Chuyen de phat trien tu duy hinh hoc lop 7 2qvbp

1 Chuyên đề HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH A Kiến thức cần nhớ Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc (hình 1.1) Hai góc đối đỉnh nhau: ∠AOC = ∠BOD; ∠AOD = ∠BOC Hình 1.1 B Một số ví dụ Ví dụ Cho góc bẹt AOB Trên hai nửa mặt phẳng đối nhay bờ AB vẽ hai tia OM ON ∠BON Chứng minh hai góc AON BOM hai góc đối đỉnh cho ∠AOM = Giải (h1.2) H1.2 * Tìm cách giải Để chứng tỏ hai góc AON BOM hai góc đối đỉnh, ta cần chứng tỏ cạnh góc tia đối cạnh góc Vì có hai tia OA OB đối nên phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối cách chứng tỏ MON góc bẹt * Trình bày lời giải: Góc AOB góc bẹt nên hai toa OA, OB đối Hai góc AOM BOM kề bù nên ∠AOM + ∠BOM = 180° ∠BON ( đề cho) nên ∠BON + ∠BOM =180° Mặt khác ∠AOM = Suy ∠MON = 180° Hai góc AON BOM có cạnh góc tia đối cạnh góc nên chúng góc đối đỉnh Ví dụ Cho hai đường thẳng EF GH cắt O tạo thành bốn góc khơng kể góc bẹt Biêt tổng ∠EOG + ∠GOF + ∠FOH = 250° Tính số đo bốn góc tạo thành Giải (h.1.3) Liên hệ tài liệu word môn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC * Tìm cách giải: Để tính số đo bốn góc tạo thành, trước tiên ta phải tính số đo bốn góc * Trình bày lời giải: Ta có ∠EOG + ∠GOF + ∠FOH = 250° (đề cho), Mà ∠EOG + ∠GOF = 180° (hai góc kề bù) nên ∠FOH = 250°-180 ° ∠FOH + ∠GOF =180° (hai góc kề bù) => ∠GOF = 180°-70°=110° ∠FOH = 70° (hai góc đối đỉnh); ∠HOE = ∠GOF = 110° (hai góc đối đỉnh) Vậy ∠EOG = * Nhận xét: Sau tính số đo góc ta tính số đo ba góc cịn lại nhờ vận dụng tính chất góc kề bù góc đối đỉnh Ví dụ Cho bốn đường thẳng cắt mộ điểm Xét góc khơng có điểm chung, chứng tỏ tồn hai góc nhỏ 45° Giải (h1.4) *Tìm cách giải: Hai góc đối đỉnh Do để chứng tỏ tồn hai góc nhỏ 45, ta cần chứng minh tồn góc nhỏ 45 *Trình bày lời giải: Bốn đường thẳng cắt điểm tạo góc khơng có điểm chung Nếu tất góc lớn 45° tổng chúng lơn 45°x8=360° Điều vơ lý tổng góc 360° Vậy phải tồn góc nhỏ 45° Góc góc đối đỉnh Do tồn hai góc nhỏ 45° Ví dụ Trong hình 1.5, hai góc AOC BOD hai góc đối đinh Hai tia OE OF hai tia đối Biết OE tia phân giác góc AOC, chứng tỏ OF tia phân giác góc BOD H 1.5 Giải * Tìm cách giải : Ta cần chứng tỏ ∠ O3 = ∠ O4 Muốn ta phải sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh * Trình bày lời giải : Hai góc AOC BOD hai góc đối đỉnh nên tia OA, OB đối Ngoài hai tia OE, OF đối nhay nên ta có ∠ O1 = ∠ O3 ; ∠ O2 = ∠ O4 Vì ∠ O1 = ∠ O2 nên ∠ O3 = ∠ O4 (1) Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Mặt khác tia OF nằm hai tia OB, OD (2) Nên từ (1), (2) suy OF tia phân giác góc BOD C Bài tập vận dụng • Tính số đo góc 1.1 Hai đường thẳng AB, CD cắt O tạo thành bốn góc khơng kể góc bẹt Biết ∠ AOC + ∠ BOD= 100° Tính số đo góc tạo thành 1.2 Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt O tạo thành bốn góc khác góc bẹt biết ∠ NOP= ∠MOP Tính số đo góc tạo thành 1.3 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt O Vẽ tia OM tia phân giác góc AOC Biết ∠ BOD= a° ( 0  AMN ⇒ MN > AN ( Quan hệ cạnh đối diện tam giác) ∆ MHN ∆ ABN có BM = BA, BN chung, MN > AN MBN >  ABN ( định lí hai tam giác có hai cặp cạnh nhau) Do  MBN + MBN >  ABN + MBN Suy  B        2MBN > ABC ⇒ 2C > B Do (vì= C MBN) ⇒ C > 22.4 Trên tia đối tia AM lấy điểm D cho MD = MA D ∆ ABM = ∆DCM ( c.g.c ) ⇒ AB = CD;  A= Do AB//CD ⇒ BAC + DCA = 180 ( cặp góc phía) (*) Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 221 • Chứng minh mệnh đề “ Nếu góc A nhọn AM > Nếu AM = BC ” BC 2AM = BC AD = BC ∆ ABC = ∆DCA ( c.c.c ) ⇒  BCA =  DCA = 180 : = 90 , trái GT BC 2AM < BC AD < BC ∆BAC ∆DCA có AB = CD; AC chung BC > AD Nếu AM < BAC >  DCA Do  BAC > 90 , trái GT Từ (*) suy  Vậy góc A nhon AM > • BC Chứng minh mệnh đề “ Nếu AM > BC góc A nhọn” DAC = 90 Nếu A = 90 từ (*) suy  AM = ∆BAC ∆DCA ( c.g.c )= ⇒ BC AD hay = BC , trái GT DCA < 90 Vậy  BAC >  DCA Nếu A > 90 từ (*) suy  BAC >  DCA ∆BAC ∆DCA có: AB = CD; AC chung  BC Do BC > AD hay BC > 2AM tức AM < , trái GT BC Vậy AM > góc A nhọn 22.5 ADB +  BDC + CDA = 360 Vẽ đoạn thẳng DA, DB, DC Ta có  Suy tồn góc có số đo nhỏ 1200 ( ba góc lớn 1200 tổng chúng lớn 3600, vơ lí) Giả sử góc góc BDC BDC ≤ 120 , suy  DBC +  DCB ≥ 60 Xét tam giác BDC có  Do tơn góc lớn 300 > 290 Vậy ba điểm cần tìm B, C, D 22.6 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 222 Gọi M trung điểm BC H hình chiếu A đường thẳng a Khi AH có độ dài khơng đổi Ta có tam giác ABC vng A nên = AM BC hay= BC 2AM ≥ 2AH ( Quan hệ đường vng góc đường xiên) Do BC có độ dài nhỏ 2AH ⇔ M ≡ H ⇔ ∆ ABH vuông cân Ta xác định điểm B sau: - Dựng AH ⊥ BC ; Trên đường thẳng a đặt HB = HA 22.7 Vẽ MH ⊥ BC ; NK ⊥ BC; NI ⊥ MH IN = HK IH = NK (tính chất đoạn chắn song song) C = B Ta có OM//AC ⇒  BOM = Do ∆ MBO cân M, từ ta HB = HO a Tương tự ta có KC = KO Suy = HK = BC 2 Theo quan hệ đường vng góc đường xiên ta có MN ≥ IN = HK = a Dấu “=” xảy ⇔ M ≡ I ⇔ MH= NK ⇔ ∆ MHB= ∆NKC ⇔ BH= CK ⇔ OH= OK ⇔ OB= OC ⇔ O trung điểm BC a Vậy MN = O trung điểm BC 22.8 Vẽ DH ⊥ BC ; EK ⊥ BC ; DF ⊥ EK , ta có DF = HK ( tính chất đoạn chắn song song) 1 Các tam giác vng HBD KCE có  nên BH = D= E= 30 = BD;CK CE Do 2 1 BH + CK= BD + CE= BD + AD= AB= 2cm ( ) ( ) 2 Suy HK = 2cm Dấu “=” xảy ⇔ E ≡ F ⇔ DH = EK ⇔ ∆HBD =∆KCE ⇔ BD =CE ⇔ BD = AD ⇔ D trung điểm AB ( Khi E trung điểm AC) Vậy độ dài nhỏ DE 2cm D E trung điểm AB AC 22.9 (h.22.20) Vẽ BD ⊥ AM , CE ⊥ AM ( D, E ∈ AM ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 223 Ta có BD ≤ BM , CE ≤ CM (quan hệ đường vng góc đường xiên) Do BD + CE ≤ BM + CM = BC (Dấu " = " xảy ⇔ D E trùng với M ⇔ AM ⊥ BC ) • Tính độ dài BC (h.22.21) = 30° nên = Vẽ AH ⊥ BC , ∆AHC vng H có C : 26(cm) AH = AC 52 = Ta có HC = AC − AH = 522 − 262 = 2028 ⇒ HC = 45(cm) = 45° nên tam giác vuông cân Xét ∆ABH vuông H , có B ⇒ BH = AH = 26cm Do BC = 26 + 45 = 71(cm) Vậy giá trị lớn tổng BD + CE 71 cm M hình chiếu A BC 22.10 (h.22.22) 2a Xét ∆ABC có  A = α AB + AC = = AC = a ∆ABC Ta phải chứng minh AB chu vi nhỏ Thật vậy, giả sử AB < AC Trên tia AB lấy điểm B ' , tia AC lấy điểm C ' =' AC =' a cho AB Khi B ' C ' điểm cố định B 'C' có đội dài khơng đổi Ta có AB + AC = AB '+ AC ' = 2a BB ' Do AB + ( AC '+ C 'C) =(AB+ BB') + AC ' ⇒ CC ' = Vẽ BH ⊥ B ' C CK ⊥ B ' C ' ∆BB ' H = ∆CC ' H (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HB ' = KC ' HK = B ' C '.(1) Gọi M giao điểm BC B 'C' Ta có MH ≤ MD, MK ≤ MC ⇒ MH + MK ≤ MB + MC hay HK ≤ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ≥ B ' C ' Ta có chu vi ∆ABC = AB + BC + CA ≥ 2a + B 'C' đổi) Dấu “=” xảy ⇔ B ' ≡ B ậy chu vi ∆ABC ∆ABC C'≡C = AC = a ỏ AB ức ại A 22.11.(h.22.23) Vẽ AH ⊥ xy AH đường thẳng BC ại D Khi BD khơng đổi ∆CHA = ∆CHD ⇒ HA = HD ⇒ xy đường trung Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 224 trực AD Gọi M điểm xy Ta có MA = MD (Tính chất điểm nằm đường trung trực) MA + MB = MD + MB ≥ BD (dấu “=” xảy ⇔ M ≡ C ) Vậy tổng MA + MB ngắn BD M ≡ C 22.12 (h.22.24) Ta có: S = MA + 3MB + MC = ( MA + MB ) = 3.12 + 4.16 = 100 Dấu " = " xảy ⇔ M thuộc đoạn thẳng AB AC ⇔ M ≡ A Vậy S = 100 M ≡ A 22.13 (h.22.25) Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC D ; đường thẳng song song với AC cắt AB E Theo tính , AE HD AD HE = = chất đoạn thẳng song song ta có Vì HB ⊥ AC nên HB ⊥ HE ⇒ HB < HE (quan hệ đường vng góc đường xiên) Chứng minh tương tự ta HC < HD Xét ∆AHD có HA < AD + DH (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: HA + HB + HC < ( AD + DH ) + BE + CD = ( AD + AE ) + BE + CD = ( AD + CD) + ( AE + BE ) < AC + AB (1) Chứng minh tương tự, ta được: HA + HB + HC < AB + BC (2) HA + HB + HC < BC + CA (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 3( HA + HB + HC ) < 2( AB + BC + CA) Do đó: HA + HB + HC < ( AB + BC + CA) 22.14 (h.22.26) Tam giác ABC vuông cân A nên theo định lý Py – ta – go ta tính BC = a Tam giác MAC cân M ⇒ MA = MC , M nằm đường trung trực d AC Xét tổng MA + MB = MC + MB ≥ BC = a Dấu “ = ” xảy M ≡ O với O giao điểm d với cạnh BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 225 Vậy giá trị nhỏ tổng MA + MB a M ≡ O • Nhận xét: Ta thấy MA + MB ≥ AB = a khơng có vị trí M để dấu “ = ” xảy a Vì kết luận min( MA + MB ) = 22.15 (h.22.27) • Xác định vị trí C để chu vi tam giác ABC nhỏ Chu vi ∆ABC CA + CB + AB Do AB cố định nên chu vi ∆ABC nhỏ ⇔ CA + CB nhỏ Vẽ AH ⊥ xy Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD = HA Khi BD đoạn thẳng cố định Gọi C’ điểm xy ∆AHC ' = ∆DHC ' (c.g.c) ⇒ C 'A = C'D Xét ba điểm BDC’ ta có C 'B+ C'D ≥ BD (Dấu “=” xảy ⇔ C ' ≡ C với C giao điểm BD với xy) Do C 'B+ C'D nhỏ BD C ' ≡ C Suy C giao điểm BD với xy chu vi tam giác ABC nhỏ • Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC Vẽ BK ⊥ xy, BI ⊥ AH ta tính HI = 7cm; IA =5cm ID = 9cm Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆IAB vuông I ta có: BI = AB2 − IA = 132 − 52 = 144 Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông IDB ta được: BD = IB2 + ID = 144 + 92 = 225 ⇒ BD = 15(cm) Vậy giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC là: CA + CB + AB = BD + AB = 15 + 13 =28 (cm) 22.16 (h22.28) Gọi M điểm cạnh A’B’ mà kiến phải qua bò từ A đến C Mở nắp hộp A’B’C’D’ đứng lên đến vị trí A’B’C1D1 Xét ba điểm A, M, C1 ta có MA + MC1≥AC1 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 226 Dấu “=” xảy ⇔M trùng với giao điểm O AC1 với cạnh A’B’ ⇔ ∆A ' AM = ∆B'C1M(g.c.g) ⇔ MA ' = MB' ⇔M trung điểm A’B’ Ta có: AC12 = AB2 + BC12 = 202 + 402 = 2000 ⇒ AC1 = 2000 ≈ 44, 7cm Vậy quãng đường ngắn mà kiến phải bò 44,7 cm kiến bò qua trung điểm M cạnh A’B’ theo hành trình đoạn thẳng AM đoạn thằng MC’ Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC MỤC LỤC CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG Chương I: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chuyên đề 1: Hai góc đối đỉnh Chuyên đề 2: Hai đường thẳng vuông góc Chuyên đề 3: Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 11 Chuyên đề 4: Tiên đề Ơ-clit Tính chất hai đường thẳng song song 15 Chuyên đề 5: Định lí 20 Chuyên đề 6: Chứng minh phản chứng 24 Chương II: TAM GIÁC Chuyên đề 7: Tổng ba góc tam giác 29 Chuyên đề 8: Hai tam giác Các trường hợp hai tam giác 35 Chuyên đề 9: Tam giác cân 48 Chuyên đề 10: Định lý Pytago 60 Chuyên đề 11: Các trường hợp tam giác vuông 69 Chuyên đề 12: Vẽ hình phụ để giải tốn 73 Chuyên đề 13: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 81 Chuyên đề 14: Tính số đo góc 88 Chương III: QUAN HỆ CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC Chuyên đề 15: Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác 96 Chuyên đề 16: Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 100 Chuyên đề 17: Quan hệ ba cạnh tam giác 104 Chuyên đề 18: Tính chất đường trung tuyến tam giác 108 Chuyên đề 19: Tính chất tia phân giác góc Tính chất ba đường phân giác tam giác 112 Chuyên đề 20: Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao tam giác 116 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Chuyên đề 21: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 122 Chuyên đề 22: Bất đẳng thức cực trị hình học 127 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Chương I: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chuyên đề 1: Hai góc đối đỉnh 133 Chun đề 2: Hai đường thẳng vng góc 138 Chuyên đề 3: Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song 142 Chuyên đề 4: Tiên đề Ơ-clit Tính chất hai đường thẳng song song 146 Chuyên đề 5: Định lí 150 Chuyên đề 6: Chứng minh phản chứng 154 Chương II: TAM GIÁC Chuyên đề 7: Tổng ba góc tam giác 158 Chuyên đề 8: Hai tam giác Các trường hợp hai tam giác 162 Chuyên đề 9: Tam giác cân 168 Chuyên đề 10: Định lý Pytago 175 Chuyên đề 11: Các trường hợp tam giác vuông 180 Chuyên đề 12: Vẽ hình phụ để giải toán 185 Chuyên đề 13: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 190 Chuyên đề 14: Tính số đo góc 194 Chương III: QUAN HỆ CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA TAM GIÁC Chuyên đề 15: Quan hệ góc cạnh đối diện tam giác 203 Chun đề 16: Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu 209 Chuyên đề 17: Quan hệ ba cạnh tam giác 213 Chuyên đề 18: Tính chất đường trung tuyến tam giác 219 Chuyên đề 19: Tính chất tia phân giác góc Tính chất ba đường phân giác tam giác 226 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Chun đề 20: Tính chất ba đường trung trực, ba đường cao tam giác 232 Chuyên đề 21: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 239 Chuyên đề 22: Bất đẳng thức cực trị hình học 245 Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... BED  => BED  = 90° => BAD  = CED  =90°; BE = CE; DE chung Xét ∆ BDE ∆ CDE có: BED => ∆ BDE = ∆ CDE (c.g.c) =>BD=CD  = 2.C  b) ∆ BDE = ∆ CDE(c.g.c) => B  +C  = 90° (vì tam giác ABC Mặt khác:... lời giải   ∆DEC cân D Đặt DCE = DEC = x Liên hệ tài liệu word mơn tốn SĐT Zalo: 039. 373 .2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 43  + DEC  = x ( góc ngồi tam giác ) ∆DEC có  ADE = DCE  = D  ADE = 2x ∆AED... 1800 ⇔ x 0= 37  +N  (tính chất góc ngồi tam giác ) + Hình ∆MNP có MPx = M x + x 0= 1260 ⇔ x 0= 180 +E +F = + Hình ∆DEF có D 1800 (tính chất) x + 70 0 + x − 420= 1800 ⇔ x 0= 76 0  Ví dụ Cho