Nang cao va phat trien toan 6 ycxsx

PHẦN SỐ HỌC : Phần I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG Chương ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN §1 : Tập hợp số tự nhiên Khái niệm tập hợp khái niệm , ta hiểu tập hợp thông qua ví dụ ( xem Sơ lược tập hợp phần chuyên đề) Tập hợp số 0; 1; 2; 3; gọi tập hợp  số tự nhiên Ta xác định  số thứ tự sau: a) số tự nhiên nhỏ nhất; b) a < b điểm a bên trái điểm b tia số Để dễ dàng ghi đọc số tự nhiên, người ta dùng hệ ghi số: đơn vị số định hàng, ta thay số đơn vị hàng liền trước Hệ ghi số thường dùng hệ thập phân Trong hệ thập phân, người ta dùng mười kí hiệu để ghi số , chữ số 0; 1; 2; ;9 mười đơn vị hàng ta làm thành đơn vị hàng liền trước Trong hệ thập phân, ta có : abcd= 1000a + 100b + 10c + d an an−1 .a3a2 a= an 10n + an−1.10n−1 + + a2 102 + a1.101 + a0 10 1a0 Ví dụ Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó: a) Tập hợp A số tự nhiên x mà : x = b) Tập hợp B số tự nhiên x mà x + < c) Tập hợp C số tự nhiên x mà x − = x + VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 48 d) Tập hợp D số tự nhiên x mà x : = x : x e) Tập hợp E số tự nhiên x mà x + = Giải : a) A = {4} , có phần tử b) B = {0;1} , có hai phần tử c) C = ∅, khơng có phần tử d) D = {0} có phần tử e) E = {0; 1; 2; 3; } , có vơ số phần tử ( E  ) Ví dụ Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó: a) Tập hợp A số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chũ lớn chữ số hàng đơn vị b) Tập hợp B số tự nhiên có ba chữ số mà tổng chữ số Giải: a) A = {97; 86; 75; 64; 53; 42; 31; 20} b) B = {300; 201; 210; 102; 111; 120} Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số Giải Cách 1: Gọi số phải tìm lad abcde , ta có phép nhân: 2abcde × abcde2 Lần lượt tìm chữ số số bị nhân từ phải sang trái: 3e tận nên e = , ta có 3.4 = 12 , nhớ sang hàng chục; 3d + 1tận nên d = ; 3c tận nên c = 7, ta có 3.7 = 21, nhớ sang hàng nghìn ; 3a + tận nên a = 8, ta có 3.8 = 24, nhớ sang hàng trăm nghìn ; 3.2 + = VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 49 Ta : 285714 × 857142 Cách Đặt abcde = x, ta có abcde2 = 3.2abcde Hay 10 = x + ( 200000 + x ) 10 x= + 600000 + x x = 599998 x = 85714 Số phải tìm 85714 Chú ý : 1) Khai thác cách giải 1, ta có tốn : Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số bên trái 2, chuyển chữ số xuống cuối số tăng gấp ba lần Giải : Gọi số phải tìm an an−1an−2 a2 a1 , an = 2, ta có : 2an−1an−2 a2 a1 × an−1an−2 a2 a1 Giải cách tiếp tục chữ số số bị nhân dừng lại, ta số nhỏ phải tìm 285714 2) Khai thác cách giải 2, ta có tốn tổng qt : Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có viết thêm chữ số vào đằng trước số Giải : Đặt abcde = x, gọi y chữ số viết thêm vào, ta có: abcdey = yabcde = 10 x + y (100000 y + x ) x = 299999 y x = 42857 y VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 50 Do x có năm chữ số nên y Với y = ta có x = 42857 ; với y = ta có x = 85714 BÀI TẬP Các tập hợp A, B, C , D cho sơ đồ sau ( h.1) D B C A c m a b n Hình Viết tập hợp A; B; C; D cách liệt kê phần tử tập hợp Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đắc trưng phần tử thuộc tập hợp đó: a) A = {1;3;5;7; ;49} b) B = {11;22;33;44; ;99} c) C = {tháng1; tháng 3; tháng 5; tháng 7; tháng 8; tháng 10; tháng 12} Tìm tập hợp số tự nhiên x, cho: a) x+3= b ) – x  =5 c) x:2 = d) 0: x = e) 5.x  12 = Tìm số tự nhiên a b, cho: 12 < a < b < 16 Viết số tự nhiên có bốn chữ số có hai chữ số 3, số chữ số Với hai chữ số I X, viết số La Mã ? (mỗi chữ số viết nhiều lần, không viết liên tiếp ba lần) a) Dùng ba que diên, xếp dược số La Mã nào? VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TOÁN HỌC 51 b) Để viết số La Mã từ 4000 trở lên, chẳng hạn số 19520, người ta viết XIXmDXX (chữ m biểu thị nghìn, m chữ đầu từ mille, tiếng Latinh nghìn) Hãy viết số sau chữ số La Mã : 7203;121512 Tìm số tự nhiên có tận băng 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Tìm số tự nhiên có sáu chữ số, biết chữ số hàng đơn vị chuyển chữ số lên hàng số tăng lên gấp lần 10 Cho bốn chữ số a,b,c,d khác khác Lập số tự nhiên lớn số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số gồm bốn chữ số Tổng chữ số 11330 Tìm tổng chữ số a+b+c+d 11 Cho ba chữ số a, b, c cho < a < b < c a) Viết tập hợp A số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số a, b, c b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488 Tìm ba chữ số a, b, c nói 12 Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 # Ví dụ : 50 Bài tập : 264 đến 268, 274, 275 §2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN Ta xác định N hai phép tốn: phép cộng phép nhân Phép cộng có ba tính chất: giao hốn, kết hợp, cộng với số 0.Phép nhân có ba tính chất : giao hóa, kết hợp , nhân với Giữa phép nhân phép cộng có quan hệ : Phép nhân phân phối phép cộng Giữa thứ tự phép tốn có quan hệ: a < b ⇒ a + c < b + c, a < b ⇒ ab < bc ( với c > ) Trong phạm vi số tự nhiên, phép trừ thực số bị trừ lớn số trừ, phép chia thục số bị chia chia hết cho số chia Với cặp số tự nhiên a b bất kì( b ≠ ) , tồn a bq + r với ≤ r < b Nếu r =  0 ta phép hai số tự nhiên q r cho = VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 52 chia hết, q thương Nếu r ≠ , ta phép chia có dư, q thương r số dư phép chia a cho b Ví dụ : Cho A = 137.454 + 206, B = 453.138 − 110 Khơng tính giá trị A B , chứng tỏ A = B Giải: Chú ý 454 = 453 + 138 = 137 + Do : = A 137.(453 + 1) + 206 = 137.453 + 137 + 206 = 137.453 + 343 , = B 453.(137 + 1) − 110 = 453.137 + 453 − 110 = 137.453 + 343 Vậy A = B Ví dụ 5* Tìm kết phép nhân : 𝐴 = �� 33 ��� … … �� … �� 99 ��� … … �� …9 50 𝑐ℎữ 𝑠ố Giải: 50 𝑐ℎữ 𝑠ố Viết �� 99 ��� … … �� … thành hiệu áp dụng tính chất phân phối phép 50 𝑐ℎữ 𝑠ố nhân phép trừ : 𝐴 = �� 33 ��� … … �� … (1 �� 0… ��� …… �� − 1) 50 𝑐ℎữ 𝑠ố 50 𝑐ℎữ 𝑠ố = �� 33 ��� … … �� … �� 0… ��� …… �� − �� 33 ��� … … �� …3 50 𝑐ℎữ 𝑠ố Đặt phép tính trừ : − 50 𝑐ℎữ 𝑠ố 50 𝑐ℎữ 𝑠ố 33 33 00 00 33 33 33 32  66 67    49 sè 49 sè Ví dụ 6* Tổng hai số tự nhiên gấp ba hiệu chúng Tìm thương hai số tự nhiên Giải : Cách 1, Gọi hai số tự nhiên cho a b ( a > b ) Ta có : a + b= 3(a − b) Nên Suy 4b = 2a , a + b = 3a − 3b tức 2b = a Vậy a :b = VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 53 Ví dụ Khi chia số tự nhiên a cho 54, ta số dư 38 Chia số a cho 18 , ta thương 14 dư Tìm số a a 54 x + 38 (1) , từ phép chia thứ hai ta có Giải : Từ phép chia thứ ta có= = a 18.14 + r (2) , x, r ∈  < n < 18 Từ (1) ta có : a= 54 x + 38= 18.3x + 18.2 + 2= 18.(3x + 2) + Như r = = a 18.14 += 254 Ví dụ 8* Chứng minh A luỹ thừa 2, với : A =4 + 22 + 23 + 24 + + 220 Giải : A =4 + 22 + 23 + 24 + + 220 A =8 + 23 + 24 + + 220 + 221 Suy : A − A= 221 + − (4 + 22 ) Vậy A = 221 BÀI TẬP 13 Có thể viết hay khơng chín số vào bảng vng x 3, cho : Tổng số ba dòng theo thứ tự 352, 463, 541; tổng số ba cột theo thứ tự 335, 687, 234? 14 Cho chín số xếp vào thành hàng ngang, số 4, số cuối tổng số ba liền 17 Hãy tìm chín số 15 Tìm số có ba chữ số , biết chữ số hàng trăm gấp bốn lần chữ số hàng đơn vị viết số theo thứ tự ngược lại giảm 594 đơn vị 16 Thay dấu * sô thích hợp: **** − *** = ** Biết số bị trừ, số trừ hiệu không đổi đọc số từ phải sang trái ( Ví dụ : số 135 đọc từ phải sang trái số 531) 17 Hãy xếp chín số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 vào hình trịn đặt cạnh tam giác ( h.2), cho tổng số cạnh 17 Hình VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TOÁN HỌC 54 18 Hiệu hai số Nếu tăng số gấp lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Nhân chia 19 Tìm hai số biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng 20 Tìm hai số biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, cịn tích chúng gấp 192 lần hiệu chúng 21 Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích 22 Bạn Bảo làm phép nhân, số nhân 102 Nhưng viết số nhân, bạn qn khơng viết chữ số nên tích bị giảm 21870 đơn vị so với tích Tìm số bị nhân phép nhân 23 Một học sinh nhân 78 với số nhân số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp ba lần chữ số hàng đơn vị Do nhầm lẫn bạn viết đổi thứ tự hai chữ số số nhân, nên tích giảm 2808 đơn bị so với tích Tìm số nhân 24 Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng cột nên tích 30524 Tím số bị nhân 25 Hãy chứng tỏ hiệu sau viết thành tích hai thừa số nhau: 11111111 – 2222 26 Chỉ hai số khác cho nhân số với ta kết số gồm toàn chữ số 27* Tìm kết phép nhân sau: 33 .3.33   3 50 c/sè 50 c/sè 28 Chứng minh số sau viết thành tíchcủa số tự nhiên liên tiếp: a) 111 222 b) 444 222 29 Tìm hai số tự nhiên có thương 35, biết số bị chia tăng thêm 1056 đơn vị thương 57 VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 55 Chia có dư 30 Tìm số bị chia số chia, biết : thương 6, số dư 49, tổng só bị chia, số chia số dư 595 31 Một phép chia có thương 4, số dư 25 Tổng số bị chia số chia số dư 210 Tìm số bị chia số chia 32 Trong năm,c ó ngày chủ nhật? Có nhiều ngày chủ nhật? 33 Ngày 19-8-2002 vào ngày thứ Tính xem ngày 19-8-1945 vào ngày tuần? 34 Tìm thương phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư khơng đổi 35 Tìm thương phép chia, biết tăng số bị chia 90 đơn vị, tăng số chia đơn vị thương số dư khơng đổi 36 Tìm thương phép chia, biết tăng số bị chia 73 đơn vị, tăng số chia đơn vị thương khơng đổi, cịn số dư tằng thêm đơn vị 37 Xác định phép chia, biết số bị chia, số chia, thương số dư bốn số số sau: a) 3, 4,16,64, 256,772 b) 2,3,9, 27,81, 243,567 38 Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số nhau, ta thương cịn dư Nếu xố chữ số số bị chia xoá chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu 39 Trong pháp chia có dư, số bị chia gồm bốn chữ số nhau, số chia gồm ba chữ số nhau, thương 13 dư Nếu xoá chữ số số bị chia , xoá chữ số số chia thương khơng đổi, số dư giảm trước 100 đơn vị Tìm số bị chia số chia lúc đầu VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 56 Lũy thừa Phối hợp phép tính 40 Tính a 410.815 d A = b 415.530 723.542 1084 e B = c 2716 : 910 310.11 + 310.5 39.24 41 Tính giá trị biểu thức: a 210.13 + 210.65 28.104 ) ( b (1 + + + + 100 ) 12 + 22 + 32 + + 102 ( 65.111 − 13.15.37 ) 42 Tìm số tự nhiên x , biết rằng: a x.4 = 128 b x15 = x c ( x + 1) = 125 d ( x − ) =( x − ) 43 Cho A =3 + 32 + 33 + + 3100 Tìm số tự nhiên n, biết A + = 3n 44 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết bình phương chữ số hàng chục tích hai chữ số số tự nhiên trừ số gồm ba chữ số theo thứ tự ngược lại 495 45 Tính nhanh: a 19.64 + 76.34 b 35.12 + 65.13 c 136.68 + 16.272 d ( + + + + 100 ) ( 36.333 – 108.111) e (19991999.1998 ) – 19981998.1999 46 Khơng tính cụ thể giá trị A B, cho biết số lớn lớn bao nhiêu? a A 1998.1998; = = B 1996.2000 b A 2000.2000; = = B 1990.2010 VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 57 355 a) 858,363 b) a + b  Có 11 đáp số: 61 + 16, 52 + 25, 43 + 34, 95 + 59, 86 + 68 ( hoán vị tổng trên), 77 + 77 c) 96 + 69, 87 + 78 ( hoán vị tổng trên) nên 11  x − 356 a) 11.2 x  x − mà ( x, x − 1) = Đáp số:= x 1,= x b) = = x 19, y 38 357 Đó số gồm 300 chữ số 358 Chú ý tổng chữ số hàng lẻ A n tổng chữ số A n a) n chia hết cho 99 b) So với trường hợp a , cần thêm điều kiện A  101 , cần thêm điều kiện n chẵn Vậy n phải chia hết cho 198 = x 20 = k ( k 1, 2,3, ) 359 36 x  45 ⇒ x  5, 45 x  36 ⇒ x  4, Theo đề 36.45  20k nên 81  k Đáp số : 20,60,180,540,1620 360 Một số chia hết cho 7,11,13 hiệu số tạo ba chữ số tận số nghìn số chia hết cho 7,11,13 361 Một số chia hết cho hiệu số chục lần chữ số đơn vị số chia hết cho Chứng minh: Gọi số chục n , chữ số đơn vị a Ta có X = 10n + a, Y = n − 2a Xét X + Y= 20n + 2a + n − 2a= 21n  (1) Nếu Y  từ (1) suy X  7, X  Nếu X  từ (1) suy Y  362 abc deg = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + g = 100002a − 2a + 10003b − 3b + 1001c − c + 98d + 2d + 7e + 3= e+ g = − 2a − 3b − c + 2d + 3e + g Từ suy điều phải chứng minh = 363 Giả sử 2n a= (1) , 3n b3 ( ) ; a, b ∈  VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC Từ (1) : a  ⇒ a  ⇒ a  ⇒ 2n ⇒ n Từ ( ) : b3  n ⇒ b3  ⇒ b ⇒ b3 8 ⇒ 3n8 (3) nên Do Từ (2): (4) có hai chữ số nên n = 72 Do Từ (3) (4): ; 364 Ta thấy Đặt phải chia hết cho , cho , cho Khi đó: (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta thấy: , , Để , Để nhỏ ta chọn nhỏ ta chọn Để , , , nhỏ ta chọn Vậy 365 Đáp số: ; , ta có 366 Gọi số phải tìm nên Đáp số: 367 Gọi hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm Xét hai trường hợp: n +  a) số lẻ có ba chữ số chia hết cho 125 nên Khi Trong số trên, có Hai số phải tìm n  b) số lẻ có ba chữ số chia hết cho 125 nên VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC Khi Trong số trên, có Hai số phải tìm Kết luận: Có hai đáp số: ; và ; hay , 369 Trường hợp 370 Đặt MÙI = ; hay TÂN 371 Gọi số phải tìm, số viết từ tân khác tận khác mà , số chia hết cho Giả sử chia hết cho có dạng nên ; b = db′ , Ta có cho theo thứ tự ngược lại Theo đề nên Tương ứng phải có số chia có dạng , cần chứng minh , 372 Gọi , , , tức Giải tương tự trên, ta có đáp số: Tích hết cho Trường hợp cho , ta có n + 1, ta có: 368 Gọi hai số tự nhiên phải tìm Có đáp số: , phải (1) nên (2) (3) Ta có Nhận xét (2) (3), ta thấy để chứng minh (1), cần chứng minh Hãy chứng tỏ có ước nguyên tố mâu thuẫn với 373 Cách Do Vậy ( ) Cách 374 Gọi Khi số phải tìm , ta có Để nhỏ nhất, ta chọn ( nhỏ nhất, 375 Gọi số phải tìm , mặt khác số lẻ, Suy có tận bằng tiếp điều kiện chia cho dư , ta số có tận VŨ HỮU BÌNH có tận Kiểm tra TÀI LIỆU TỐN HỌC Có số thoả mãn đề là: 376 a) bội bội Đáp số: 2302 b) Gọi số quân (1) (2) (3) bội Cộng (1), (2), (3) suy bội SỐ CHÍNH PHƯƠNG 377 a) Ta biết số phương chia hết cho phải chia hết cho chia hết cho , chia cho dư , khơng phải số phương b) tận nên khơng số phương c) Khơng số phương tận d) Khơng số phương tận e) chia hết cho phương g) phương không chia hết cho chia hết khơng số khơng chia hết khơng số 378 a) Số phương tận phải chứa thừa số nguyên tố với khơng số số mũ chẵn, phải tận số chẵn chữ số Vậy phương b) Biến đổi khơng số phương (vì chia hết cho Số ) Vậy khơng số phương 379 a) b) c) 380 khơng chia hết cho , vơ lí , vơ lí , vơ lí Ta biết số phương phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, ( ) Điều vơ lí phải VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC Vậy khơng số phương 381 Số phương khơng tận , Số phương tận phải tận phải tận Số , tận Do số phương lập bốn chữ số phương chia hết cho phải chia hết cho Xét số ta thấy: ; ; Vậy số phương phải tìm 382 Đáp số: 383 Đáp số: 384 Khơng, số tạo thành chia hết cho không chia hết cho 385 Khơng, lí 386 a) Tổng chữ số nên , hợp số khơng chia hết cho b) chia hết cho c) khơng số phương nên số lượng ước nên không số phương khơng thể số lẻ 387 Tổng chữ số số lập , chia hết cho không chia hết cho , nên số lập khơng số phương Các số khơng chia hết cho tổng chữ số số số lẻ 388 Ta có khoảng 389 Đáp số: nên Tìm số phương lẻ Tương ứng số , có số phương Đáp số: , số 390 a) Gọi tổng chữ số , tức số b) Số phương phải tìm chia hết cho , cho 391 Gọi số phải tìm , ta có: ab + ba = , ta có , , có ba chữ số Có hai đáp số: n (n ∈ N ) ⇒ a+b = 11 Có VŨ HỮU BÌNH đáp số: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 392 Giả sử n = (a + 1)a (a + 2)(a + 3) Chữ số tận Tương ứng ta có số phương Chỉ có 4356 = 662 , ba trường hợp bị loại 393 Số 5n + tận Xét hai trường hợp: a) Trường hợp 5n + tận ( 5n + ) có tận Cần tìm số có dạng * * bình phương số tận Khơng có số thỏa mãn điều kiện vì: 742 = 5476 < * * < 7056 = 842 b) Trường hợp 5n + tận ( 5n + ) tận Cần tìm số có dạng * * bình phương số tận Ta thấy 292 =841 < * * < 2401 =492 , cịn 392 = 1521 Vậy số phương phải tìm 1521 50 394 Đặt C = 11  = C.10 + C  00  + 11  B = 2C , cịn A = 11 50 chữsố 50 chữsố Do 50 chữsố 50 chữsố − 99 = 9C A −= B C.1050 + C − = 2C C.1050 −= C C(1050 − 1) Ta lại có 1050=  50 chữsố Vậy A − B= C.9C= 9C2= (3C)2= (33 3) số phương   , 50 chữsố 395 Với n = 1!= 1= 12 , khơng số phương Với n = 1!+ 2! = Với n = 1!+ 2!+ 3! = = 32 Với n ≥ 1!+ 2!+ + n ! tận nên khơng số phương ( Thật 1!+ 2!+ 3!+ 4! = 33 , cịn 5!,6!, tận 0) Có hai đáp số: = n 1,= n VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC HÌNH HỌC Bốn điểm A, B, C , D thuộc đường thẳng BC O (h.23) a) Ba điểm A, B, D thuộc đường thẳng BC b) Các đường thẳng trùng AB, AC , AD, BC , BD, CD nhau, kí hệu đường thẳng a Có năm đường thẳng: a OA, OB, OC , OD (h.24) Điểm C nằm hai điểm A D, A E , B D, B E a A B D C Hình 23 A B C D E Hình 24 Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm nằm hai điểm lại Điểm A khơng nằm hai điểm cịn lại, điểm B khơng nằm hai điểm cịn lại, C nằm hai điểm lại A B C A D B C b) a) Hình 25 Hình 25 D b) thỏa mãn đề D không nằm B C a) Xem hình 26 b) Xem hình 27 c) Xem hình 28 VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC Hình 28 Hình 27 Hình 26 (h 29) a) Có tia, có đoạn thẳng b) Có cặp tia đối nhau: Ax Ay, A  Ox Oy, O C B y x     Cx Cy, Hình 29 Bx By (h 30): a) Các tia CM CA trùng M nằm A C (1) M A N C B Hình 30 b) Các tia CN CB trùng N nằm C B (2) c) C nằm A B nên tia CA CB đối (3) Từ (1), (2), (3) suy tia CM CN đối nhau, C nằm M N Ta chứng tỏ tia BA BD đối Thật vậy, B nằm A C nên tia BA BC đối (1), C nằm B D nên tia BC BD trùng (2) Từ (1) (2) suy tia BA BD đối nhau, B nằm A D 10 Điểm D không nằm hai điểm A B Hãy chứng tỏ tia BA BD đối 11 Điểm B nằm hai điểm A D Thật vậy, B nằm A C nên tia BA BC đối nhau, D thuộc tia BC nên tia BC BD trùng Vậy tia BA, BD đối nhau, B nằm A D 12 a) Xem hình 31a b) Xem hình 31b VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC A A a B C a B C b) a) Hình 31 13 a) Xem hình 32 b) Xem hình 33 Hình 32 Hình 33 14 a) Xem hình 34 Chú ý đoạn thẳng thứ thứ hai phải vẽ vượt ngồi điểm cho Hình 34 Hình 35 b) Xem hình 35 Chú ý đoạn thẳng thứ ba thứ tư phải vẽ vượt điểm cho 15 Ba điểm A, B, C không thẳng hàng Giải tương tự câu b) ví dụ C B A D Hình 36 CB 16 (h 36) Các tia AC AB đối nên A nằm C B, suy CA + AB = (1) Các tia BA BD đối nên B nằm A D, suy AB + BD = AD (2) Ta lại có CA = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy CB = AD VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 (h.37) Các điểm C B thuộc tia AB mà AC < AB nên C nằm A B ⇒ AC + CB = AB ⇒ + CB =⇒ CB = 6(cm) A B C D Hình 37 (h.29) a) Có tia, có đoạn thẳng A x b) Có cặp tia đối nhau: Ax Ay , O Ox Oy , Cx Cy , Bx By B C y Hình 29 (h.30): a) Các tia CM CA trùng M nằm A C (1) M N A C B Hình 30 b) Các tia CN CB trùng N nằm C B (2) c) C nằm A B nên tia CA CB đối (3) Từ (1), (2), (3) suy tia CM CN đối nhau, C nằm M N Ta chứng tỏ tia BA BD đối Thật vậy, B nằm A C nên tia BA BC đối (1), C nằm B D nên tia BC BD trùng (2) Từ (1) (2) suy tia BA BD đối nhau, B nằm A D 10 Điểm D không nằm hai điểm A B Hãy chứng tỏ tia BA BD đối 11 Điểm B nằm hai điểm A D Thật vậy, B nằm A C nên tia BA BC đối nhau, D thuộc tia BC nên tia BC BD trùng Vậy tia BA , BD đối Do đó, B nằm A D 12 a) Xem hình 31a A A a b) Xem hình 31b B B C C a a) b) Hình 31 VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 13 a) Xem hình 32 b) Xem hình 33 14 a) Xem hình 34 Chú ý đoạn thẳng thứ thứ hai phải vẽ vượt điểm cho 1 Hình 34 Hình 35 b) Xem hình 35 Chú ý đoạn thẳng thứ ba thứ tư phỉa vẽ vượt điểm cho C A B 15 Ba điểm A, B, C không thẳng hàng Giải tương tự câu b) ví dụ D Hình 36 16 (h.36) Các tia AC AB đối nên A nằm C B , suy CA + AB = CB (1) Các tia BA BD đối nên B nằm A D , suy AB + BD = AD (2) Ta lại có CA = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy CB = AD 17 (h.37) Các điểm C B thuộc tia AB mà AC < AB nên C nằm A B ⇒ AC + CB = AB ⇒ + CB =⇒ CB = 6(cm) A D C B Hình 37 Các điểm C D thuộc tia BA mà BD < BC nên D nằm B C ⇒ BD + DC = BC ⇒ + DC =⇒ DC = (cm) VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 18 Xét hai trường hợp: C thuộc tia BA (khi AC = cm) thuộc tia đối tia BA (khi AC = 7cm) AC CB AC + CB AB = = = =2,5 (cm) 19 (h.38) DE =DC + CE = + 2 2 A C B A C D E D B I E Hình 39 Hình 38 20 (h.39) CB = AB − AC = − = (cm) AC CB DE = DC + CE = + =+ 1,5 = 2,5 (cm) 2 I trung điểm DE ⇒ DI = CI= DI − DC= 1, 25 − 1= 0, 25 (cm) 21 (h.40) A3 A DE 2,5 = = 1, 25 (cm) 2 A1 A2 B Hình 40 AA1 = 1 1 AB , AA = AB , AA3 = AB , …,= AA20 = AB (m) 20 2 2 220 22 a) Bạn đọc tự giải b) Trường hợp C thuộc tia đối tia AB (h.41): M C M C Ta có CM = A B N A N B Hình 41 CA CB , CN = , CA < CB ⇒ M nằm C N Do : 2 MN = CN − CM = CB CA CB − CA AB a − = = = Kết câu a 2 2 Trường hợp C thuộc tia đối tia BA , kết câu a Giải tương tự a+b a −b −b = 23 Trường hợp a > b (h.42a) : IC = IB − CB = 2 A I C B a) VŨ HỮU BÌNH A C I B b) Hình 42 TÀI LIỆU TOÁN HỌC - Trường hợp a < b (h 42b) : Giải tương tự trên, IC = b−a - Trường hợp a = b I ≡ C 24 - Trường hợp C thuộc tia đối tia AB (h 43): IC =CA + AI =a + AB b−a a+b =a + = 2 C A I Hình 43 - Trường hợp C thuộc tia đối tia BA : Giải tương tự trên, IC = B a+b CHUYÊN ĐỀ 25 a) Có đường thẳng: A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A2 A3 , A2 A4 , A3 A4 b) Có: 20 19 : = 190 (đường thẳng) c) Có: d) Giải n ( n − 1) (đường thẳng) n ( n − 1) = 1128 , n = 48 n ( n − 1) 4008 (vì tích = 2004 Khơng tìm số tự nhiên n thỏa mãn n ( n − 1) = hai số tự nhiên liên tiếp không tận 8) e) Giải 26 Có 4945 đường thẳng Giải tương tự ví dụ 11b n ( n − 1) = 105 nên n ( n − 1)= 210= 2.3.5.7= 15.14 Vậy n = 15 28 Nếu bốn điểm thẳng hàng có đường thẳng (h.44a) Nếu có ba điểm thẳng hàng có đường thẳng (h 44b) Nếu khơng có ba điểm thẳng hàng có đường thẳng (h.44c) 27 Ta có c) b) a) 29 a) Nếu ba đường thẳng đồng quy có giao điểm (h.45b) Nếu ba đường thẳng Hình 44 khơng đồng quy có ba giao điểm (h.45d) b) Xem hình 45 a) b) c) d) Hình 45 VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 30 Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng lại tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101 100 giao điểm, giao điểm tính hai lần nên có: 101 100 : = 5050 (giao điểm) Chú ý: Tổng quát với n đường thẳng, có 31 Từ n ( n − 1) giao điểm n ( n − 1) = 780 , ta tính n = 40 32 a) Số đoạn thẳng có: 10 : = 45 Chú ý: Tổng quát với n điểm, số đoạn thẳng n ( n − 1) b) Điều kiện có ba điểm thẳng hàng khơng ảnh hưởng đến số đoạn thẳng đếm 33 Đáp số: n = 30 34 a) miền (h.46) b) 4, miền (h.47) c) 11 miền (h 48) a) a) b) c) b) d) d) Hình 48 n ( n + 1) Chú ý: Tổng quát, n đường thẳng chia mặt phẳng nhiều thành + miền Hình 46 Hình 47 Thật vậy, mặt phẳng bị chia thành nhiều miền khơng có hai đường thẳng song song, khơng có ba đường thẳng đồng quy Một đường thẳng chia mặt phẳng thành miền Đường thẳng thứ hai cắt đường thẳng trư ớc, bị chia thành hai tia nên tạo thêm hai miền Đường thẳng thứ ba cắt hai đường thẳng trước, bị chia thành hai tia đoạn thẳng nên tạo thành ba miền mới….Cứ vậy, đường thẳng thứ n cắt n − đường thẳng trước, bị chia thành tia n − đoạn thẳng nên tạo thêm n miền Vậy số miền có: + + + +…+  =1 + (1 + + +…+ )  = VŨ HỮU BÌNH n ( n + 1) + TÀI LIỆU TOÁN HỌC VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC ... sau 5 261 0 Số chia Thươn g 66 210 36 Giải: Tính tích chữ số thương với số chia, ta được: − 46 4 06; 466 = − 464 ; 210= − 36 174 452= Phép chia có dạng: 45 261 0 Sè chia 4 06 Thg 466 464 210 174 36 Số... (1374.57 + 68 7. 86 ) : ( 26. 13 + 74.14 ) c (124.237 + 152 ) : ( 870 + 235.122 ) ; d 423134.8 462 67 − 423133 8 462 67.423133 − 423134 50 Tìm số tự nhiên a , biết rằng: a 69 7 : 15.a + 364 = 17 a 27... số khác # Ví dụ: 36, 40, 63 đến 68 , 92 đến 94, 96, 97, 129 Bài tập: 223 đến 2 26, 269 , 270, 2 76, 287, 302 đến 311, 380 đến 385, 387 đến 395 VŨ HỮU BÌNH TÀI LIỆU TỐN HỌC 71 ? ?6 ƯỚC VÀ BỘI Bằng cách