Đang tải... (xem toàn văn)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI "GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ" 2 skkn MỞ ĐẦU I Lý do chọn đề tài Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phương pháp nào[.]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ" skkn MỞ ĐẦU I - Lý chọn đề tài: Trong toán học nói chung hình học nói riêng khơng có phương pháp chung để giải tốn Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Với loại tốn ln địi hỏi phương pháp cụ thể để giải cách đơn giản Sự đời phương pháp toạ độ đơn giản hoá phần lớn toán hình học khơng gian Thơng qua phương pháp toạ độ phương pháp vectơ xây dựng thêm cơng cụ giải tốn, cho phép đại số hố hình học, hình học hố đại số Với học sinh lớp 12 nói chung học sinh ban nói riêng, việc giải bốn hình học khơng gian sơ cấp vấn đề nan giải Các em vất vả việc xác định khoảng cách góc Đa số em bỏ qua tốn hình học khơng gian đề thi Vì tơi định đưa giải pháp sử dụng phương pháp tọa độ không gian Ở học kỳ II lớp 12 em làm quen với phương pháp tọa độ không gian, sử dụng phương pháp toạ độ khơng gian để giải tốn hình học không gian cách thuận tiện II- Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện: - Khách thể: Học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Một số tốn hình học khơng gian - Phạm vi nghiên cứu: Các tốn sơ cấp hình học khơng gian chương trình PTTH - Thực đề tài tập học sinh lớp 12 chuyên Pháp, năm học 2011 – 2012 III Quá trình thực đề tài: 1- Tình trạng thực tế trước thực đề tài: Trước thực đề tài, khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ không gian để giải tốn hình học khơng gian Tơi tiến hành kiểm tra qua tốn sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: • Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB’D’) (C’BD) skkn 30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện 10% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu Chất lượng giải học sinh thấp, kĩ giải toán dạng yếu 2- Các biện pháp thực đề tài: Bước 1: Hệ thống hoá kiến thức Bước 2: Đưa số ví dụ điển hình Bước 3: Rèn luyện kĩ giải tập ứng cho học sinh thông qua số tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh hướng phát triển, mở rộng - Kết thực đề tài: Tôi tiến hành kiểm tra qua tốn sau: Tìm lời giải phương pháp toạ độ: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH vng góc với mp(ABCD) cho góc hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) có số đo 600 a Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) b Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK SD tính số đo góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) Kết : 100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện 80% Phiên dịch từ tốn hình học khơng gian sang ngơn ngữ toạ độ 75% học sinh biết cách giải tập hoàn chỉnh tối ưu IV– Những học kinh nghiệm kiến nghị sau thực đề tài Qua kết điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy giải tốn hình học khơng gian, học sinh thường không ý đến phương pháp toạ độ tính ưu việt lúng túng giải phương pháp toạ độ Do học sinh ngại giải tốn khơng gian Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học mơn hình học khơng gian thấy tính ưu việt phương pháp toạ độ giải tập hình học khơng gian, thầy, giáo cần đề giải pháp giải tốn hình học khơng gian phương pháp toạ độ skkn - Lựa chọn tốn quy toạ độ hệ toạ độ thích hợp Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ cho toạ độ điểm toán thuận tiện lại Phiên dịch từ tốn hình học khơng gian sang ngôn ngữ toạ độ ngược NỘI DUNG Chương I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Hệ trục toạ độ Cho ba trục toạ độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vng góc với đơi điểm O Gọi i, j , k véctơ đơn vị tương ứng trục x’Ox, y’Oy, z’Oz Hệ ba trục toạ độ gọi hệ trục toạ độ Đề vng góc Oxyz đơn giản hệ toạ độ Oxyz z + Trục Ox gọi trục hoành + Trục Oy gọi trục tung + Trục Oz gọi trục cao + Điểm O gọi gốc hệ toạ độ x k j O i y 2/ Vectơ hệ toạ độ + Cho hệ toạ độ Oxyz vectơ tuỳ ý v Vì ba vectơ i, j , k không đồng phẳng nên có ba số x, y, z cho: v xi y j zk Bộ ba số (x; y; z) gọi toạ độ vectơ v , kí hiệu v( x; y; z ) v ( x; y; z ) Số x gọi hoành độ, số y gọi tung độ số z gọi cao độ vectơ v skkn + Với hai điểm M x1 , y1 , z1 M x2 , y2 , z2 thì: M 1M x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 + Nếu có hai vectơ v1 ( x1 , y1 , z1 ) v2 ( x2 , y2 , z2 ) thì: (i) v1 v2 x x2 , y1 y2 , z1 z2 (ii) v1 v2 x x2 , y1 y2 , z1 z2 (iii) kv1 (kx1 , ky1 , kz1 ) (iv) v1.v2 x 1.x2 y1 y2 z1.z2 (v) v1 v2 x1x2 y1 y2 z1z2 (vi) Tích có hướng hai vectơ v1 ( x1 , y1 , z1 ) y1 z1 z1 x1 x1 y1 , , vectơ v xác định bởi: v v1 , v2 y z z x y2 x2 2 v2 ( x2 , y2 , z2 ) 3/ Khoảng cách hai điểm Cho hai điểm M x1 , y1 , z1 M x2 , y2 , z2 , khoảng cách d M M độ dài vectơ M 1M : d M 1M x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 4/ Chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số cho trước Điểm M x, y, x chia đoạn thẳng M 1M theo tỉ số k: MM k MM xác định công thức: skkn x1 kx2 x 1 k y1 ky2 y 1 k z1 kz2 z k Đặc biệt k= - 1, M trung điểm M 1M , toạ độ M là: x1 x2 x y1 y2 y z1 z2 z 5/ Góc hai vectơ Góc hai vectơ v1 ( x1 , y1 , z1 ) v2 ( x2 , y2 , z2 ) xác định bởi: cos x1.x2 y1 y2 z1.z2 x y11 z11 x22 y22 z22 1 6/ Hai vectơ phương Hai vectơ v1 ( x1 , y1 , z1 ) v2 ( x2 , y2 , z2 ) phương với tồn số thực k cho: y1 v2 kv1 ba định thức sau 0: y2 z1 z1 , z2 z2 x1 x1 , x2 x2 y1 y2 7/ Phương trình mặt phẳng skkn a Khái niệm Một vectơ n gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) nằm đường thẳng vng góc với ( ) Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định cho biết điểm M ( ) vectơ pháp tuyến b Định lý Mỗi mặt phẳng tập hợp tất điểm có toạ độ thoả mãn phương trình dạng: Ax By Cz D ( A2 B C 0) ngược lại phương trình dạng phương trình mặt phẳng 8/ Phương trình đường thẳng a Định nghĩa: Vectơ a vectơ phương đường thẳng (d) a a / /(d ) b Phương trình tổng quát đường thẳng: Vì đường thẳng (d) khơng gian xem giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đó, nên phương trình tổng quát (d) có dạng: A1 x B1 y C1 z D1 1 (d ) : với điều kiện A1 : B1 : C1 A : B2 : C2 A2 x B2 y C2 z D2 (1), (2) theo thứ tự phương trình hai mặt phẳng (P) (Q) skkn 9/ Phương trình mặt cầu Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp điểm cách điểm I (a, b, c) cho trước khoảng R>0 khơng đổi mặt cầu có phương trình: ( x a ) ( y b) ( z c ) R Chương II GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ Để giải tốn hình học nói chung hình học khơng gian nói riêng phải dựa vào yếu tố, quan hệ hình học, đồng phẳng, song song, vng góc, Nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp ta chuyển thể tốn hình học sang tốn đại số với số, chữ, vectơ với phép toán Với tốn đại số có định hướng rõ ràng khả tìm lời giải nhanh Để thực điều đó, địi hỏi học sinh phải có luyện tập, vận dụng kiến thức cần nắm quy trình giải tốn phương pháp toạ độ thích hợp Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp Bước 2: Phiên dịch tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ Bước 3: Dùng kiến thức toạ độ để giải toán Bước 4: Phiên dịch kết tốn từ ngơn ngữ toạ độ sang ngơn ngữ hình học Trong bước trên, bước bước học sinh hồn tồn làm nhờ kiến thức liên hệ hình học không gian hệ toạ độ biết, bước học sinh sử dụng kiến thức hệ toạ độ cách sáng tạo để giải tốn Bước học sinh gặp khó khăn khơng có phương pháp cụ thể Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện phải biết dựa vào số đặc điểm toán Chọn hệ toạ độ cho gốc trùng với điểm cố định biết, dựa vào đường thẳng vng góc để gắn với trục toạ độ, điểm biết gắn với toạ độ đơn giản, thuận lợi II/Giải toán định lượng hình học khơng gian skkn Đối với loại tốn tính tốn, khơng chuyển phương pháp toạ độ khó khăn hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà có phương pháp toạ độ ta biểu diễn khoảng cách cách đơn giản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thơng thường bao gồm: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng - Góc, khoảng cách hai đường thẳng chéo - Tính độ dài đoạn thẳng Các hình chóp lăng trụ có sẵn ba cạnh xuất phát từ điểm vng góc với đôi một, ta chọn ba trục Ox, Oy, Oz ba cạnh Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a a Tính góc khoảng cách hai đường thẳng A’B AC’ b Gọi K trung điểm DD’ Tính góc khoảng cách đường thẳng CK A’D’ c Mặt phẳng (P) qua BB’ hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc Tính góc z Giải D’ A’ C’ B’ D skkn x B A C y 10 Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B Ax, D Ay A Az , đó: A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0 a A 0;0; a , B a;0; a , C a; a; a , D 0; a; a Ta có AB a;0; a & AC a; a; a Gọi góc tạo bở A’B AC’ ta có: AB AC cos A ' B AC ' Gọi d1 khoảng cách A’B AC’ ta có: A ' B, A ' C AA ' a d1 A ' B, A ' C a a b Ta có: K 0; a; , KC a;0; & A ' D 0; a; a 2 Gọi góc tạo CK A’D, ta có: KC A ' D cos 10 KC A ' D Gọi d2 khoảng cách CK A’D, ta có: KC , A ' D , KD a d2 KC , A ' D c Ta có BB’ giao tuyến hai mặt phẳng (ABB’A’) (BCC’B’) nên: y x a BB ' : x a y BB ' : 11 skkn Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng: P : x a my P : x my a vtpt n 1; m;0 Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp u1 0;1;1 u2 1; 1;1 ) hai góc ( giả sử ) nên: sin m m 1 1 m m 1 m m m 4m m 2 Với m 2 ta được: sin 2 2 1 2 22 2 6 1 Với m 2 ta được: sin 62 2 1 62 22 62 4 1 Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc , OA= a OB= b, OC= c Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích tứ diện OABC nhỏ Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ ta có: O (0;0;0); A (a;0;0) B (0; b;0); C (0;0; c) d M , OAB z Tương tự M 1;2;3 12 skkn PT ABC : x y z 1 a b c M ABC 1 a b c VOABC abc 2 1 1 3 33 a b c a b c abc 27 VOABC a 3 27 b a b c c Các dạng toán khác : Ta xác định chân đường cao, lấy chân đường cao làm gốc O, trục Oz đường cao, từ O mặt phẳng đáy dựng hai trục cịn lại vng góc với Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáyvà tam giác ABC vuông C Độ dài cạnh SA 4, AC 3, BC Gọi M trung điểm AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (SBH) (SBC) Giải z Trong mp(ABC) dựng tia Ax vng góc với AC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi : A S 0;0;0 , B 1;3;0 , C 0;3;0 S 0;0;4 H 1;0;0 , SB 1;3; 4 SC 0;3; 4 , SH 1;0; 4 C A y M H x B 13 skkn SB, SC 0;4;3 , SB, SH 12;0; 3 nSBC n1 0;4;3 , nSBH n2 4;0;1 n1.n2 17 cos SBC , SBH 85 n1 n2 Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mp(AMN) vng góc với mp(SBC) Giải: Gọi O hình chiếu S mp(ABC), suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung điểm BC : AI a a a a , OA , OI , IB IC Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO=h, chon hệ trục tọa độ hình vẽ ta có : a O 0;0;0z , S 0;0; h , A ;0;0 , S a a a a a a a h a a h I N ;0;0 , B M ; ;0 , C ; ;0 M ; ; , N ; ; 6 12 12 2 h ah 5a n AMN AM , AN ;0; I C B 24 A O y2 a a 3 n SBC SB, SC ah;0; A x 14 skkn 5a AMN SBC h 12 a 10 SAMN AM , AN 16 Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH vng góc với mp(ABCD) SH = a a Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) b Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) *Bài tập làm thêm Giải z Vì tamS giác ABC nên HC AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi a a a H 0;0;0 , A ;0;0 , B ;0;0 , C 0; ;o 2 D H O B a S 0;0; a BA CDC Dy a; ;0 x a a ;0 4 O trung điểm AC O ; a Mặt phẳng (SBC) có phương trình : 2x y z 3x y z a a a a d O, SBC a 57 19 b Theo câu n SBC 3;2; , SC , SD 0; a ; a 15 skkn n SCD 0;2; cos SBC , SCD 19 Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDA’B’C’D’ đường cao h Mặt phẳng (A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) góc Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc A 600 , B’O vng góc với đáy ABCD, cho BB’=a a b Tính góc cạnh bên đáy Tính khoảng cách từ B, B’ đến mp(ACD’) Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Tính độ dài đoạn SA biết số đo góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) 600 Bài 4: Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) cho góc hai mặt phẳng (SAD) (ABCD) có số đo 600 d Tính SH khoảng cách từ H đến mp(SCD) e Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK SD tính số đo góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) f Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) III/ Giải tốn định tính hình học khơng gian PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ suy kết cần chứng minh 16 skkn Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 ; O tâm hình vuông BCC1B1, M điểm thuộc đoạn C1O Mặt phẳng (MA1D) cắt B1D1 I cắt AC J Chứng minh I, M, J thẳng hàng z A1 : Chọn hệ trục tọa Giải D1 độ hình vẽ Giã sử cạnh hình lập phương Ta có : B1 A 0;0;0 , B 1;0;0 , CC1 1;1;0 , D 0;1;0 M A1 0;0;1 O, B1 1;0;1 , C1 1;1;1 , D1 0;1;1 A D y x B 0;1;1 BC : y m M 1; m; m BC 1 C z m x (Với m 1) A1M 1; m; m 1 , A1D 0;1; 1 n A1DM A1M , A1D 2m;1;1 Suy mp A1DM : 2m x y z x t B1D1 1;1;0 B1D1 : y t z x t y t 2m I ; ;1 Tọa độ I nghiệm hệ z m m 2m x y z 17 skkn x u 1 AC 1;1;0 AC : y u J ; ;0 2 m 2 m z 2m 2m 2m 2m 2m 2m MI ; ;1 m ; MJ ; ; m 2m 2(m 1) 2m 2(m 1) m MJ hay ba điểm M, I, J thẳng hàng (đpcm) Suy : MI m Bài 2: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên BD AD’ lấy hai điểm thay đổi M,N cho DM AN x (0 x a 2) CMR: MN song song với mặt phẳng cố định Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho: z A (0;0;0); B (a;0;0) D (0; a;0); A (0;0; a ) A’ C’ B’ Khi N C ( a; a;0) D (0; a; a) A Gọi M ( x1; y1; z1 ), N ( x2 ; y2 ; z2 ) BC (0; a;0); BA ( a;0;0); Ta có: MN ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 ) x D’ B D M y C Vặt khác theo giả thiết: DM AN x (0 x a 2) 18 skkn Đặt k x (0 k 1) a x1 a k (a ) x1 a ka x2 ka DM k DB y1 ka y1 ka AN k AD y2 z z z ka Xét D BC , BA ', MN a. a z z1 0. y2 y1 x2 x1 0.a x2 x1 a a y2 y1 a 0.0. z2 z1 a z2 z1 a y2 y1 a z2 z1 y2 y1 a2 ka ka 0 Suy BC , BA ', MN luôn đồng phẳng Suy MN luôn song song với (A’BCD’) cố định *Bài tập làm thêm Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a CMR khoảng cách từ điểm khơng gian đến đường thẳng AA’, A’C’, CD đồng thời nhỏ a Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc a với đáy Gọi M, N hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM DN CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với 3a Bài 3: Đường thẳng (d) tạo với đường thẳng (d1) (d2) cắt góc nhau, ngồi khơng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng CMR hình chiếu vng góc (d’) đường thẳng (d) lên mặt phẳng tạo thành góc với đường thẳng (d1) (d2) IV/ Giải toán điểm quỹ tích hình học khơng gian 19 skkn PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ suy toạ độ điểm cần thiết Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ suy quỹ tích Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC vng cân với AB=AC=a AA1=h Gọi E, F trung điểm BC A1C1 Tìm đoạn EF điểm I cách hai mặt phẳng (ABC) (ACC1A1) Tính khoảng cách z Giải Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B Ax, đó: A1 F C1 A C B1 A(0;0;0) B(a;0;0) C(0;a;0) A1(0;0;h) B1(a;0;h) C1(0;a;h) Vì E, F trung điểm BC A1C1 nên: a a a E ( , ,0) F (0, , h) 2 x B y E Phương trình đường thẳng EF cho bởi: a a x t a a 2 Qua E ( , ,0) a 2 EF : EF y t R a vtcp EF ( ,0, h) z ht 20 skkn a a a 2 Vì I EF nên I ( t , , ht ) t[0 1] Vì I cách (ABC) (ACC1A1) nên a a a ah a ah t ht t I( , , ) 2 a 2h a 2h a h Khi điểm I chia đoạn EF theo tỉ sơ k, tức là: a x kxF a a xI E k 1 k a 2h k 2h *Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) (ACC1A1) d zI ah a 2h Bài 2: Cho điểm A, B cố định Tìm tập hợp điểm M cho: AM:BM=k với 0