MỞ ĐẦU Các số p – adic được mô tả lần đầu tiên bời Kurt Hensel vào năm 1897, hơn một trăm năm qua chúng đã từng bước thâm nhập vào nhiều ngành toán học như Lý thuyết số, Hình học đại số, Tôpô đại số,[.]
MỞ ĐẦU Các số p – adic mô tả lần bời Kurt Hensel vào năm 1897, trăm năm qua chúng bước thâm nhập vào nhiều ngành tốn học như: Lý thuyết số, Hình học đại số, Tơpơ đại số, Giả tích Vật lý đặc biệt Vật lý lượng tử Bộ mơn tốn học nghiên cứu hàm với biến số số p – adic gọi giải tích p – adic Không gian hàm liên tục ¢ p , C ( ¢ p → £ = f ∞ max { f ( x) p } p ) , không gian Banach với chuẩn , ∀x ∈ ¢ p , ∀f ∈ C ( ¢ p → £ p ) x Mahler tập đa thức dạng , n = 0,1, 2, lập thành sở trực giao n C (¢ p → £ p ) , gọi sở Mahler Cơ sở có nhiều ứng dụng việc nghiên cứu hàm liên tục ¢ p Theo hướng nghiên cứu này, Vanderput đưa sở trực giao khác C (¢ p → £ p ) bao gồm hàm địa phương có nhiều ứng dụng Bởi vậy, chọn đề tài “ Cơ sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p ” vơi mục đích tiếp tục làm rõ thêm số kết sở Mục đích luận văn xây dựng sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p Nghiên cứu mở rộng số tính chất sở Đồng thời, xây dựng ứng dụng sở để biểu diễn hàm liên tục tập ¢ p Luận văn giới thiệu đầy đủ, chi tiết cách xây dựng tính chất sở Vanderput Chúng tơi cố gắng tìm tịi để đưa ứng dụng sở việc nghiên cứu hàm liên tục, khả vi liên tục ¢ p ; hàm thỏa điều kiện Lipchitz cấp a dương Cấu trúc luận văn gồm chương Chương 1: Các kiến thức Chương giới thiệu kiến thức dùng cho chương sau như: trường số p - adic, không gian hàm liên tục ¢ p , sở trực giao, trực chuẩn không gian Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p Chương chương luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng sở Vanderput tính chất Trình bày đặc trưng hệ số Vanderput lớp hàm khả vi liên tục Đưa công thức tính tích phân Volkenborn theo sở Cuối mở rộng kết Vanderput cho không gian hàm liên tục hai biến C ( ¢ p × ¢ p → £ Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thanh Dũng p ) Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, nêu cách xây dựng trường số p – adic Đồng thời đưa khái niệm hàm liên tục, không gian hàm liên tục; sở trực giao – trực chuẩn không gian; nêu chứng minh chi tiết tính chất chúng mà sử dụng chương 1.1 Trường số p – adic Để xây dựng trường cỏc s p adic Ô p v Ê p , trước hết ta cần khái niệm giá trị tuyệt đối trường 1.1.1.Định nghĩa Cho K trường, ánh xạ : K → ¡ gọi giá trị tuyệt đối K nếu: 1) x ≥ 0, ∀x ∈ K ; x = ⇔ x = 2) xy= x y , ∀x, y ∈ K 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ K Nếu thỏa điều kiện 3’) x + y ≤ max { x , y } , ∀x, y ∈ K gọi giá trị tuyệt đối phi - Acsimét Ví dụ Trên trng s hu t Ô , giỏ tr tuyt i thông thường giá trị tuyệt đối trường ¤ Ví dụ Trên trường số hữu tỷ ¤ , ta có số giá trị tuyệt đối phi – Acsimét 0, x = 1) Giá trị tuyệt đối tầm thường x = 1, x ≠ 2) Vi x Ô , ta ký hiu ord p ( x) số mũ p phân tích x thành tích thừa số nguyên tố, với quy ước ord p (0) = ∞ Khi đó, hàm định x=0 0, = x p ord p ( x ) , ∀x ∈ ¤ , x ≠ p giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trng Ô l mt giỏ tr tuyt i trờn trường K Ta định nghĩa hàm d : K × K → ¡ sau: Cho d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ K Do giá trị tuyệt đối K nên ta kiểm tra d mêtríc K (K, d) khơng gian mêtríc, gọi khơng gian mêtríc sinh giá trị tuyệt đối 1.1.2 Định nghĩa Cho , hai giá trị tuyệt đối trường K Ta nói hai giá trị tuyệt đối tương đương nếu: {xn } dãy Côsi theo {xn } dãy Côsi theo Chú ý rằng: {xn } dãy Côsi theo giá trị tuyệt đối xm − xn , nghĩa là: → ⇔ ( ∀ε > 0, ∃no ∈ ¥ : ∀n, m > no , xm − xn < ε ) m , n →+∞ 1.1.3 Định lý Oxtropxki Mọi giá trị tuyệt đối không tm thng trờn Ô u tng ng vi giỏ tr tuyệt đối p (p số nguyên tố đó) tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trờn Ô 1.1.4 nh lý Cho l mt giỏ trị tuyệt đối phi – Acsimét trường K Khi đó, x ≠ y x± y = max { x , y } Chứng minh Trước hết ta chứng minh x − y = max{ x , y } Khơng tính tổng qt, ta giả sử x > y Khi đó, x − y ≤ max{ x , y } = x hay x + y ≤ x (1) Mặt khác, x = y + ( x − y )) ≤ max{ x − y , y } Nếu max{ x − y , y } = y x ≤ y , trái giả thiết Do max{ x − y , y } = x − y hay x ≤ x − y (2) Từ (1) (2) suy x − y = x = max{ x , y } Cuối ta chứng minh x + y = x = max{ x , y } Ta có x + y = x − (− y ) = max{ x , − y } = max{ x , y } W 1.1.5 Trường số p – adic Ô Xột p p ord ( x ) l giỏ tr tuyt i p adic trờn Ô= ; x p ( ) p , x Ô Ký hệu S tập tất p dóy Cụsi Ô theo p Trờn S xột quan hệ tương đương ~ cho sau: ∀{xn },{ yn } Ô ,{xn } ~ { yn } ⇔ lim( xn − yn ) = n →∞ S= Ký hiu Ô= p ~ nhõn cho Ô p {{x }:{x } Cosi Ô theo } Ta trang bị hai phép toán cộng n n p để trở thành trường Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } Ô p , x + y= {xn + yn } Phép nhân: ∀= x {xn }, = y { yn } Ô p , x.= y {xn yn } Ta chứng minh c vi hai phộp toỏn cho nh trờn Ô P trường với: Phần tử không:= {= xn 0} Phần tử đơn vị:= xn 1} {= Phần tử đối: x = {xn } − x ={− xn } Phần tử nghịch đảo: Với {xn } ≠ Ta có xn :/ suy ∃N > cho ∀n > N , xn p = a ≠ 0, n ≤ N Khi dãy { yn } , với yn = , l mt dóy Cụsi Ô theo xn , n > N p , {xn }.{ yn } = Tức phần tử nghịch đảo {xn } phần tử { yn } Xột : Ô Ô p , ( x)= {xn = x}, x Ô , ta chng minh θ đơn cấu trường Do đó, ta có th coi Ô Ô p Vi= x {xn } Ô p , ta nh ngha x = lim xn p Kiểm tra chuẩn trờn Ô p n ( Hn na, mi dóy Cụsi Ô , p ) u hi t ( Ô p ) , tc ( Ô , p , ) l mt m rng ca (Ô , ) p Để tiện trình bày, ta ký hiu giỏ tr tuyt i Ô { p l p } Ký hiệu ¢ p = x ∈ ¤ p : x p ≤ Khi đó,  p l vnh ca trng Ô p Hơn nữa, ∀x ∈ ¢ p , ∃ai ∈ {0,1, , p − 1} , x = ao + a1 p + L + an p + L = n ∞ ∑a n =0 n pn Nếu x ∈ ¤ p , x p > ∃m ∈ ¥ , p m x ≤ hay= x′ p m x ∈ ¢ p Do đó, ∃ai ∈ {0,1, , p − 1} p ∞ cho x′ = ∑ p Suy x = i i =0 cho x = ∞ ∑ a p Nói cách khác: với i i= −m ∞ ∑ a p , i i= −m i i xÔ p luụn tn ti {0,1, , p 1} x p = pm Trong Ô p , ta định nghĩa: { Hình cầu mở tâm a bán kính r tập B ( a, r ) = x Ô p / x a p < r { } Hình cầu đóng tâm a bán kính r tập B ( a, r ) = x Ô p / x a p ≤ r { Mặt cầu tâm a bán kính r tập S ( a, r ) = x ∈ ¤ p / x − a p =r } } Từ định nghĩa cho thấy ¢ p = B ( 0,1) Mt khỏc, vỡ tụpụ trờn Ô p l tơpơ cảm sinh từ chuẩn phi – Acsimét nên có vài tính chất khác lạ Cụ thể: 1) Mi hỡnh cu, mt cu Ô 2) Hai hỡnh cu Ô p p u l va úng vừa mở rời lồng vào 3) Mi hỡnh cu, mt cu Ô 4) Ô p p có vơ số tâm, vơ số ban kính có số đếm hình cầu, mặt cầu 1.1.6 Trường số p – adic £ p Theo nh lý Oxtropxki, trờn Ô ch cú hai loại giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối thông thường giá trị tuyệt đối p – adic lm y Ô theo p p Lm y Ô theo ta c trng s thc Ă Cũn ta c trng Ô p Trng s thc ¡ khơng đóng đại số, bao đóng đại số ¡ trường số phức £ đặc biệt £ y Vy bao úng, ca Ô p l trường nào? Ta xây dựng sau Ký hiệu ¤ bao đóng đại số ¤ p Giá trị tuyệt đối p giá trị tuyệt đối ¤ p p p ¤ p mở rộng thnh theo cỏch: Vi Ô p , gi s Irr ( , Ô p ) = x n + an −1 x n −1 + L + a1 x + ao Khi đó, α p = n ao p l mt giỏ tr tuyt i trờn Ô p Nhn xột rng Ô p v ta chng minh đóng đại số chưa đầy đủ Ký hiu Ê p p l bao ca Ô p theo p giá trị tuyệt đối £ p ả Nh vy, Ê p = Ô p v Ê p , Irr ( , Ô p ) = x n + an −1 x n −1 + L + a1 x + ao α p = n ao p Trong trường £ p : Dãy {an }n gọi hội tụ a ∈ £ p lim an − a p = Ký hiệu lim an = a n →∞ n →∞ n S n = ∑ gọi tổng riêng thứ n chuỗi i =0 +∞ ∑ an Nếu lim Sn= S ∈ £ n =0 n →∞ p ta nói chuỗi +∞ ∑a n =0 n +∞ hội tụ viết S = ∑ an n =0 Nhận xét Vì £ p trường phi – Acsimét nên điều kiện hội tụ dãy chuỗi đơn giản giải tích phức Cụ thể: trường £ p 1) Dãy {an }n hội tụ ∀ε > 0, ∃N ∈ ¥ , ∀n > N , an +1 − an 2) Chuỗi +∞ ∑a n =0 n hội tụ lim an = n →∞ p , ∃δ > 0, ∀x ∈ X : x − a < δ ⇒ f ( x) − f (a ) < ε Nếu f liên tục điểm thuộc X ta nói f liên tục X Ký hiệu C ( X → K ) tập tất hàm liên tục X 1.2.2 Mệnh đề C ( X → K ) K – không gian véctơ với phép toán cho sau: Phép cộng: ( f + g )(= x) f ( x) + g ( x), ∀f , g ∈ C ( X → K ), ∀x ∈ X Phép nhân ngoài: (λ f = )( x) λ f ( x), ∀f ∈ C ( X → K ), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ X 1.2.3 Định nghĩa Ánh xạ f : X → K gọi hàm địa phương với x ∈ X , tồn lân cận mở U x cho f U Ví dụ Với U tập vừa đóng vừa mở K Hàm đặc trưng ζ U : X → K định 1, x ∈ U hàm địa phương 0, x ∉ U ζ U ( x) = Chứng minh ∀x ∈ X , x ∈ U U mở nên U lân cận x ζ U ( y ) = , ∀y ∈ U Còn x ∉U x ∈ K \ U , mà U đóng nên K \U mở tức K \U lân cận x ζ U ( y ) = 0, ∀y ∈ ( K \ U ) Vậy ζ U hàm địa phương W 1.2.4 Định lý Hàm địa phương hàm liên tục Chứng minh Giả sử f : X → K hàm địa phương Vì f hàm địa phương nên với xo ∈ X , ∃U lân cận mở xo cho f ( x) = a , ∀x ∈ U Khi đó, ∀ε > , U lân cận mở xo nên ∃δ > cho B ( xo , δ ) ⊂ U , ta có f ( x) − f ( xo ) = a − a = < ε , ∀x ∈ B ( xo , δ ) Vậy f liên tục W 1.2.5 Định nghĩa Cho E không gian véctơ trường ( K , ) Một chuẩn E ánh xạ :E →¡ thỏa ba tính chất: 1) x ≥ 0, ∀x ∈ E ; x = ⇔ x = 2) = λ x λ x , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ E ( E, ) Cặp gọi không gian định chuẩn Nếu x + y ≤ Max { x , y } , ∀x, y ∈ E Ta biết C ( ¢ p → £ C (¢ p → £ Với ∞ p p ) thỏa tính chất 3’) gọi chuẩn phi – Acsimét £ p - không gian véctơ Tiếp theo ta trang bị cho ) chuẩn để thành khơng gian định chuẩn f ∈ C (¢ p → £ : C (¢ p → £ p )→¡ p ), ký hiệu = f ∞ max { f ( x) p } , ∀x ∈ ¢ p hàm Hơn nữa, ta có định lý 1.2.6 Định lý Hàm ∞ chuẩn phi – Acsimét C ( ¢ p → £ ) p Chứng minh Ta kiểm tra định nghĩa Rõ ràng f ∞ ≥ 0, ∀f ∈ C ( ¢ p → £ Với α ∈ £ p , f ∈ C ( ¢ p → £ { p p ); f = 0⇔ f = ) , ta có: } { , ∀x ∈ ¢ p max α α f ∞ max α f ( x)= = p = { } ( x) p , ∀x ∈ ¢ p α p max f= α Với f , g ∈ C ( ¢ p → £ p ) , ta có: p f ( x) p , ∀x ∈ ¢ p p f ∞ } Khi đó, { f ( x) + g ( x) , ∀x ∈ ¢ } ≤ max {max { f ( x) , g ( x) } , ∀x ∈ ¢ } = f + g ∞ max p p p ≤ max { f ( Như vậy, C ( ¢ p → £ p ∞ p p , g ∞ } W ) , ) khơng gian định chuẩn Hơn nữa, cịn khơng gian ∞ Banach Ta có định lý 1.2.7 Định lý (C ( ¢ p →£ p ) , ) không gian Banach Chứng minh Giả sử ∞ dãy Cơsi C ( ¢ p → £ { f n }n nên ∃N1 > 0, ∀m, n > N1 ta có f m − f n ∞ < max {f m ) Với ε > , { f } n n dãy Côsi hay } ( x) − f n ( x) p , ∀x ∈ ¢ p < Suy ra, với x ∈ ¢ p dãy { f n ( x)}n ε p { f n ( x)}n ε ⇔ f m ( x) − f n ( x) p < ε , ∀x ∈ ¢ p (1) dãy Côsi không gian £ p đầy đủ đó, hội tụ Xét hàm f : ¢ p → £ = lim f n ( x), ∀x ∈ ¢ p ta chứng minh f giới hạn dãy p , f ( x) n →∞ { f n }n C ( ¢ p → £ p ) Vì= f ( x) lim f n ( x), ∀x ∈ ¢ p nên ∃N > 0, ∀m > N ta có n →∞ f m ( x) − f ( x) p < ε , ∀x ∈ ¢ p (2) Giả sử { xn } ⊂ £ p , xn → x ∈ £ p Khi đó, với m ∈ ¥ f m liên tục nên f m ( xn ) − f m ( x) p < ε Từ đó, ∀m > N , ta f ( xn ) − f ( x) p = ≤ max f ( xn ) − f m ( xn ) + f m ( xn ) − f m ( x) + f m ( x ) − f ( x ) { f (x ) − f n m p ( xn ) p , f m ( xn ) − f m ( x) p , f m ( x) − f ( x) p ε }= ... CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHƠNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN ? ?p Chương giới thiệu cụ thể, chi tiết cách xây dựng sở Vanderput cho không gian hàm liên tục ¢ p , C ( ¢ p → £ C ( p ì  p Ê p p ); sở Vanderput. .. Ơ , x  p , x = ao + a1 p + L + a p n −1 p p n −1 + a p n p p + L đó, n x + p n ¢ p = ao + a1 p + L + an −1 p n −1 + p n ¢ p Suy {a + p n ¢ p / a ∈ ¢ p } = {i + p n ¢ p / i = 0, p n − 1} ,... 3) Hàm x a xn ( x ∈ ¢ p ) t? ?p a + p n ¢ p (a ∈ ¢ p , n Ơ * ) 4) Cho x, y  p , n ∈ ¥ Khi đó, xn − yn p 0, x − y p ≤ p? ??n = −n x − y p , x − y p > p 5) ( xn ) m= xmin{n ,m} ,( x ∈ ¢ p