Chuyen de tap hop so tu nhien cuc hay

1 CHUYÊN ĐỀ: TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ A Ghi nhớ +) Tập hợp số tự nhiên: N +) Tập hợp số tự nhiên khác O : ( nguyên dương ) : N* +) Chữ số: 0, 1, 2, 3, < +) Phân tích số tự nhiên theo chữ số: abcd  1000a  100b  10c  d B Bài tập Bài 0: Cho ba chữ số a, b, c đôi khác khác Tổng tất số có hai chữ số lập từ ba chữ số a, b, c 627 Tính tổng a + b + c? Lời giải: ab  ac  ba  bc  cb  ca  aa  bb  cc  627  33(a  b  c)  627  a  b  c  19 Bài 1: Cho ba chữ số a, b, c khác khác Tổng tất số có hai chữ số khác lập từ ba chữ số cho 418 Tính tổng a + b + c ? Lời giải: Các số có hai chữ số là: ab, ac, ba, bc, cb, ca Có : ab  ac  ba  bc  cb  ca  418  22(a  b  c)  418  a  b  c  19 Bài 2: Tìm số tự nhiên có ba chữ số abc , thỏa mãn: abc  (a  b  c) Lời giải abc  (a  b  c)3 ( < a ≤ ; ≤ b,c ≤ ) Nhận thấy: 100  abc  999  100  (a  b  c)3  999  53  (a  b  c)3  93 (hoac  103 )   a  b  c   a  b  c  5,6,7,8,9  (a  b  c)3  125, 216,343,512,729 Thử lại ta thấy abc  512 Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết viết thêm số 12 vào bên trái số ta số lớn gấp 26 lần số phải tìm Lời giải Gọi số cần tìm : ab ( a ≠ ; a , b < 10 ) Viết thêm số 12 vào bên trái số ta : 12ab Theo ta có : 12ab  ab.26  1200  ab  ab.26(12ab  1200  ab)  ab.26  ab  1200  ab.(26  1)  1200  ab.25  1200  ab  48 Thử lại : 1248 : 48 = 26 Bài 4: Tìm số có chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số lớn gấp 26 lần số phải tìm Lời giải Gọi số phải tìm : abc(0  a  9;0  b, c  9) Bài 5: Tìm STN có ba chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Lời giải Gọi số phải tìm : abc(0  a  9;0  b, c  9) c  0(loai ) abc  5.a.b.c  a, b, c    c   ab5  25ab(1) b  b  Số có ba chữ số chia hết cho 25 b5 25   Ta có: VT (1) lẻ  VP lẻ  b = ( loại )  b   a75  25.a.7  175a  a  Bài 6: Tìm số có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm 3154, số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27 Lời giải Gọi số phải tìm : ab(a  0; a, b  9; a, b  N )  số sau : ba , giả sử ab  ba , ta có : ba  (b  a)  27  10b  a  b  27  b  , mà : a3.3a 3154 Suy 3,a có tận suy a = Thử lại : 83 38 = 3154 38 – ( + ) = 27 Bài 7: Tìm số có ba chữ số, biết số vừa chia hết cho vừa chia hết cho 9, hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại = 297 Lời giải Gọi số cần tìm : abc , số viết theo thứ tự ngược laị : cba(a  0; a, b, c  10; a, b, c  N ) Theo đầu ta có : abc  cba  297  a  c Mà : abc  cba  297  a  c   a  c  3 Vì : abc  c  0; c  +) c =  a = 3, mà abc  3b0  b  , thử lại : 360 – 63 = 297 +) c =  a = 8, 8b5  b  , thử lại: 855 – 558 = 297 Vậy có hai số cần tìm: 360 855 Bài 8: Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị thương 18 dư Tìm số cho? Lời giải: Gọi số phải tìm là: ab(a  0; a, b  N ; a, b  10) Theo ta có : ab  (a  b).18   10a  b  18a  18b   19b  8a  Vì 8a + số chẵn  b chẵn  b = 0, 2, 4, 6, +) b =  8a + = ( vô lý ) Tương tự : b = , a = thỏa mãn Vậy số cần tìm là: 94 Bài 9: Tìm abcd , biết : (ab.c  d ).d  1977 Lời giải Có : (ab.c  d )  1977 : d Vì ab.c  d STN  1977 STN chia hết cho d  d STN lẻ  d = 1,3,5,7,9  d = d = +) d = suy ab.c  1976  ab số có chữ số ( Loại ) +) d = 3suy ab.c   1977  ab.c  656  ab  656 : c Vì ab có hai chữ số  c >  c = 7,8,9 Nhưng 656 không chia hết cho ; 656 không chia hết cho  c = Thử lại: ab  656 :  82 ( 82.8 + ) = 1977 Suy abcd  8283 Bài 10: Tìm chữ số a, b , c thỏa mãn: a ab  bc  ca  abc b abcd  abc  ab  a  4321 Lời giải a abc  11(a  b  c)  100a  10b  c  11a  11b  11c  b  10c  89a  99  a   b  9; c  8(do : b  10c  99) b 111a  111b  111c  d  4321  4321  1111a  a  1111a  3214(b, c, d  9)  a  Ta có: 111b + 11c + d = 988  b = 11c + d = 100  c = ; d = Bài 11: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số Lời giải Gọi số cần tìm là: abcde ( a khác ) Theo ta có: abcde2 7.abcde abcde 3.2abcde 10.abcde 3.200000 3.abcde 599998 85714 Thử lại: 857142 3.285714 Vậy số cần tìm 857142 Bài 12: Tìm số tự nhiên có tận , biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Lời giải Vì xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị nên số tự nhiên cần tìm có chữ số Gọi số tự nhiên cần tìm abc3, (a Theo ta có: abc3 1992 0) abc 10.abc 1992 abc 9.abc 1989 abc 221 Vậy số cần tìm 2213 Bài 13: Tìm ba chữ số khác khác , biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 Lời giải Gọi ba chữ số cần tìm a, b, c (a b c 0) Theo ta có: abc acb 1444 100a 10b c 100a 10c b 200a 11b 11c 1444 200a 11(b c) 1400 11.4 a 7; b 3; c 1444 Vậy số cần tìm là: 1;3;7 Bài 14: Hiệu hai số Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Lời giải Gọi số a, b (a b) Theo ta có: a b b a (1) Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 3a b (2) 60 Thay (1) vào (2) ta có: 3a (a 4) 60 3a a 60 2a 56 a 28 b 24 Vậy số cần tìm 28, 24 Bài 15: Tìm hai số, biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng Lời giải Theo đầu Nếu biểu thị hiệu phần tổng phần tích 24 phần Số lớn là: (5 1) : Số bé là: 3 (phần) (phần) Vậy tích 12 lần số bé Ta có: Tích = Số lớn x Số bé Tích = 12 x Số bé Số lớn 12 Số bé là: 12 : 3x Bài 16: Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích Lời giải Gọi thừa số giảm a , thừa số lại b Theo đề ta có: a.b 6210 ;(a 7).b 7.b 945 b 945: 135 5265 a a.b 7.b 6210 :135 5265 6210 7.b 5265 7.b 6210 5265 46 Vậy hai thừa số cần tìm 46,135 Bài 17: Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng cột nên tích 30524 Tìm số bị nhân? Lời giải Do đặt sai vị trí tích riêng nên bạn học sinh nhân số bị nhân với Vậy số bị nhân bằng: 30524 :13 2348 Bài 18: Tìm thương phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư không đổi? Lời giải Gọi số bị chia, số chia, thương số dư a, b, c, d Ta có: c (dư d ) a :b a 15 Mà a a d ; (a 15) : (b 5) c.b c (dư d ) a 15 c.(b 5) d c.b c.5 d d nên: a 15 c.b c.b c.5 d c.b d 15 c.b c.5 d 15 c.5 c Bài 19: Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta thương dư Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu Lời giải Gọi số bị chia lúc đầu aaa , số chia lúc đầu bbb số dư lúc đầu r Ta có: aaa aa 2.bb Từ (1) (2) a00 a r (1) r 100 (2) 2.bbb aaa aa 2.(bbb bb) 100 2.b00 100 2b Ta có: b a Thử trường hợp ta đáp số: 555 222 ; 777 333 ; 999 444 Bài 20: Một số có chữ số, tận chữ số Nếu chuyển chữ số lên đầu ta số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số Lời giải Gọi ab7 số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị 7ab số tự nhiên có chữ số số hàng trăm Theo đề ta có: 7ab : ab7 Hay: 7ab 2.ab7 21 Ta có: ab 10a 700 20ab 14 ab => 700 14 21 b; abc dư 21 100a 10b c => 700 ab 21 20ab ab => 665 19ab => ab Vậy số tự nhiên có ba chữ số là: 357 35 2(10ab 7) 21 => Cách 2: Gọi số phải tìm ab7 , theo đề ta có: 7ab => 2(100a 10b => 10a b 700 10a b => 200a 7) 2.ab7 20b 21 => 2.ab7 21 7ab 700 10ab => 190a 19b 28 665 35 Bài tập 21: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước số số lớn gấp lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau số Lời giải Gọi số tiền có năm chữ số là: abcde Theo đề bài: 7abcde Ta có: 7abcde 7abcde 4.abcde7 700000 700000 4.abcde7 700000 28 abcde;4.abcde7 40.abcde abcde abcde 4.(10.abcde 4.(10.abcde 6999972 7) 7) 700000 abcde 40.abcde 28 39.abcde Bài 22: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Lời giải Gọi số phải tìm ab Viết thêm chữ số vào bên trái bên phải ta được: 2ab2 , số đo tăng lên gấp 36 lần => 2ab2 36.ab => 2000 + 10 ab + = 36 ab => 26 ab = 2002 => ab = 77 Bài 23: Nếu ta viết thêm chữ số vào chữ số số có hai chữ số ta số có chữ số lớn số lần Tìm số Lời giải Số tự nhiên có hai chữ số có dạng: ab Thêm chữ số vào hai chữ số: a0b Theo đề bài: a0b Hay 100a b 7.ab 7.(10a b) => 30a 6b => 5a - Khi a , ta được: b (nhận) ab là: 15 - Khi a , ta được: b 10 (loại) b Đáp số: 15 Bài 24: Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số đó, ta số có bốn chữ số 99 lần số Tìm số Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm ab (a, b Theo ra, ta có: aabb 5a a b 4b N; a 0) 1100a 11b 99.ab 990a 99b 110a 88b 5a 4b Mà a; b số có chữ số a 4, b Bài 25 Nếu xen vào chữ số số có hai chữ số số có hai chữ số số đơn vị số có bốn chữ số lớn gấp 91 lần so với số Hãy tìm số Lời giải Gọi số cần tìm ab ( a khác ), ( ab11) Đặt cd ab Theo ta có: abcd 1100a 11b 10 91ab => 1000a b 10(ab 1) 91ab => 910a 91b => 190a 80b 10 => 19a 8b Thử b từ đến ta a => a 8b 19 thoả mãn 3, b Bài 26 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm 3154; số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27 Lời giải Giả sử ab ba , theo Số có dạng 3b Theo 3b.b3 3154 (30 Thế b không phù hợp Thế b Thế b phù hợp b)(10b 3154 ; b số tự nhiên: 3) b 10 Vậy số cần tìm là: 38 83 Bài 27: Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị thương 18 dư Tìm số cho Lời giải Số tự nhiên có chữ số ab (0 a 9; a b; a, b N) Ta có ab : (a b) thương 18 dư ab 18(a b) 10a 8a hai số chẵn b 18a 18b b chẵn 8a 19b 8a 19b Chỉ có b 4; a 94 ab Bài 28: Cho hai số có chữ số chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số viết theo thứ tự ngược lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho Lời giải Gọi số cần tìm abcd xy Ta có: abcd xy 2750 dcba yx (1) 888 (2) Cả phép cộng không nhớ sang hàng nghìn nên từ (1) ta có a Cùng từ (1) ta có d y có tận , mà d Từ (2) ta có a x có tận mà a Từ (1) ta có x c có tận mà x Từ (2) ta có b y có tận mà y nên y nên x , (2) d 6 nên c nên b Vậy số 2688 62 Bài 29: Tìm số có bốn chữ số khác nhau, biết viết thêm chữ số vào hàng nghìn hàng trăm số gấp lần số phải tìm Lời giải Gọi số cần tìm abcd Số a0bcd Ta có a0bcd abcd *9 Hay a0bcd abcd *10 abcd Hay a0bcd abcd Vì d abcd b có tận suy d * Nếu d ta có c - Nếu c b b c có tận nên c nên b , a có tận nên a (loại a khác b ) - Nếu c b b có tận nên b - Nếu b a - Nếu b a nên a * Nếu d suy c khác mà c nên b nên a (loại) (loại a khác c ) c có tận nên c - Nếu b a có tận nên a (loại) - Nếu b a có tận nên a Vậy số cần tìm 6750 Khi b b có tận 10 Bài 30: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải abcd dcba Ta có abcd dcba số có chữ số Nên ta có: a.103.4 * Xét abcd với a d 103 a d a = 2, d = d = => để có abcd = dcba d.4 trước hết phải có chữ số tận a => với d = d.4 = 4.4 = 16 có chữ số tận ≠ a = (loại) * Xét abcd với a = d = Do abcd = dcba ta thấy: +) d.4 có chữ số lận a = (1) +) Vì a = => b < số có hai chữ số => b = 0, b = 1, b = - Với a = 2, d = 8, b = có: 20c8 = 8c02 => 60c = 30 (không thỏa mãn) - Với a = 2, d = 8, b = có: 21c8 = 8c12 => 60c = 420 => c = => có số 2178 - Với a = 2, d = 8, b = có: 22c8 = 8c22 => 60c = 810 (khơng thỏa mãn) * Vậy số cần tìm 2178 Bài 31: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân số với ta số gồm bốn chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải abcd dcba Ta có abcd dcba số có chữ số Nên ta có: a.103.9 Xét abcd : a Với b Vì b Với b 1 11c9.9 d 103 b.9 a d số có chữ số b b 9c11 11c9.9 có c.9 số bé lớn chữ số 10c9.9 1089.9 9c01 c c c Vơ lý 9801 Bài 32: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân số với ta số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ngược lại Lời giải Ta gọi số chữ số ABCDE ( A khác ) ABCDE 28 S  a1 (a1  2)  a2 (a2  2)  a3 (a3  2)   an1 (an1  2)  (a12  a22   an21 )  2(a1   an1 )  S1  k.S2 Trong đó: - Tổng S1  a12  a 22  a 32   a 2n 1 tính theo dạng - S2 = a1  a  a   a n 1 tính theo dạng Bài 1: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + < + 99.101 Lời giải Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + A = 166650 + 2.(1 + 99).50 : => A = 166650 + 5000 = 171650 Bài 2: Tính tổng M = 1.3 + 3.5 + 5.7 + A = 20825 + 1250 = 22075 Bài 3: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + < + 100.102 Lời giải A = 2.(2 + 2) + 4.(4 + 2) + 6.(6 + 2) + < + 98.(98 + 2)+ 100.(100 + 2) A = (22 + 42 + 62 + < + 982 + 1002) + 2.(2 + + + < + 98 + 100) Đặt B = 22 + 42 + 62 + < + 982 + 1002 29 B có dạng B = 12 + 32 + 52 + Với k = 50 có B = k – 1 k  k  1 49.50.51  20825 => A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : => A = 20825 + 1250 = 22075 Bài 4: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + < + 198.200 Lời giải Ta có : 6A = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.6.8 + < + 198.200.6 6A = 2.4.6 + 4.6.(8-2) + 6.8.(10-4) + ) A= (2n  2).2n.(2n  2) (n  N , n  1) Bài 5: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + < + 95.97 + 97.99 Lời giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 62S = 65 + 67 + + 6101 + 6103 => 62S – S = 35S = 6103 – 63 => S = 6103  63 35 Bài 3: Tính tổng S = + 33 + 35 + 37 + < + 3101 + 3103 Lời giải S = + 33 + 35 + 37 + < + 3101 + 3103 => 32S = + 35 + 37 + + 3103 + 3105 => 32S – S = 8S = 3105 + – 27 – = 3105 – 19 => S = 3105  19 1 1 1 Bài 4: Tính tổng S =       99  101 2 2 2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 S =       99  101 =>   S =      101  103 2 2 2 2 2 2 45  1 1 => S –   S = S =    103   103 => S =   103  34  4 2 Bài 5: Tính tổng S = 1 1 1      99  101 3 3 3 Lời giải 35 S= 1 1 1 1 1 1      99  101 =>   S =     101  103 3 3 3 3 3 3 91  1 1 => S –   S = S =  103 => S =   103  3 83  3 Dạng 6: Tổng có dạng: P = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 Cách giải Áp dụng tổng DẠNG là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 +