Thông tin tài liệu
2 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2y − xy + x − 2y + = n n b Chứng minh A = + + 16 chia hết cho với số nguyên dương n Câu (6,5 điểm) a Giải phương trình: 8x + 4x 2x = +3 ⋅ 2x + ( x − 1)2 + ( y − )2 = b Giải hệ phương trình: ( x − 1)( y − ) − x − y =−3 Câu (2,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4 a b c P= + + a+ b b+c c+a Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C tam giác Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) điểm thứ M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF N Chứng minh rằng: a EF ⊥ OA b AM = AN = Cho tam giác nhọn ABC, D điểm tam giác cho ADB ACB + 900 AC.BD = AD.BC Chứng minh AB.CD = AC.BD Câu (2,0 điểm) Trong hình vng cạnh có 2019 điểm phân biệt Chứng minh tồn hình trịn bán kính nằm hình vng mà khơng chứa điểm 91 2019 điểm cho _Hết _ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3 điểm) a Tìm số phương có chữ số biết chữ số hàng đơn vị số nguyên tố bậc hai số cần tìm có tổng chữ số số phương b Chứng minh số A = 22n+1 +31 hợp số với số tự nhiên n Câu (7 điểm) x = y + x − a Giải hệ phương trình: y = x + y − b Giải phương trình: x + = + 2x + x + 18 x + 11 ⋅ 2x + Câu (2 điểm) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= 1 + + ⋅ (3 x + 1)( y + z ) + x (3 y + 1)( x + z ) + y (3 z + 1)( x + y ) + z Câu (6 điểm) Cho AB đường kính cố định đường trịn (O) Qua điểm A vẽ đường thẳng d vng góc với AB Từ điểm E đường thẳng d vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) (C tiếp điểm, C khác A) Vẽ đường tròn (K) qua C tiếp xúc với đường thẳng d E, vẽ đường kính EF đường trịn (K) Gọi M trung điểm OE Chứng minh rằng: a Điểm M thuộc đường tròn (K) b Đường thẳng qua F vng góc với BE ln qua điểm cố định E thay đổi đường thẳng d Câu (2 điểm) Ở miền đa giác lồi 2018 cạnh có diện tích lấy 2017 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh ln tồn tam giác có đỉnh lấy từ 4035 điểm (bao gồm 2018 đỉnh đa giác 2017 điểm đa giác đó) có diện tích khơng vượt q ⋅ 6050 _Hết _ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4 điểm) a) Tìm hệ số a, b, c đa thức P(x) = x + bx + c biết P (x) có giá trị nhỏ – x = x + xy − xy − y3 = b) Giải hệ phương trình 2 x + − x ( y + 1) − y = ( ) Câu (4 điểm) a) Giải phương trình x + 2= − x + + x b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu 2a b c thức P = + + 2 1+ a 1+ b + c2 Câu (3 điểm) 135 Cho tam giác ABC có = BAC = ,BC 5cm đường cao AH = cm Tìm độ dài cạnh AB AC Câu (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), D điểm cung BC không chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABC ACE Gọi P Q hình chiếu K BC AB, gọi I giao điểm EK với AC a) Chứng ba điểm P, I, Q thẳng hàng b) Chứng minh PQ qua trung điểm KH Câu (4 điểm) a) Tìm tất số nguyên tố khác m, n, p, q thỏa mãn 1 1 1 + + + + = m n p q mnpq b) Trên bảng có ghi hai số Ta ghi số lên bảng theo quy tắc sau: Nếu có hai số phân biệt bảng thi ghi thêm số z = xy + x + y Chứng minh số bảng (trừ số 1) có dạng 3k + với số k tự nhiên _Hết _ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Môn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng (khơng chia nhỏ vật đó) b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 171 = y2 Câu (6,0 điểm) a Giải phương trình: x + x + 1= ( x + 1) x2 + x + 4 x + 1= y − x b Giải hệ phương trình: 2 x + xy + y = Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a + Câu (6,0 điểm) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB = HQO a Chứng minh: HPO b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng 1 + có giá trị nhỏ EA EB Câu (2,0 điểm) Tìm hình vng có kích thước nhỏ để hình vng xếp hình trịn có bán kính cho khơng có hai hình trịn chúng có điểm chung _Hết _ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4 điểm): a Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b Chứng minh a – b a + b + sơ phương b Tìm số tự nhiên n cho số 2015 viết thành tổng n hợp số viết thành tổng n + hợp số Câu (5 điểm): a Giải phương trình: x −1 + x2 −1 = x − x2 x + y + xy = b Giải hệ phương trình: 2 x + y = x + y Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thoả mãn: abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + Câu (6 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C) Gọi D, E, F điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng: a Ba điểm D, E, F thẳng hàng b AB AC BC + = MF ME MD Câu (2 điểm): Cho 121 điểm phân biệt nằm cạnh tam giác có cạnh cm Chứng mỉnhằng vẽ hình trịn đường kính 11 điểm số điểm cho _Hết _ cm chứa KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2014 – 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4 điểm): n + 119 số phương 2 2 b Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b =c + d Chứng minh a + b + c + d hợp số a Tìm số tự nhiên n cho Câu 2.(5 điểm): a Giải phương trình: x −1 + x + = x + y + xy = b Giải hệ phương trình: 3 x + y = 2x + y Câu (3 điểm): Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + Câu (6 điểm): Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H cố định (H không trùng với A, O) Gọi M điểm di chuyển nửa đường trịn Qua M kẻ đường thẳng vng góc với MH, đường thẳng cắt tiếp tuyến Ax, By C, D a Chứng minh AC.BD = AH.BH b Xác định vị trí điểm M để tam giác CHD có diện tích nhỏ Câu (2 điểm): Cho 121 điểm phân biệt nằm cạnh tam giác có cạnh 6cm Chứng minh vẽ hình trịn đường kính cm chứa 11 điểm số điểm cho _Hết _ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4.0 điểm) a Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 2013k -1 chia hết cho 105 b Tìm số nguyên x cho x2+28 số phương Câu (6.0 điểm) a Giải phương trình: x2 + 5x + − x2 − x + = x − 2 x + y =3 − x − y b Giải hệ phương trình: 2 x − xy − y = Câu (3.0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=1 Tìm P = x2 y2 z2 + + x+ y y+z z+x Câu (5.0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R Từ điểm M điểm ngồi đường trịn kẻ hai tia tiếp tuyến MA; MB (A,B tiếp điểm) cát tuyến qua M cắt đường tròn C, D (C nằm M D) cung CAD nhỏ cung CBD Gọi E giao điểm AB với OM = 2DBC a Chứng minh DEC b Từ O kẻ tia Ot vng góc với CD cắt tia BA K Chứng minh KC KD tiếp tuyến đường tròn O Câu (2.0 điểm) Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài 1.Chứng minh tồn hình trịn có bán kính R = chứa tồn đường gấp khúc _Hết _ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (4.0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = a3 + b3 + c3 = Chứng minh ba số a, b, c có số Cho số tự nhiên a, b, c, d thỏa mãn a > b > c > d ac + bd = (b + d + a – c)(b+ d – a+ c) Chứng minh ab + cd hợp số Câu (6.0 điểm) Giải phương trình: x + x + 10 + x + x + 4= ( x + 1) x − xy + y = −1 Giải hệ phương trình: 2 13 x − xy + y = (1) ( 2) Câu (3.0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b3 + c3 − 3abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a + b + c Câu (7.0 điểm) Từ điểm D nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến DA, DB với đường tròn (A B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến DEC (E nằm D C) OD cắt AB M, AB cắt EC N Chứng minh rằng: MA phân giác góc ∠EMC MB DC = MC DE 1 + = EC DC NC _Hết _ 10 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số (Đề thi có trang) Câu (5 điểm): a) Cho a b số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: a + b Chứng minh a b chia hết cho b) Cho A = n2012 + n2011 + Tìm tất số tự nhiên n để A nhận giá trị số nguyên tố Câu (4.5 điểm) a) Giải phương trình: + x − =x + x − x x x b) Cho x, y, z số thực khác thỏa mãn: xy + yz + zx = yz zx xy Tính giá trị biểu thức: M = + + x y z Câu (4.5 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x2 + y + z ≥ b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 b3 c3 + + a + b2 b2 + c2 c2 + a Câu (6.0 điểm) Cho đường tròn (O;R) dây BC cố định không qua O Từ điểm A tia đối tia BC vẽ tiếp tuyến AM AN với đường tròn ( M N tiếp điểm, M nằm cung nhỏ BC) Gọi I trung điểm dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P P= a) Chứng minh rằng: NP song song với BC b) Gọi giao điểm đường thẳng MN đường thẳng OI K Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn _Hết _ 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NGHỆ AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2010 – 2011 Mơn thi: TỐN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 10 (Đề thi có trang) Câu (4,0 điểm) a) Cho số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a1 + a + + a n 3 P = a1 + a + + a n Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho b) Cho A = phương n − n + 2n + 2n (với n ∈ N, n > 1) Chứng minh A số Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x + 1= 3x + x + = y b) Giải hệ phương trình: y + = z z + = x 1 + + = x y z 1 + + ≤1 Chứng minh rằng: 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Câu (4,5 điểm) a) Cho x > 0, y > 0, z > b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x 2011 + y2011 + z 2011 = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = x + y + z 2 Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), H trực tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm A (M không trùng với B C) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng = 1200 , xác định vị trí điểm M để b) Khi BOC 1 + đạt giá trị nhỏ MB MC Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định 62 = BMN ⇒ BDMI tứ giác nội tiếp hay BDI = MBI (cùng chắn cung MI) ⇒ MDI = ABE (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) mà MDI = MBI ⇒ ABE = BAE (chứng minh trên) mặt khác BMI ⇒ ∆MBI ~ ∆ ABE (g.g) ⇒ MI BI ⇔ MI.BE = BI.AE = AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE ⇒ OC ⊥ DE Q ⇒ ∆ OCD vng D có DQ đường cao ⇒ OQ.OC = OD2 = R2 (1) Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' ⇒ OO' ⊥ AB H chung = H = 900 ;O Xét ∆KQO ∆CHO có Q ⇒ ∆KQO ~ ∆CHO (g.g) ⇒ KO OQ = ⇒ OC.OQ = KO.OH (2) CO OH R2 OH Từ (1) (2) ⇒ KO.OH =R ⇒ OK = Vì OH cố định R không đổi ⇒ OK không đổi ⇒ K cố định Câu 63 ∆ABC vuông cân A ⇒ AD phân giác góc A AD ⊥ BC ⇒ D ∈ (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) ⇒ tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP mà NHP = 900 ⇒ H thuộc đường trịn đường kính NP ⇒ AHN = AMN = 450 (1) Kẻ Bx ⊥ AB cắt đường thẳng PD E ⇒ tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác ∆BED = ∆CDP (g.c.g) ⇒ BE = PC mà PC = BN ⇒ BN = BE ⇒ ∆BNE vuông cân B = 450 mà NHB = NEB (cùng chắn cung BN) ⇒ NEB = 450 (2) ⇒ NHB = 900 ⇒ H ∈ (O; AB/2) Từ (1) (2) suy AHB gọi H' hình chiếu H AB ⇒ SAHB = HH '.AB ⇒ SAHB lớn ⇔ HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường tròn đường kính AB OD ⊥ AB) 64 Dấu "=" xẩy ⇔ H ≡ D ⇔ M ≡ D Đề số 13 Câu a) Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ∈ Z Vì k ∈ Z ⇒ ta xét trường hợp: TH1: k chẵn ⇒ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ ⇒ A không chia hết cho ⇒ A không chia hết cho 16 (loại) (1) TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ ⇒ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn ⇒ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) ⇔ với ∀ k ∈ Z mà k lẻ A ln chia hết cho 16 b) Do tích a.b chẵn nên ta xét trường hợp sau: TH1: Trong số a, b có số chẵn số lẻ Khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn, b lẻ ⇒ a2 4; b2 chia cho dư ⇒ a2 + b2 chia cho dư ⇒ a2 + b2 = 4m + (m ∈ N) Chọn c = 2m ⇒ a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1) TH2: Cả số a, b chẵn ⇒ a2 + b2 ⇒ a2 + b2 = 4n (n ∈ N) Chọn c = n - ⇒ a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + = (n + 1)2 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) suy ta ln tìm c ∈ Z thoả mãn tốn Câu 65 a) Giải phương trình x2 - x - + 16x = ĐKXĐ: x ≥ − 16 Khi phương trình ⇔ x2 - x = 2( + 16x + 1) Đặt: (y ≥ + 16x + = 2y ⇔ + 16x = 4y2 -4y + 1 ) ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*) 4x y − y = ⇒ (x − y)(x + y + 3) = ⇒ 4y x − x = x = y ⇔ 1 = x + y + (loại x - y ≥ ) 16 Với x = y thay vào (*) ⇒ x2 - x = 4x ⇔ x2 - 5x = ⇔ x(x - 5) = x = (tho¶ m·n) x = (lo¹i) ⇔ Vậy phương trình có nghiệm là: x = (1) x + 2y − 4y + = b) Cho x, y thoả mãn: 2 (2) x + x y − 2xy = Từ (1) ⇒ x3 = -2y2 + 4y -3 ⇔ x3 = -2(y2 - 2y + 1) - ⇔ x3 = -2(y - 1)2 - ≤ -1 với ∀ y ⇒ x3 ≤ -1 ⇔ x ≤ -1 (*) Từ (2) ⇒ x2(y2 + 1) = 2y ⇔ x2 = 2y ≤ với ∀ y y +1 ⇒ x2 ≤ ⇔ | x | ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ (**) Từ (*) (**) ⇒ x = -1 thay vào (2) ta được: y2 - 2y + = ⇔ (y - 1)2 = ⇔ y = ⇒ (x; y) = (-1; 1) (thoả mãn) ⇒ Q = x2 + y2 = (-1)2 + 12 = 66 Câu Đặt 1 1 1 + = x; + = y; + = z ⇒ (x, y, z > 0) a b b c c a ⇒ P = (3 + x)(3 + y)(3 + z) = 27 + 3(xy+ yz + zx) + 9(x + y+ z) + xyz ≥ 27 + (xyz) + 27 xyz + xyz (*) 1 1 1 (vì a, b, c > 0) + + + ≥ a b b c c a abc Lại có: xyz = mà ≥ a + b + c ≥ 3 abc ⇒ ≥ abc 2 ⇒ abc ≤ 8 ⇒ ≥ 64 ⇒ xyz ≥ ≥ 64 abc abc Thay vào (*) ta được: P ≥ 27 + 64 + 27 64 + 64 = 27 + 144 + 108 + 64 = 343 Dấu = có a = b = c = 1 ⇒ Pmin = 343 Khi a = b = c = 2 Câu C M A O N E D a) Xét ∆COM ∆CED có: ∠O =∠E =900 ∠C chung B 67 ∆CED (g-g) S ⇒ ∆COM CO OM (1) = CE ED ⇒ Do AB, CD đường kính vng ∠A1 = 45 góc với ⇒ ∠E1 = ∠E1 = ∠A1 = 450 ∠C chung Xét ∆AMC ∆EAC có: mà AC = ∆EAC (g-g) ⇒ S ⇒ ∆AMC AC AM = CE AE CO (do ∆ACO vuông cân O) AM AE = ⇒ CO = CE ⇒ AM.ED = OM (do (1)) ED OM.AE (ĐPCM) b) Tương tự câu a ta có: BO ON = BE EA ∆BEA ⇒ ∆BND ∆BDE ⇒ = S ∆BON S ⇒ DN DE BD = BE DN ON ON = ⇒ = DE EA EA Từ câu a ta có: AM.ED = 2BO BE DN DE OM.AE ⇒ ON = DN DE OM ON = AM DN OM ON OM ON + ≥2 = = AM DN AM DN Dấu = xẩy khi: EA OM ED = AM EA nên suy mà ⇒ 68 OM ON ED = ⇔ = AM DN 2EA EA 2ED ⇔ ED = EA ⇔ E điểm cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ OM ON + = AM DN ⇔ E điểm cung nhỏ AD Câu Khơng tính tổng quát, giả sử ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C ⇒ ∠A ≥ 600 TH1: 60 ≤ A < 90 0 B1 C1 kẻ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC A1 ⇒ S ABC = CH.AB mà CH ≤ CC1 ≤ ta có: AB = BB1 BK 1 ≤ ≤ ≤ = SinA SinA SinA Sin60 ⇒ S ABC ≤ =(1) 3 TH2: ∠A ≥ 90 ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, CH ≤ CC1 ≤ Từ (1) (2) ⇒ S ABC ≤ 1 ⇒ S ABC ≤ 1.1 =< (2) 2 69 Đề số 13 Câu a) Cho A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 với k ∈ Z Vì k ∈ Z ⇒ ta xét trường hợp: TH1: k chẵn ⇒ A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 số lẻ ⇒ A không chia hết cho ⇒ A không chia hết cho 16 (loại) (1) TH2: k lẻ, ta có: A = k4 + 2k3 - 16k2 - 2k +15 = (k2 - 1)(k2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ ⇒ k - 1; k + 1; k - 3; k + chẵn ⇒ A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) ⇔ với ∀ k ∈ Z mà k lẻ A ln chia hết cho 16 b) Đặt A = a2 + b2 + c2 Do tích a.b chẵn nên ta xét trờng hợp sau: TH1: Trong số a, b có số chẵn số lẻ Khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn, b lẻ ⇒ a2 4; b2 : dư ⇒ a2 + b2 : dư ⇒ a2 + b2 = 4m + (m ∈ N) Chọn c = 2m ⇒ a2 + b2 + c2 = 4m2 + 4m + = (2m + 1)2 (thoả mãn) (1) TH2: Cả số a, b chẵn ⇒ a2 + b2 ⇒ a2 + b2 = 4n (n ∈ N) Chọn c = n - ⇒ a2 + b2 + c2 = n2 + 2n + = (n + 1)2 (thoả mãn) (2) Từ (1) (2) ta ln tìm c ∈ Z thoả mãn toán Câu a) Giải phương trình x2 - x - + 16x = ĐKXĐ: x ≥ − 16 70 Khi phương trình ⇔ x2 - x = 2( + 16x + 1) Đặt: + 16x + = 2y ⇔ + 16x = 4y2 -4y + (y ≥ ) ⇔ 4y2 - 4y = 16x ⇔ y2 - y = 4x (*) y − y = 4x ⇒ (x − y)(x + y + 3) = ⇒ x − x = 4y x = y ⇔ 1 = x + y + (loại x - y ) 16 Với x = y thay vào (*) ⇒ x2 - x = 4x ⇔ x2 - 5x = ⇔ x(x - 5) = x = (thoả mÃn) x = (loại) Vy phương trình có nghiệm là: x = x + y += ( x + y ) − xy = xy ⇔ b) Ta có : y + xy ) + xy x + = ( x + y= x + y = ⇒ (x + y)2 + (x + y) – 12 = ⇔ x + y = Nếu x + y = x = y = x + y = x + y = ⇒ HƯ ®· cho ⇔ ⇔ x + y + xy = xy = x = y = Nếu x + y = -4 x + y =−4 ⇒ Hệ cho ⇔ ⇔ (hệ vô nghiệm) xy = Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm (x; y) = (0; 3), (3; 0) Câu 71 Áp dụng bất đẳng thức: 1 (với A, B, C ≥ 0) + + ≥ A B C A+B+C ⇒ với x, y, z > ta có: ⇒P ≥ 1 + + ≥ xy yz zx xy + yz + zx + 2 x +y +z xy + yz + zx ⇒P ≥( x +y +z + 2 + 1 + )+ xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx ≥ + x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx xy + yz + zx = + (x + y + z) xy + yz + zx 2 Do x + y + z = ⇒ (x + y + z)2 = 1 ⇒ x + y + z + 2(xy + yz + zx) = ⇒ 3(xy + yz + zx) ≤ 2 mµ x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇒ ≥ ⇒ P P ≥ + 7.3 = 30 xy + yz + zx Dấu = xẩy x= y= z= Vậy Pmin = 30 ⇔ x = y = z = 3 Câu C M A O B N E D a) Xét ∆COM ∆CED có: 72 ∠O =∠E =900 ∠C chung ∆CED (g-g) S ⇒ ∆COM CO OM (1) = CE ED ⇒ Do AB, CD đường kính vng ∠A1 = 45 góc với ⇒ ∠E1 = Xét ∆AMC ∆EAC có: mà AC = ∆EAC (g-g) ⇒ S ⇒ ∆AMC ∠E1 = ∠A1 = 450 ∠C chung AC AM = CE AE CO (do ∆ACO vuông cân O) AM AE = ⇒ CO = CE ⇒ AM.ED = OM (do (1)) ED OM.AE (ĐPCM) b) Tương tự câu a ta có: BO ON = BE EA ∆BEA ⇒ ∆BND ∆BDE ⇒ = S ∆BON S ⇒ DN DE BD = BE DN ON ON = ⇒ = DE EA EA Từ câu a ta có: AM.ED = 2BO BE DN DE OM.AE ⇒ ⇒ ON = DN EA DE OM ED = AM EA nên suy OM ON = AM DN 73 mà OM ON OM ON + ≥2 = = AM DN AM DN 2 Dấu = xẩy khi: OM ON ED = ⇔ = AM DN 2EA EA 2ED ⇔ ED = EA ⇔ E điểm cung nhỏ AD Vậy giá trị nhỏ OM ON + = AM DN ⇔ E điểm cung nhỏ AD Câu Khơng tính tổng quát, giả sử ∠A ≥ ∠B ≥ ∠C ⇒ ∠A ≥ 600 TH1: 60 ≤ A < 90 0 B1 C1 kẻ CH ⊥ AB; BK ⊥ AC A1 ⇒ S ABC = CH.AB mà CH ≤ CC1 ≤ ta có: AB = BB1 BK 1 ≤ ≤ ≤ = SinA SinA SinA Sin60 ⇒ S ABC ≤ =(1) 3 TH2: ∠A ≥ 90 ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, CH ≤ CC1 ≤ Từ (1) (2) ⇒ S ABC ≤ 1 ⇒ S ABC ≤ 1.1 =< (2) 2 74 Đề số 16 Bài a) Gọi số cần tìm abc (a, b, c ∈ N; a, b, c ≤ 9, a ≠ 0) (1) 100a + 10b + c11 Theo ta có: a + b + c11 c ch½n (2) (3) (4) Từ (2) , (3) ⇒ 101a + 11b + 2c 11 ⇒ 2(a + c) 11 mà ≤ a+ c ≤ 18 (2; 11) = ⇒ a + c = 11 (5) Từ (3) , (5) ⇒ b = c chẵn a + c = 11 ⇒ (a; c) = (9; 2), (7;4), (5; 6), (3; 8) Vậy số cần tìm 902; 704; 506; 308 b) Đặt X = − 50 + + 50 ⇒ X3 = 14 – 3X ⇒ X3 + 3X – 14 = ⇒ (X-2)(X2 + 2X + 7) = Do: X2 + 2X + >0 ⇒ X-2 = ⇒ X=2 Nên: − 50 + + 50 =2 hay − 50 + + 50 số tự nhiên Bài Điều kiện xác định: {x ≤ -1 x ≥ − 4x + 5x = + a, (a ≥ 0) ⇒ 2 x x b, (b 0) − = + ≥ Đặt } a2 4x + 5x + = 4x − 4x + = b2 ⇒ a – b2 = a - b ⇒ (a-b)(a+b-1) =0 Do b = 4x − 4x + ⇒ b ≥ ⇒ a + b –1 > ⇒ a – b =0 Từ a – b =0 ⇒ 9x – = ⇒ x = Với x = Bài 3 1 thoả mãn ra, nên nghiệm phương trình là: x = 3 75 Với x, y số ta ln có (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) Nên a, b ≥ a2 + b2 =1 ⇒ (a+b)2 ≤ ⇒ a+b ≤ ) (dấu = a=b= Mặt khác (a+b)2 = a2 + b2 +2ab = 1+ 2ab ⇒ (a + b)2 ≥ Mà a, b ≥ ⇒ a+ b ≥ (dấu = xẩy (a, b) = (1,0) (0,1)) Vậy ta ln có ≤ a+b ≤ Bài Xét tích (x – 1) (y - 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1 =x+y+z- mà x + y + z > 1 − − x y z 1 + + ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1) >0 x y z thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) dương ⇒ xyz > (loại) thừa số (x –1), (y – 1), (z – 1) âm ⇒ (x –1)(y – 1)(z – 1)
Ngày đăng: 20/02/2023, 18:57
Xem thêm:
