 42019 –1) + 25 = = 25 42019 −25 = + 25 25.42019 chia hết cho 42019 Câu 4: D C A O hai góc kề bù nên = Vì AOB BOC AOB + BOC 180° B 180° = 5. AOB = =° 30 mà BOC AOB nên 6. AOB = 1800 ⇒ ⇒ BOC = 5.30 = ° 150° 1 = DOC = BOC = 75° Vì OD tia phân giác góc BOC nên BOD = 1800 Vì góc AOD góc DOC hai góc kề bù nên AOD + DOC = 180° – 75° = 105° Do AOD = 180° − DOC Tất có 2019 + = 2023 tia phân biệt Cứ tia 2023 tia tạo với 2023 –1 = 2022 tia lại thành 2022 góc Có 2023 tia nên tạo thành 2023.2022 góc, góc tính hai lần Vậy có tất 2023.2022 = 2045253 góc Câu 99 100 A = − + − + + 99 − 100 < 3 3 3 16 99 100 ⇒ A = − + − + + 98 − 99 3 3 1 1 100 ⇒ A = − + − + + 98 − 99 − 100 3 3 3 1 1 ⇒ A < − + − + + 98 − 99 3 3 (1) 1 1 Đặt B = − + − + + 98 − 99 3 3 1 1 ⇒ 3B= + − + + + 97 − 98 3 3 3− ⇒ B =B + 3B = < ⇒ B nên hợp số KL: Vậy p = số nguyên tố thỏa mãn đề Câu 8: + xOb yOB kề bù ⇒ xOb yOb =180° b c ⇒ = 180° − xOb yOb a = 180° − 100°= 80° Oc tia phân giác yOb nên yOc = yOb = 80°= 40° y x O + xOa yOa kề bù nên xOa yOa =180° ⇒ yOa = 180° − 40= ° 140° Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy có yOc < yOa ( 40° < 140° ) nên tia Oc nằm hai tia Oy Oa = ⇒ yOc + cOa yOa = ° 100° ⇒ cOa yOa − yOc= 140° − 40= Câu 9: Có n đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy, nên đường thẳng cắt n − đường thẳng lại tạo n − giao điểm phân biệt Do n đường thẳng có n(n – 1) giao điểm giao điểm tính lần Vậy thực tế có Theo ta có: n(n − 1) giao điểm n(n − 1) = 465 ⇒ n(n − 1)= 930= 31.30 ⇒n= 31 Vậy n = 31 Câu 10: Giả sử buổi giao lưu, ngồi Bình cịn có n người nữa, Bình có k người quen (ĐK: k , n ∈ Ν, k ≤ n ) Số lần bắt tay n người khác (khơng kể Bình) là: n ( n − 1) (lần) Số lần bắt tay Bình người quen Bình k (lần) 10 Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên : n ( n − 1) 420 +k = 840 (*) Hay: n ( n − 1) + 2k = Vì k , n ∈ Ν, ≤ k ≤ n nên n − n ≤ n ( n − 1) + 2k ≤ n − n + 2n Hay n − n ≤ n ( n − 1) + 2k ≤ n + n Kết hợp với (*) suy n − n ≤ 840 ≤ n + n ⇔ ( n − 1) n ≤ 840 ≤ n ( n + 1) Ta có: 28.29 ≤ 840 ≤ 29.30 nên n=29 Thay vào (*) tính k=14 Vậy Bình có 14 người quen ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019 (5 điểm) Tính hợp lí 75.54 + 175.54 1) A = 20.25.125 − 625.75 51.125 − 51.42 − 17.150 2) B = + + + + 99 1 3) C = + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 Bài 2: (6 điểm) 1) Tìm x, y biết 124 xy 45 2) Tìm p nguyên tố để p + 10 p + 26 số nguyên tố 3) Tìm số tự nhiên nhỏ lớn 10 , biết số chia cho 5;6;7 có số dư 3; 2;1 Bài 3: (3 điểm) Một người mang cam chợ bán Người thứ mua số cam Người thứ hai mua 20% số cam lại thêm 12 Người thứ ba mua 25% số cam lại thêm Người thứ tư mua số cam lại 12 vừa hết Tính số cam người mang bán Bài 4: (5 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm A Trên hai mặt phẳng đối bờ đường thẳng xy lấy M , N cho MAx = xAN = 120° Bài 1: a) Tính số đo MAN b) Gọi AP tia đối tia AM Chứng minh AP tia phân giác xAN Bài 5: (1 điểm) Một hộp bi có 2019 viên bi Hai bạn chơi bốc bi khỏi hộp, lần lấy từ đến viên bi Hai bạn thay bốc, bốc viên bi cuối 151 A= (3.4) 416 11.213.411 Cho A = Tính 7 11 + + + + + + B = 7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57 A B 92 1 239 118 + + + − 2004 1981 1986 12 C = Câu (2,0 điểm) Tìm x biết: − 5.( x − 2) =3 + 2.(4 − x) 25 257 (không quy đồng) 13 137 So sánh: Câu (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số cho số chia dư chia 11 dư Cho a , b ∈ * thỏa mãn ( a ; b) = Chứng minh rằng: (a + b ; ab) = Câu (3,5 điểm) Cho A = 3n − 13 ( n ∈ ) n −1 a) Tìm n nguyên để A nguyên b) Tìm n nguyên để A phân số tối giản Cho a, b ∈ Chứng minh rằng: (4a + b) ⇔ (a + 4b)5 Câu (5,5 điểm) = 80° = 30° xOz Trên mặt phẳng cho xOy a) Tính yOz b) Gọi Om ; On tia phân giác xOy yOz Tính mOn Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt cho điểm 2019 điểm ta ln tìm điểm có khoảng cách nhỏ cm Chứng minh rằng: Sẽ tồn 1010 điểm nằm đường trịn có bán kính cm Câu (3,0 điểm) Cho M = 631 Chứng minh rằng: M < 0,04 632 152 2 Cho x , y số nguyên thỏa mãn: x + 2019 x = 2020 y + y Chứng minh rằng: x − y số phương LỜI GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019 Câu (3.4) 416 Ta có A = 11.213.411 9.214 32.42.45 9.47 9.(22 )7 = = = = = 22 11.213 11.213 11.213 11.213 Vậy A = 22 Ta có A = ⇒ + + + 7.31 7.41 10.41 10.57 A + + + = 35.31 35.41 50.41 50.57 A 35 − 31 41 − 35 50 − 41 57 − 50 + + + = 35.31 35.41 50.41 50.57 1 A 1 1 1 1 − = − + − + − + − = 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57 1 = ⇒ A − 31 57 Lại có: B = ⇒ 11 + + + 19.31 19.43 23.43 23.57 11 B = + + + 38.31 38.43 46.43 46.57 = 38 − 31 43 − 38 46 − 43 57 − 46 + + + 38.31 38.43 46.43 46.57 = 1 1 1 1 1 − − + − + − + − = 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57 1 = ⇒ B − 31 57 1 − A 31 57 = = Từ suy B 1 2 − 31 57 153 Vậy A = B Ta có: 92 1 239 118 = C + + + − 2004 1981 1986 12 92 7 239 118 + + C= − 2004 1981 1986 12 12 92 239 118 + + C= = 2004 1981 1986 Vậy C = Câu 2: Ta có: − 5.( x − 2) =3 + 2.(4 − x) − 5.2 − 5.(−2) = + 2.4 + 2.(− x) − x + 10 = + − 2x −5 x + x = + − − 10 −3 x = −6 x=2 Vậy x = Ta có: 25 12 120 1 =+ =+ 13 13 130 257 120 = 1+ 137 137 Vì Câu 3: 25 257 120 120 > nên > 13 137 130 137 Gọi A số cần tìm ( A∈ 100 < A < 999 ) A chia dư nên = A m + ⇔ A + = m + (m ∈ ) chia hết cho A chia 11 dư nên = A 11n + ⇔ A + 6= 11n + 11 (n ∈ ) chia hết cho 11 Ta thấy: 35 suy A + + 35= A + 39 chia hết cho (1) 3311 suy A + + 33= A + 39 chia hết cho 11 (2) Từ (1) (2) suy A + 39 chia hết cho BCNN (7;11) = 77 A 77.k − 39 (k ∈ *) ⇒= Để A nhỏ có ba chữ số ta chọn k = A = 115 Vậy số cần tìm 115 154 2 Gọi UCLN (a + b ; ab) d Suy a + b chia hết cho d ab chia hết cho d Do ab chia hết cho d nên a d b d Với a d mà a + b chia hết cho d suy b d Với b d mà a + b chia hết cho d suy a d Từ suy a d b d hay d ∈ UC ( a; b) Mà UCLN ( a; b) = nên UC ( a= ; b) U= (1) Suy d = Vậy (a + b ; ab) = 1 a) Ta có: A= Câu 4: 3n − 13 3n − − 10 3(n − 1) − 10 10 = = = 3− n −1 n −1 n −1 n −1 Để A nguyên 10 chia hết cho n − hay n − = Ư (10) = { ± 1; ±2; ±5; ±10} n −1 −10 −5 −2 −1 10 n −9 −4 −1 11 ⇒ n ∈ { − 9; −4; −1;0;2;3;6;11} Vậy nới n ∈ { − 9; −4; −1;0;2;3;6;11} A nguyên b) Gọi d UCLN (3n − 13, n − 1) Nên suy ra: 3n − 13 d 3n − 13 d ⇒ 3.(n − 1) d n − d ⇒ 3n − 13 − 3(n − 1) d 3n − 13 − 3n + =−10 d ⇒ d ∈ { ± 1; ±2; ±5; ±10} Nếu d = n − ⇒ n − = 2k ⇒ = n 2k + ( k ∈ * ) (1) = 2.3k + −= 13 2.3k −= 10 2(3k − 5) ⇒ 3n − 13= 3(2k + 1) − 13 (2) Nếu d = n − ⇒ n − 1= 5k ⇒ n = 5k + ( k ∈ * ) (3) ⇒ 3n − 13= 3(5k + 1) − 13= 15k − 10= 5(3k − 2) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: n − 10 3n − 13 10 Để phân số Câu 5: 3n − 13 phân số tối giản n ≠ { 2k + 1; 5k + 1; 10k + 1} n −1 155 (do 30° < 80° ), < xOz a) Trên nửa mặt phẳng có bờ tia Ox ta có xOy nên tia Oy nằm tia Ox Oz Ta có: + xOy yOz = xOz z 30° + yOz= 80° n y ⇒ yOz= 80° − 30°= 50° Vậy yOz= 50° m b) Do Om ; On tia phân giác xOy yOz nên ta có: = zOy = 25° ; nOy x = xOy = 15° mOy + nOy = 25° + 15°= 40° = mOy ⇒ mOn = 40° Vậy mOn Nếu khoảng cách hai điểm bé ta cần chọn điểm A số 2019 điểm cho, vẽ đường tròn ( A,1) , đường tròn chứa 2018 điểm cịn lại, ta có điều phải chứng minh Giả sử có hai điểm A B 2019 điểm cho mà có khoảng cách lớn Vẽ đường tròn tâm A , B bán kính Ta cịn lại 2017 điểm Mỗi điểm C số 2017 điểm Theo AB, AC , BC phải có đoạn thẳng có độ dài bé Vì AB > nên BC < AC < Do C nằm đường tròn ( A,1) B nằm đường tròn ( B,1) Do có 2017 điểm C nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn 2017 1009 điểm nằm đường tròn + = Giả sử đường tròn ( A,1) Cùng với điểm A ta có 1010 điểm nằm đường trịn ( A,1) (đpcm) Câu 6: Đặt N = 632 633 631 632 1 ⇒ M N = = 632 633 633 156 Mà 631 633 < ; < ; …; < nên M < M N ⇒ M < 0,39 632 632 Vậy M < 0,04 (đpcm) 2 2 x2 Ta có: x + 2019 x = 2020 y + y ⇒ 2020 x − 2020 y + x − y = 2020( x − y ) + ( x − y ) = x2 2020( x − y )( x + y ) + ( x − y ) = x2 ( x − y )(2020 x + 2020 y + 1) = x2 (1) Gọi d ước chung lớn x − y 2020 x + 2020 y + (2020 x + 2020 y + 1) + 2020( x − y ) chia hết cho d ⇒ 4040 x + chia hết cho d Mặt khác, từ (1) ta có: x chia hết cho d suy x chia hết cho d Từ 4040 x + chia hết cho d mà x chia hết cho d ta có chia hết cho d ⇒d = hay UCLN ( x − y, 2020 x + 2020 y + 1) = Từ suy x − y 2020 x + 2020 y + số nguyên tố nhau, thỏa mãn (1) nên chúng số phương Vậy x − y số phương (đpcm) ĐỀ SỐ 39: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI - NĂM 2019 Câu (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lý: 1 1 1 + + + + + + 9120 9506 9900 A = 12 30 50 51 52 97 98 99 50 − − − − − − − 51 52 53 98 99 100 Câu (5,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p cho p − 1; p + số nguyên tố 2) Cho biểu thức: B = a b c d + + + b+a+c a+b+d b+c+d c+d +a Tìm số nguyên dương a, b, c, d cho biểu thức B có giá trị số nguyên Câu (5,0 điểm) n+2 phân số tối giản n−4 2018! 2018! 2018! 2018! + + + + 2) Cho biểu thức E =2018!+ 2017 2018 1) Tìm số nguyên dương n (với n ≠ ) cho M = 157 Chứng minh rằng: E 2019 Câu (5,0 điểm) Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ tia OB , OC cho AOB = x (độ), AOD cho AOD , AOC hai góc kề AOC = ( x + 10 ) (độ) Vẽ AOD= ( x + 10) (độ) với < x ≤ 55 khơng? Tại sao? 1) Nếu x = 300 tia OB có phải tia phân giác COD 2) Tìm tất giá trị nguyên x để tia OB không nằm hai tia OC OD Câu (2,0 điểm) Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống mặt bàn năm mặt nhìn thấy súc sắc (khi súc sắc đứng yên) tìm thấy hay nhiều mặt có tổng số chia hết cho LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI- NĂM 2019 Câu Xét tử: 1 1 1 + + T =+ + + + 12 30 9120 9506 9900 1 1 1 + + + + + + T= 1.2 3.4 5.6 95.96 97.98 99.100 1 1 1 T =1 − + − + + − + − 97 98 99 100 1 1 1 1 1 T = 1 + + + + + + + + − + + + + 97 98 99 100 98 100 2 1 1 1 1 T = 1 + + + + + + + − 1 + + + + 99 100 49 50 1 1 T = + + + + + (1) 51 52 53 99 100 Xét mẫu: 50 51 52 97 98 99 − − − − − − 51 52 53 98 99 100 99 50 51 98 M = 1 − + 1 − + + 1 − + 1 − 51 52 99 100 1 1 M = + + + + (2) 51 52 99 100 M = 50 − Từ (1) (2) suy ra: tử mẫu Do đó: A = 158 Câu 1) Xét p = , p − 1= 2.2 − 1= (là số nguyên tố) p + = 22 + = (là hợp số) Vậy p = không thỏa mãn Xét p = , khi p − 1= 2.3 − 1= (là số nguyên tố) p + = 32 + = 11 (là số nguyên tố) Vậy p = giá trị cần tìm Xét p số nguyên tố lớn ⇒ p có hai dạng p =3k + 1; p =3k + (k ∈ , k ≥ 1) Nếu = p 3k + p + 2= ( 3k + 1) + 2= ( 3k + 1)( 3k + 1) + 2= = ( 9k 9k + 3k + 3k + + 2 + 6k + ) Do p > ⇒ p + > mà p + 2 ⇒ p + hợp số (loại) p 3k + p − 1= ( 3k + ) − 1= 6k + − 1= 6k + 3 Nếu = Do p > ⇒ p − > mà p − 1 ⇒ p − hợp số (loại) Vậy p = giá trị cần tìm 2) Do a, b, c, d số nguyên dương nên a, b, c, d > Ta có: a a+b+c+d b a+b+c+d c a+b+c+d d a+b+c+d a a < b+a+c a+b b b < < a+b+d a+b c c < < b+c+d c+d d d < < a+d +c c+d < (1) (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3) (4) suy < B < Do B khơng phải số ngun Vậy, khơng có số ngun dương a, b, c, d để B có giá trị số nguyên Câu 1) Giả sử n + 2 d n − 4 d Để phân số M = n+2 phân số tối giản d = ±1 n−4 Nếu n + 2 d n − 4 d ⇒ ( n + ) − ( n − ) d ⇒ 6 d ⇒ d ∈ {±1; ±2; ±3; ±6} Để M phân số tối giản d ≠ ±2; ±3 ⇒ d ≠ 2, d ≠ 159 (Nếu tử mẫu khơng chia hết cho khơng chia hết cho 6) +) Nếu d ≠ n + không chia hết cho 2, n không chia hết cho ⇒ n ≠ 2k1 (k1 ∈ * ) +) Nếu d ≠ n + không chia hết cho 3, ( n − 1) + không chia hết cho ⇒ n ≠ 3k2 + 1(k2 ∈ ) Vậy với n ≠ 2k1 (k1 ∈ * ) n ≠ 3k2 + 1(k2 ∈ ) hay n số nguyên dương lẻ, chia hết cho hoặc chia cho dư M = n+2 phân số tối giản n−4 2) Vì 2019 = 3.673 mà 673 hai số nguyên tố Để Chứng minh E 2019 ta chứng minh E E 673 Ta xét số hạng E 2018! = 1.2.3 2018 có chứa thừa số 673 Do 2018! 3.673 2018! 2018! 3.673 có chứa thừa số 673 Do 2 2018! 2018! 3.673 có chứa thừa số 673 Do 2018! Lần lượt ta thấy tất số hạng lại (trừ ) chứa thừa số 673 673 nên số hạng chia hết cho 673 Số 2018! 2018! 3.673 có chứa thừa số thừa số 1346 chia hết cho 673 Nên 673 673 Vậy tất số hạng E chia hết cho 3.673 Do đó: E 2019 Câu C B A O D 1) Nếu x = 300 AOB =300, AOD = 400 AOC = 1000, +) Trên nửa mặt phẳng bờ OA có AOB < AOC , (300 < 1000) nên tia OB nằm hai tia OA OC Ta có: + = AOC = BOC AOB ⇒ BOC AOC − AOB = 1000 − 300 = 700 160 +) Do AOC AOD hai góc kề nên tia hai tia OD OC nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa tia OA Mặt khác OB OC thuộc nửa mặt phảng có bờ chứa tia OA nên hai tia OB OD nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia OA mà AOD + AOB =700 < 1800 Nên tia OA nằm hai tia OB OD = Khi ta có: BOD AOD + AOB = 700 +) Do AOC AOD hai góc kề mà AOC + AOD =1400 < 1800 nên tia OA = DOA + nằm hai tia OD OC Suy ra: DOC AOC =1400 = 1400 Vậy ta có: BOD = BOC = 700 mà DOC = DOC ⇒ BOD = BOC Suy ra: Tia OB tia phân giác COD BOD hai góc kề có chung cạnh OB Để 2) Theo phần 1) ta thấy, BOC > 1800 + BOD tia OB không nằm hai tia OD OC BOC = AOC − AOB = Ta có: BOC ( 3x + 10 ) − x = x + 10 (độ) = BOD AOD + AOB =x + ( x + 10 ) (độ) + BOD = ⇒ BOC x + 20 (độ) ⇒ x + 20 > 180 ⇒ x > 40 Mà theo đề bài: x ≤ 55 ⇒ 40 ≤ x < 55 Vậy x ∈ 40 < x ≤ 55 tia OB không nằm hai tia OD OC Câu Gọi số mặt a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 Xét tổng: S1 = a1 S= a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 - Nếu có tổng chia hết cho tốn giải xong - Nếu khơng có tổng chia hết cho tồn hai tổng có số dư chia cho (vì tổng mà có số dư khác 1; 2; 3; 4) Hiệu hai tổng chia hết cho Gọi hai tổng S m S n (1 ≤ n < m ≤ ) , S m − S n hay ( a1 + a2 + + am ) − ( a1 + a2 + + an )= an +1 + an + + + am 161 ĐỀ SỐ 40: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA PHỐ BẮC GIANG 2018-2019 Câu (6 điểm) Tìm số nguyên n để 4n + chia hết cho 2n + 1 1 Tính A = + + + + 2019 : 1 − 2019 2 2 Câu (6 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ 1000, biết a chia cho 15 dư 5, chia cho 32 dư 22, chia cho 40 dư 30 Cho biểu thức: B= 1 1 + + + + 1+ 1+ + 1+ + + + + + + + 101 Chứng minh B < Tìm số nguyên tố x, y biết 19 x + 57 = y2 Câu (4 điểm) So sánh: C = 742019 − 2021 742018 + = D 742020 − 2021 742019 + Lớp 6A có 29 học sinh, lớp 6B có 35 học sinh Trong buổi lao động hai lớp trồng tất 285 Tính số học sinh lớp 6A, 6B trồng Câu (3 điểm) = 5 Cho xOy yOz hai góc kề bù Biết xOy yOz Tính xOy Cho điểm B thuộc đường thẳng AC ( B không trùng với A C ) Hai điểm D, E trung điểm đoạn thẳng AB, AC Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng BC gấp đôi độ dài đoạn thẳng DE Câu (1 điểm) Tìm số nguyên tố p, q cho p + q pq + 17 số nguyên tố HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM 2018-2019 ( 2n + 1) + Câu 1, Ta có: 4n += Vì ( 2n + 1) 2n + với ∀n ∈ Nên để 4n + 5 2n + 3 2n + ⇒ 2n + ∈ Ư(3) ={−3; −1;1;3} 162 Ta có bảng giá trị sau: 2n + -3 -1 n -2 -1 Vậy n ∈ {−2; −1;0;1} 4n + 5 2n + 1 1 1 Ta có A = + + + + 2019 : 1 − 2019 2 2 1 1 ⇒ 2.= A + + + + 2019 : 1 − 2019 2 2 1 A = 1 + + + + 2018 : 1 − 2019 2 Xét hiệu: 1 1 1 A − A = 1 + + + + 2018 : 1 − 2019 − + + + + 2019 : 1 − 2019 2 2 2 1 1 1 A = 1 + + + + 2018 − − − − − 2019 : 1 − 2019 2 2 2 A= 1 − 2019 : 1 − 2019 = Vậy A = Câu Ta có > a + 1015 a= 15.m + = a= > a + 10 32 => a + 10 ∈ BC (15;32; 40) 32.n + 22 = > a + 10 40 a= 40.q + 30 = Mà = 15 3.5; = 32 25= ; 40 23.5 ⇒ BCNN (15,32, 40 ) = 25.3.5 = 480 ⇒ a + 10 ∈ B (480) = {0; 480;960;1440 } Vì a số tự nhiên nhỏ 1000 nên a ∈ {470;950} Ta có B= 1 1 + + + + 1+ 1+ + 1+ + + + + + + + 101 Nhận xét: Vì : + = = 22 + + = = 32 > 3.2 + + + = 16 = 42 > 4.3 … + + + +…+ 101 = 512 > 51.50 163 Suy ra: 1 1 + + + + 16 51 1 1 B< + + + + 2.3 3.4 50.51 1 1 1 B < + − + − + + − 3 50 51 B< − 51 B< TH1: x số nguyên tố chẵn ⇒ x = B= Thay x = vào (1) ta có: 19.24 + 572 = y2 y 361 = 192 ⇒= ⇒ y = 19 (thỏa mãn số nguyên tố) TH2: x số nguyên tố lẻ => 19x lẻ ⇒ 19 x + 57 chẵn ⇒ y số chẵn ⇒ y chẵn ⇒ mà y số nguyên tố ⇒ y = (vơ lí 19 x + 57 > ) Vậy= x 2;= y 19 giá trị cần tìm Câu Ta có: 742018 + 742019 + 742019 + 74 742019 + + 73 = 74.C = 742019 + 742019 + 73 74.C = + 2019 (1) 74 + C= 742019 − 2021 742020 − 2021 742020 − 2021.74 742020 − 2021.(1 + 73) 74.D = = 742020 − 2021 742020 − 2021 742020 − 2021 − 2021.73 74.D = 742020 − 2021 2021.73 74.D = − 2020 (2) 74 − 2021 D= Từ (1) (2) suy 74C > 74 D ⇒ C > D Gọi số học sinh lớp 6A, 6B trồng x; y (cây); ĐK ( x, y ∈ * ) 164 Ta có 29 x + 35 y = 285 ⇒ 29 x = 285 − 35 y Vì 285 − 35 y mà ( 29;5 ) = nên x 29 x + 35 y= 285 ⇒ x < 10 Do x = Thay x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện) Vậy học sinh lớp 6A trồng Mỗi học sinh lớp 6B trồng Câu Ta có hình vẽ Vì xOy yOz hai gó kề bù nên: + Suy xOy yOz =180° mà = 5 xOy yOz nên yOz = 180° = 5.30= ° 150° => yOz= 30° xOy Ta có hình vẽ: Ta có B thuộc đoạn AC nên AB < AC = DB = Mà D trung điểm AB nên AD = EC = E trung điểm AC nên AE AB => AB = AD (1) AC => AC = AE (2) nên AD < AE hay D nằm A E Suy AD + DE == AE > DE =− AE AD (3) AB + BC = AC = > BC =− AC AB (4) Từ (1); (2) ; (3)và (4) suy : BC = AE − AD = 2( AE − AD) = DE Câu Vì pq + 17 số nguyên tố nên pq số chẵn ⇒ p = q = TH1: Nếu p = ⇒ p + q = 14 + q Ta thấy 14 chia dư Nếu q chia hết cho 3, q số nguyên tố ⇒ q=3 Khi p + q= 7.2 + 3= 17 (thỏa mãn số nguyên tố) 165 Và pq + 17 = 2.3 + 17 = 23 (thỏa mãn số nguyên tố) +) Nếu q chia dư ⇒ 14+q chia hết cho mà 14 + q > ⇒ 14 + q hợp số (loại) +) Nếu q chia dư 2q chia dư 1=> pq + 17 > chia hết cho (loại hợp số) TH2: Nếu q = ⇒ p + q = + p Ta thấy chia dư +) Nếu 7p chia hết cho ⇒ p số nguyên tố ⇒ p=3 Khi đó: p + q = 7.3 + = 23 (thỏa mãn số nguyên tố) Và pq + 17 = 3.2 + 17 = 23 (thỏa mãn số nguyên tố) +) Nếu 7p chia cho dư p + chia hết cho (loại hợp số) +) Nếu 7p chia cho dư p chia dư 2p chia dư ⇒ pq + 17 = p + 17 chia hết cho (loại hợp số) Vậy giá trị p, q thỏa mãn là= p 2;= q hoặc= p 3;= q ... tất học sinh khối trường, có 37 học sinh tham gia Câu thi Toán, 49 học sinh tham gia thi Khoa học, 18 học sinh tham gia hai thi 83 học sinh không tham gia thi Hỏi khối trường có học sinh Câu... 70 ⋅ 56 72 90 565 6 56 727272 909090 56 72 90 5.13 35.13 7.13 5.13.9 35.13 7.13.4 5.13.9 + 35.13 + 7.13.4 = + + = + + = 36 4.9 36 9.4 36 = 5.13.9 + 35.13 + 7.13.4 1404 = = 39 36 36 45 13... x =+ 3 ⇒ x =⇒ x= Vậy x = ( ) 2) Ta có: abcde = 3.2abcde ⇒ abcde.10 = + 2.105 + abcde ⇒ abcde.10 − 3.abcde =3.2.105 − ⇒ 7.abcde = 60 0000 − ⇒ abcde = 60 0000 − = 85714 Vậy số cần tìm là: 85714