Skkn môn toán thpt giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ" skkn I/ PHẦN MỞ ĐẦU 1- Tên đề tài: Giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ – Lý chọn đề tài: Trong toán học nói chung hình học nói riêng khơng có phương pháp chung để giải toán Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Với loại tốn ln địi hỏi phương pháp cụ thể để giải cách đơn giản Sự đời phương pháp toạ độ đơn giản hoá phần lớn toán hình học khơng gian Thơng qua phương pháp toạ độ phương pháp vectơ xây dựng thêm cơng cụ giải tốn, cho phép đại số hố hình học, hình học hố đại số Với học sinh lớp 12, em làm quen với phương pháp toạ độ mặt phẳng, sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải tốn hình học khơng gian cách thuận tiện 3- Phạm vi , đối tượng nghiên cứu: - Khách thể: Học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Một số tốn hình học khơng gian - Phạm vi nghiên cứu: Các toán sơ cấp hình học khơng gian chương trình THPT - Thực đề tài tập học sinh lớp 12 II– QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: – Tình trạng thực tế trước thực đề tài: Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian để giải tốn hình học không gian Tôi tiến hành kiểm tra qua tốn sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: “Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD)” skkn 30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện 10% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu 2- Các biện pháp thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá kiến thức Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập ứng đụng cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng – Kết thực đề tài: Tôi tiến hành kiểm tra qua tốn sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB kẻ SH vng góc với mp (ABCD) cho góc cạnh SD đáy ABCD 600 a/ Tính SH khoảng cách từ H đến mp (SCD) b/ Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK SD tính góc hai mặt phẳng (ASD);(CSD) c/ Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) Kết : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện 80% Phiên dịch từ tốn hình học khơng gian sang ngơn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu III– Những học kinh nghiệm kiến nghị sau thực đề tài Qua kết điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy giải tốn hình học khơng gian, học sinh thường không ý đến phương pháp toạ độ tính ưu việt skkn lúng túng giải phương pháp toạ độ Do học sinh ngại giải tốn khơng gian Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học mơn hình học khơng gian thấy tính ưu việt phương pháp toạ độ giải tập hình học khơng gian, thầy giáo cần đề giải pháp giải tốn hình học không gian phương pháp toạ độ Lựa chọn tốn quy toạ độ hệ toạ độ thích hợp Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện Phiên dịch từ tốn hình học khơng gian sang ngơn ngữ toạ độ ngược lại NỘI DUNG Chương I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Hệ trục toạ độ Cho ba trục toạ độ x’Ox, yOy, z’Oz vng góc với đôi điểm O Gọi véctơ đơn vị tương ứng trục x’Ox, Hệ ba trục toạ độ gọi hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz đơn giản toạ độ Oxyz z   k j O i x y + Trục Ox gọi trục hoành + Trục Oy gọi trục tung + Trục Oz gọi trục cao + Điểm O gọi gốc hệ toạ độ skkn 2/ Vectơ hệ toạ độ + Cho hệ toạ độ Oxyz vectơ tuỳ ý Vì ba vectơ nên có ba số x, y, z cho: không đồng phẳng + Bộ ba số (x; y; z) gọi toạ độ vectơ , kí hiệu gọi hoành độ, số y gọi tung độ số z gọi cao độ vectơ + Với hai điểm + Nếu có hai vectơ Số x thì: thì: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) Tích có hướng hai vectơ vectơ xác định bởi: 3/ Khoảng cách hai điểm skkn Cho hai điểm vectơ : , khoảng cách d độ dài 4/ Chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số cho trước Điểm thức: chia đoạn thẳng theo tỉ số k: Đặc biệt k= - 1, M trung điểm xác định cơng , toạ độ M là: 5/ Góc hai vectơ Góc hai vectơ skkn xác định bởi: 6/ Hai vectơ phương Hai vectơ tồn số thực k cho: phương với ba định thức sau 0: 7/ Phương trình mặt phẳng a Khái niệm Một vectơ gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng đường thẳng vng góc với Mặt phẳng tuyến hồn tồn xác định cho biết điểm nằm vectơ pháp b Định lý Mỗi mặt phẳng tập hợp tất điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng: ngược lại phương trình dạng phương trình mặt phẳng 8/ Phương trình đường thẳng a Định nghĩa: Vectơ vectơ phương đường thẳng (d) skkn b Phương trình tổng quát đường thẳng: Vì đường thẳng (d) khơng gian xem giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đó, nên phương trình tổng qt (d) có dạng: với điều kiện (1), (2) theo thứ tự phương trình hai mặt phẳng (P) (Q) 9/ Phương trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp điểm cách điểm không đổi mặt cầu có phương trình: cho trước khoảng R>0 Chương II GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ Để giải tốn hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng phải dựa vào yếu tố, quan hệ hình học, đồng phẳng, song song, vng góc, Nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp ta chuyển thể tốn hình học sang tốn đại số với số, chữ, véc tơ với phép tốn Với tốn đại số có định hướng rõ ràng khả tìm lời giải skkn nhanh Để thực điều đó, địi hỏi học sinh phải có luyện tập, vận dụng kiến thức cần nắm quy trình giải tốn phương pháp toạ độ thích hợp Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp Bước 2: Phiên dịch tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ Bước 3: Dùng kiến thức toạ độ để giải toán Bước 4: Phiên dịch kết tốn từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học Trong bước trên, bước bước học sinh hoàn toàn làm nhờ kiến thức liên hệ hình học khơng gian hệ toạ độ biết, bước học sinh sử dụng kiến thức hệ toạ độ cách sáng tạo để giải toán Buớc học sinh gặp khó khăn khơng có phương pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện phải biết dựa vào số đặc điểm toán Chọn hệ toạ độ cho gốc trùng với điểm cố định biết, dựa vào đường thẳng vng góc để gắn với trục toạ độ, điểm biết gắn với toạ độ đơn giản, thuận lợi II/Giải tốn định lượng hình học khơng gian Đối với loại tốn tính tốn, khơng chuyển phương pháp toạ độ khó khăn hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà có phương pháp toạ độ ta biểu diễn khoảng cách cách đơn giản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết skkn 10 Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thường bao gồm: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Góc, khoảng cách hai đường thẳng chéo Tính độ dài đoạn thẳng Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA’B’C’D’ ta thường thết lập hệ trục toạ độ dựa ba cạnh AB, AD AA’ tương ứng với trục Ox, Oy, Oz Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng A’B AC’ b/ Gọi K trung điểm DD’ Tính góc khoảng cách đường thẳng CK A’D’ c/ Mặt phẳng (P) qua BB’ hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc Tính góc z Giải A’ B’ Chọn hệ trục toạ độ Axyz với x B A D’ C’ Dy C , đó: skkn 11 Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp ) nên: ) hai góc ( giả sử Với ta được: Với ta được: Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB; AC; AD vng góc với đơi một, biết AB=a AC=b, AD=c a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD) D Giải z  A I C y B Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: x skkn 13 a/ Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, giả sử toạ độ I Tacó Toạ độ điểm I là: * Xác định bán kính R Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm bán kính: b Phương trình mp(BCD): Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) h ta có: skkn 14 Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là: Bài 3: Chứng minh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AC’ vng góc với mặt phẳng (B’CD’) Giải z A’ C’ B’ Chọn hệ toạ độ hình vẽ Giả sử hình lập phương có cạnh a Ta có toạ độ điểm là: x B D’ D y A O C A(0;0;0); B’(a;0;a); C(a;a;0); D’(0;a;a); C’(a;a;a) Ta có: ; (1) (2) skkn 15 Từ (1) (2) suy Vậy suy điều phải chứng minh * Bài tập Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDA’B’C’D’ đường cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) góc Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc , B’O vng góc với đáy ABCD, cho BB’=a a/ Tính góc cạnh bên đáy b/ Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD’) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết số đo góc nhị diện (B SC D) 1200 Bài 4: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB kẻ SH vng góc với mp(ABCD) cho góc cạnh SD mặt đáy (ABCD) 600 a/ Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) b/ Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK SD tính số đo góc mặt phẳng (A S D ) (C S D ) c/Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) skkn 16 III/ Giải tốn định tính hình học khơng gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ suy kết cần chứng minh Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh nhau: AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b Chứng minh đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh đường vng góc chung hai cạnh z Giải B  I A Gọi I, K trung điểm AB Ta cần chứng minh: x skkn C y K D CD 17 Chọn hệ trục toạ độ Đề Oxyz cho Giả sử hệ trục toạ độ Khi Theo giả thiết, ta có: Ta có skkn 18 Tương tự ta có: Chứng minh tương tự ta có: đường vng góc chung cặp cạnh đối diện AB CD Chứng minh tương tự ta có IK đường vng góc chung cặp đối diện cịn lại ĐPCM skkn 19 Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên BD AD’ lấy hai điểm thay đổi M,N cho CMR: MN song song với mặt phẳng cố định Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: Khi z Gọi A’ Ta có: C’ B’ N Mặt khác theo giả thiết: A x D’ B D y M C Đặt : skkn 20 Xét Suy luôn đồng phẳng Suy MN luôn song song với (A’BCD’) cố định Bài 3: Cho tứ diện DABC có ba cạnh DA; DB; DC vng góc với đơi Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh mặt phẳng qua O khoảng cách từ D xuống tổng đại số khoảng cách từ A, B, C đến mp z A Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz vng góc D O C y cho: B x Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện toạ độ O là: skkn 21 Mặt phẳng qua O có dạng: Khơng tính tổng quát giả sử Do qua O nên: Kí hiệu tương ứng khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng Theo cơng thức tính khoảng cách ta có: Cộng trừ vế (3), (4), (5) ta được: skkn 22 Từ (1), (2), (6) suy ra: Điều chứng tỏ tổng đại số Chú ý: *Bài tập Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a CMR khoảngcách từ điểm không gian đến đường thẳng AA’, A’C’, CD đồng thời nhỏ Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Gọi M, N hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC cho CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với skkn 23 Bài 3: Đường thẳng (d) tạo với đường thẳng (d1) (d2) cắt góc nhau, ngồi khơng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng CMR hình chiếu vng góc (d’) đường thẳng (d) lên mặt phẳng tạo thành góc với đường thẳng (d1) (d2) IV/ GIẢI BÀI TỐN VỀ ĐIỂM VÀ QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm càn tìm quỹ tích, từ suy quỹ tích Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC vng cân với AB=AC=a AA1=h Gọi E, F trung điểm BC A1C1 Tìm đoạn EF điểm I cách hai mặt phẳng (ABC) (ACC1A1) Tính khoảng cách skkn 24 Giải z Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B A1 F C1 A C Ax, đó: B1 A(0;0;0) B(a;0;0) C(0;a;0) A1(0;0;h) B1(a;0;h) C1(0;a;h) B x y E Vì E, F trung điểm BC A1C1 nên: E F Phương trình đường thẳng EF cho bởi: Vì I  EF nên t[0 1] Vì I cách (ABC) (ACC1A1) nên Khi điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là: skkn 25 *Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) (ACC1A1) Bài 2: Cho điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm M cho: AM:BM=k với 0