Skkn giúp học sinh nhận dạng và giải một số dạng toán hình học không gian ở trường thpt triệu sơn 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRIỆU SƠN Người thực hiện: Hồ Văn Quảng Chức vụ: Giáo viên Sáng kiến kinh nghiệm thuộc mơn: Tốn skkn THANH HOÁ NĂM 2014 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG Đặt vấn đề………… … Giải vấn đề…… 2.1 Cơ sở lý luận……… 2.2 Thực trạng vấn đề………… 2.3 Giải pháp tổ chức thực hiện…… 2.3.1 Dạng 1: Tính tỷ số thể tích khối đa diện 2.3.2 Dạng 2: Tính thể tích khối đa diện ……… …… 2.3.3 Dạng 3: Chứng minh biểu thức hình học… 2.3.4 Dạng 4: Giải toán cực trị hình học……… 11 2.3.5 Dạng 5: Tính khoảng cách…… 15 2.3.6 Dạng 6: Tính diện tích đa giác…… 17 2.4 Kiểm nghiệm… 17 Kết luận đề xuất 18 skkn Đặt vấn đề Trong năm qua việc đổi phương pháp dạy học quan tâm không ngành giáo dục mà toàn xã hội Việc viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đúc rút kinh nghiệm đổi giảng dạy giáo viên Qua năm giảng dạy trường THPT nhận thấy học sinh thường gặp khó khăn việc giải tốn hình học không gian đề thi đại học Nguyên nhân tốn hình học khơng gian mang tính trừu tượng cao, khơng có thuật giải khơng phân dạng cụ thể mà học sinh gặp khó khăn tiếp thu kiến thức vận dụng vào giải toán Để giúp em dể tiếp thu kiến thức vận dụng vào giải tốn tơi xin giới thiệu số dạng tốn thường gặp có định hướng giải cụ thể nhằm giúp học sinh định hướng phương pháp giải cho dạng Với mong muốn góp phần nhỏ nâng cao chất lượng dạy học, cung cấp cho em học sinh thêm số phương pháp để giải tốn hình học khơng gian cách dể dàng hơn, viết đề tài: “Giúp học sinh nhận dạng giải số dạng tốn hình học không gian trường trung học phổ thông Triệu Sơn 2” Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận Để tính thể tích khối đa diện người ta thường chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản(khối chóp) dể tính thể tích Tuy nhiên việc làm gặp nhiều khó khăn kể học sinh có học lực giỏi đặc biệt học sinh có học lực trung bình điều khơng thể thực Trong nhiều trường hợp chia khối đa diện thành khối chóp việc tính thể tích khối chóp gặp khơng khó khăn không xác định đường cao hay không tính diện tích đáy Nhưng học sinh biết chuyển việc tính thể tích khối cách thơng qua tính tỉ số thể tích hai khối chóp tốn trở nên đơn giản nhiều 2.2 Thực trạng vấn đề Trong năm gần việc đổi phương pháp dạy học Bộ giáo dục triển khai sâu rộng nước đạt số chuyển biến tích cực Các phương pháp dạy học đại nhiều giáo viên áp dụng Với đổi góp phần tạo mơi trường học tập mà học sinh hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có hội để khám phá kiến tạo tri thức, qua học sinh có điều kiện tốt lĩnh hội học phát triển tư cho thân họ Tuy nhiên, thực tế nhiều giáo viên gặp khó khăn việc tiếp cận thực phương pháp dạy học đặc biệt việc dạy hình học mà có giải tập hình học skkn Qua thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn nhận thấy đa số học sinh ngại học hình học đặc biệt hình học khơng gian Ngun nhân chất hình học khơng gian mang tính trừu tượng cao, tốn khơng có thuật giải cụ thể Bên cạnh phần khơng nhỏ trình giảng dạy người giáo viên chưa tạo cho học sinh hứng thú học tập, chưa quan tâm bồi dưỡng hình học cách mức có khoa học, chưa có phương pháp hệ thống tốn phù hợp cho dạng Chính câu hình học khơng gian đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng câu khó đa số học sinh Phần lớn em quên kiến thức hình học khơng gian lớp 11 việc học hình học không gian lớp 12, đặc biệt vấn đề tính thể tích khối đa diện học sinh tỏ lúng túng Trước thực trạng q trình giảng dạy tơi nghiên cứu xây dựng lớp tốn tính thể tích tốn có liên quan dựa vào tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác 2.3 Giải pháp tổ chức thực Qua thực tế giảng dạy thấy người giáo viên biết định hướng đưa hệ thống tập phù hợp học sinh dể dàng tiếp thu vận dụng làm toán dạng cách đơn giản kể học sinh có học lực trung bình Từ giúp em biết mở rộng vận dụng cho toán , dạng toán liên quan khác khó Sau hệ thống tốn xây dựng theo quan điểm việc tập sách giáo khoa quen thuộc học sinh Bài toán: (Bài trang 25 hình học 12 bản) Cho hình chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S Chứng minh rằng: (1) Giải: Gọi h h’ chiều cao hạ từ A A’ đến mặt phẳng (SBC) Gọi S1, S2 theo thứ tự diện tích tam giác SBC SB’C’ Khi ta A có: A' S H' Từ h h' C' B' C H B suy điều phải chứng minh Vận dụng toán ta giải số dạng toán thường gặp đề thi đại học thi học sinh giỏi sau skkn 2.3.1 Dạng 1: Tính tỉ số thể tích khối đa diện Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Lấy M, N cạnh SB, SD cho: a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC P Tính tỉ số b) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp SAMPN SABCD Giải: a) Gọi Vì S nên MN//BD Do Trong tam giác SAC ta có SO đường trung tuyến P nên E trọng tâm tam E N giác AE đường trung tuyến tam giác nên P trung điểm SC Vậy M A B O D b) C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân ABC (AC= BC = a), qua A vuông góc với SB B’, cắt SC C’ Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành thiết diện cắt hình chóp S.ABC Giải: Đặt , S B' Ta có ; Do B C' SAB cân A A C Ta có tam giác SAC: skkn 2.3.2 Dạng 2: Tính thể tích khối đa diện Ví dụ 1: (ĐH khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: + Cách 1: Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N suy MN//BC N trung điểm AC Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) nên S N A C M B (đvtt) + Cách 2: Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) nên Mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N N trung điểm AC Thể tích: Ví dụ 2: (ĐH khối D – 2006) Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, DA=2a SA vng góc với đáy Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên đường thẳng DB, DC Tính thể tích khối chóp ABCNM theo a D N M A Giải: Ta có: C B skkn AM AN đường cao tam giác vuông DAB, DAC hai tam giác nên ta có: nên Do Mà Vậy Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình chữ nhật, SA vng góc với đáy G trọng tâm tam giác ASC, (ABG) cắt SC M, cắt SD N Tính thể tích khối đa diện MNABCD biết SA = AB = a góc hợp đường thẳng AN (ABCD) 300 Giải: Từ giả thuyết suy M, N lần S lượt trung điểm SC, SD M N A B G H D C Gọi trung điểm AD NH//SA H Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, , AB=BC=a, AD=2a, SA=2a Gọi M, N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp SBCNM theo a Giải: Áp dụng cơng thức (1) ta có: skkn S N M D A B C Ví dụ 5: (ĐH khối D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA=a, hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng ABCD điểm H thuôc đoạn thẳng AC cho AH=AC/4 Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải: S *) Chứng minh M trung điểm SA: Từ giả thiết ta tính M A Do tam giác SAC cân C nên M trung điểm SA *) Tính thể tích khối tứ diện SBCM: + Cách 1: Ta có: B H D C + Cách 2: M trung điểm SA Ví dụ 6: (ĐH khối B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật, AB=SA=a, , SA vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AD SC, gọi I giao điểm BM AC Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a skkn Giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có I trọng tâm tam giác ABC, đó: nên mặt khác S N từ (1) (2) suy M A mà D I O C B Ví dụ 7: (ĐH khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: S Cách 1: Áp dụng (1) ta có: M A Nhân vế theo vế (a) (b) ta được: B H N Gọi H trung điểm AD ta có: (do Do đó: D P C ) Vậy Cách 2: Gọi H trung điểm AD ta có: (do ) (1) Xét hình vng ABCD ta có (2) Từ (1) (2) suy skkn Vì MN//SC AN//CH nên (AMN)//(SHC) Suy Kẻ Vậy 2.3.3 Dạng 3: Chứng minh biểu thức hình học Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Mặt phẳng khơng qua S, cắt cạnh SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Chứng minh rằng: a) S 114 sách tập hình học 11 nâng cao) b) Nếu S.ABCD hình chóp C' D' ( Bài trang chứng minh: A' D B' A C a) Xét hình chóp S.ABCD S.ADC ta có: B Đặt ta có: Xét hình chóp S.ABD S.BCD ta có: ; Từ (1) (2) ta có: đpcm b) Nếu SABCD hình chóp SA= SB= SC= SD Ví dụ 2: cắt hình chóp lục giác Chứng minh rằng: skkn đpcm S Giải: Áp dụng ví dụ 7a cho hình chóp có đáy hình bình hành ta F A có: Do B (1) áp dụng cho hình chóp F1 E D C E1 ta có: A1 (2) D1 Từ (1) (2) đpcm Ví dụ 3: Trên đáy ABC hình B1 C1 chóp SABC lấy điểm M Qua M kẻ đường thẳng song song với SA, SB, SC cắt S mặt bên hình chóp A’, B’, C’ Chứng minh rằng: A2 B' C2 B2 A' C' A C M A1 Giải: Gọi B’,C’ qua điểm đối xứng với A’, M Lấy , B C1 B1 Ví dụ 4: Cho góc tam diện Oxyz điểm M bên Một mặt phẳng qua M cắt cạnh góc A, B, C Chứng minh rằng: có giá trị không phụ thuộc cách chọn mặt phẳng Giải: Qua M kẻ đường thẳng song song ox, oy, oz cắt mặt bên hình chóp OABC A’, B’, C’ Áp dụng ví dụ ta có: khơng đổi (1) skkn Ta cần biểu diễn theo Ta chứng minh Kẻ MC’// CO KM// CH, , O H B' A' C' Tương tự K A , (1) C M x z B y khơng đổi Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC, thay đổi luôn qua điểm I cố định đường cao SO cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Chứng minh rằng: S khơng phụ thuộc vị trí M Giải: Đặt SA= a, SI/SO =k không I đổi , , ta , có: P N C A O B Tương tự ta có: (1) skkn Mặt khác (2) Từ (1) (2) suy ra: không đổi 2.3.4 Dạng 4: Giải tốn cực trị hình học Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC tích V M 1điểm tuỳ ý đáy ABC.Qua M kẻ đường thẳng // với SA, SB, SC cắt mặt SBC, SAC, SAB A’ B’ C’ Gọi V1 thể tích MA’B’C’ Chứng minh rằng: Giải: Gọi giao điểm AM, BM, CM với cạnh là: P, Q, R Theo định lí Xêva ta có: Mặt khác ta có: S B' C' ; Q A' A R C ; Áp dụng bất đẳng P thức cosi ta có: (*) Theo ví dụ ta có: B Dấu “=” xảy M trọng tâm tam giác ABC O B' A' C' C A x C1 M A1 z B y skkn Ví dụ 2: Cho góc tam diện Oxyz điểm M cố định góc Hãy dựng mặt phẳng qua M cắt góc tam diện thành tứ diện tích bé Giải: Giả sử qua M cắt Ox, Oy, Oz A,B, C, qua M kẻ đường thẳng song song Ox, Oy, Oz cắt mặt OAB, OBC, OAC C’, A’, B’ Theo ví dụ ta có: khơng đổi nên bé lớn Gọi giao điểm AM, BM, CM với canh tam giác ABC Theo định lí Xêva ta có , , Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: Dấu “=” xảy suy M trọng tâm tam giác ABC Vậy dựng qua M nhận M trọng tâm tam giác tạo thành cắt Ox, Oy,Oz tứ diện tạo thành tích bé *Cách dựng: Ví dụ 3: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCS Mặt phẳng quay xung quanh AG cắt cạnh SB, SC M, N Gọi Chứng minh rằng: Giải: Gọi A’ la trọng tâm tam giác SBC, O trung điểm BC suy A, G, A’ S, A’,O thẳng hàng Đặt với Do M, A’, N thẳng hàng Kẻ A B H M K G S A' N O C kết hợp (*) skkn Mặt khác hàm số nghịch biến Vậy Tương tự ta có: Bảng biến thiên: x 1/2 f’(x) 2/3 - + 1/2 1/2 f(x) 4/9 Vậy Ví dụ 4: Trên cạnh AB, BC, CD, DA, AC BD tứ diện ABCD lấy điểm M, N, P, Q, S, R Gọi thể tích khối tứ diện AMSQ, BMNR, CNPR, DPQR ABCD Tìm giá trị nhỏ A Giải: M S Q R D B N P C skkn Ta có: Tương tự: Dấu “=” xảy M, N, P, Q, S, R trung điểm AB, BC, CD, DA, AC BD Ví dụ 5: Cho điểm O bên tứ diện ABCD, tia AO, BO, CO, DO cắt mặt đối diện Tìm giá trị nhỏ Giải: Dựng Đặt vng góc với (BCD) thì: : A Tương tự với đỉnh cịn lại ta có: O B C A1 O1 H D Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: skkn Dấu xảy 2.3.5 Dạng 5: Tính khoảng cách Ví dụ 1: (ĐH khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ A đến (BCD) Giải: Ta có: D Do đó: Mặt khác nên tam giác BCD cân M B, gọi M trung điểm CD C A Vậy B Ví dụ 2: (ĐH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang, , AD=2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD Giải: Ta có: nên tam giác S ACD vuông C nên tam giác SCD vuông C , tam giác SAB vuông A AH H C cao nên: D A B đường Vậy skkn Ví dụ 3: (ĐH khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM B’C Giải: Từ giả thuyết suy tam giác ABC vng cân B Thể tích C' A' khối lăng trụ VABC.A’B’C’ = AA’.SABC = (đvtt) B' Gọi E trung điểm BB’ ta có: EM//CB’ suy B’C // (AME) nên d(B’C;AM)=d(B’C; (AME))=d(C;(AME)) Ta có: E H A C M B Ta có: Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE, ta có Hơn , Mà vng B nên: Tam giác BHM vuông B nên: Vậy d(C,(AME)) = skkn 2.3.6 Dạng 6: Tính diện tích đa giác Ví dụ 1: (ĐH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết Giải: S Gọi I N A C J G B trọng tâm điểm MN (do ) Gọi J giao điểm BC I M trung với SI suy I, J trung điểm SJ BC (do ) nên cân A (vì AI vừa đường cao vừa đường trung tuyến) Gọi G 2.4 KIỂM NGHIỆM: Tôi thực nghiệm giảng dạy nhiều lớp qua nhiều khoá nhận thấy có hiệu đặc biệt học sinh học tập sôi nổi, đa số em nắm tốt vận dụng làm tốn tương tự kể em có học lực trung bình Nguyên nhân lời giải theo phương pháp ngắn gọn nhiều so với cách giải khác, học sinh cần biết kiến thức hình học khơng gian làm Đề tài áp dụng cho đối tượng học sinh đặc biệt ôn thi Đại học – Cao đẳng bồi dưỡng học sinh giỏi Qua thực tế gặt hái số kết như: có nhiều học sinh đậu Đại học – Cao đẳng có em đỗ Á khoa, nhiều học sinh đạt giải học sinh giỏi cấp tỉnh skkn KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT: Tơi thử nghiệm dạy đề tài qua nhiều khố, có bổ sung chỉnh sửa thêm cho phù hợp hồn thiện nhiên khơng thể tránh sai sót mong góp ý thầy cô giáo để sáng kiến kinh nghiệm ngày hoàn thiện Xác nhận thủ trưởng đơn vị Triệu Sơn, ngày 20 tháng năm 2014 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép người khác Người viết Hồ Văn Quảng skkn TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Bài tập hình học 11 nâng cao - Nhà xuất giáo dục Đề đáp án thi đại học từ năm 2002 đến năm 2013 Trần Văn Hạo, Hình học 12 – Nhà xuất giáo dục Trần Văn Hạo, Chun đề luyện thi vào đại học Hình học khơng gian, Nhà xuất giáo dục Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức – Nhà xuất Hà Nội skkn skkn ... mà có giải tập hình học skkn Qua thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn nhận thấy đa số học sinh ngại học hình học đặc biệt hình học khơng gian Ngun nhân chất hình học khơng gian mang tính trừu... gian cách dể dàng hơn, viết đề tài: ? ?Giúp học sinh nhận dạng giải số dạng tốn hình học không gian trường trung học phổ thông Triệu Sơn 2” Giải vấn đề 2.1 Cơ sở lý luận Để tính thể tích khối đa... thống toán phù hợp cho dạng Chính câu hình học khơng gian đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng câu khó đa số học sinh Phần lớn em quên kiến thức hình học khơng gian lớp 11 việc học hình học khơng gian