Tìm GTNN của hàm số y= với a,b là các hằng số thoã mãn a0 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI "GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" 1 skkn Phần A Đặt vấn đề I Lý do chọn đề tài Trong chươn[.]
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC" skkn Phần A: Đặt vấn đề I.Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng để giải tốn chứng minh bất đẳng thức,tìm GTLN-GTNN hàm số,giải hệ phương trình vv vận dụng nhiều phương pháp giải khác nhau.Mà mục đích việc dạy học tốn trường phổ thơng bồi dưỡng cho học sinh cách suy nghĩ,tìm tịi làm phát triển tư nhận thức,tư sáng tạo lực vận dụng học sinh cần khuyến khích học sinh tư toán nhiều phương pháp khác nhau.Một phương pháp là: Vận dụng phương pháp hình học để giải tốn đại số,giải tích Để vận dụng phương pháp hình học giáo viên giúp học sinh nhận biết toán nên dùng phương pháp hình học vận dụng để linh hoạt biến tri thức thành tri thức học sinh Xuất phát từ lý lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm''GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC'' II.Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài góp phần nâng cao hiệu giảng dạy ứng dụng phương pháp hình học để giải tốn CM bất đẳng thức,tìm GTLN-GTNN hàm số,giải hệ phương trình Cho học sinh thấy mối quan hệ hình học đại số giải tích theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức học sinh nhằm rèn luyện tư duy,khả sáng tạo Phần B: Giải vấn đề I.Thực trạng Trong chương trình tốn đại số phổ thơng dạy học giáo viên sử dụng phương pháp hình học nên học sinh tiếp cận với phương pháp này,vì vận dụng tương đối khó học sinh đặc biệt vận dụng để chứng minh BĐT mà chủ yếu dùng phương pháp đại số với công cụ đạo hàm,BĐT quen thuộc vv.Điều vơ tình khơng cung cấp đầy đủ phương pháp làm tốn cho học sinh II.Phương pháp nghiên cứu -Nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa có liên quan đến giải tốn đại số giải tích phương pháp hình học -Lựa chọn tập phù hợp với học sinh từ dễ đến khó -Khảo sát thực tế lớp dạy skkn -Kiểm tra tính khả thi giải pháp đưa đề tài III Các biện pháp thực 1.Đưa điều kiện tiếp xúc hai đường trịn để giải hệ phương trình 2.Ứng dụng để chứng minh BĐT,Tìm GTLN-GTNN hàm số GIẢI BÀI TỐN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 1.Cho đường trịn tâm I1 bán kính R1 I2 bán kính R2.Điều kiện để đường trịn tiếp xúc với I1I2= R1+ R2 2.Cho đường trịn tâm I bán kính R đường thẳng đường tròn d( ,I)=R Điều kiện để tiếp xúc với Ví dụ 1: Cho hệ phương trình Tìm a để hệ phương trình có nghiệm Định hướng tư cho học sinh: +Hãy xem phương trình (1) phương trình đường trịn.Xác định tâm ,bán kính +Hãy xem phương trình (2) phương trình đường thẳng +ĐK để đường thẳng tiếp xúc với đường trịn Giải Phương trình (1) PT đường trịn đơn vị (C) có tâm O(0;0) bán kính R=1 Phương trình (2) PT đường thẳng d Vậy hệ có nghiệm Kết luận: Với d tiếp xúc với (C) d(I;d)=R hệ có nghiệm Ví dụ 2: Tìm a để hệ sau có nghiệm (1) (2) Định hướng tư cho học sinh: skkn + Tìm tập hợp điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1) + Tìm tập hợp điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2) +Điều kiện để đường trịn tiếp xúc ngồi với nhau? Từ suy điều kiện để hệ có nghiệm Giải Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (1) nằm hình trịn tâm I(-1;0) bán kính = Các điểm M(x;y) thoả mãn BPT (2) nằm hình trịn tâm J(0;-1) bán kính = Để hệ có nghiệm đường trịn phải tiếp xúc IJ= + =2 a= Ví dụ 3: (1) (2) Cho hệ Tìm a để hệ nghiệm với x [0,2] Định hướng tư cho học sinh: + Tìm tập hợp điểm (x;y) thoả mãn BPT (1) + Tìm tập hợp điểm (x;y) thoả mãn PT (2) Giải Tập hợp điểm (x;y) thoả mãn (1) điểm nằm đường trịn tâm I(1;1) Bán kính R= Tập hợp điểm (x;y) thoả mãn (2) điểm nằm đường thẳng Giả sử a cho xA=0 A(0;a), B có PT x-y+a=0 cho xB=2 B(2;2+a) Để hệ có nghiệm với x [0,2] đoạn thẳng AB nằm đường trịn (I;R).Lúc Ví dụ 4: Cho a,b,c,d R thỗ mãn a2+b2=1 c+d =6 CM: c2+ d2-2ac-2bd 18- (1) skkn Giải Trong hệ trục toạ độ Oxy vẽ đường tròn x2+y2=1 đường thẳng x+y=6 (1) Trên hệ toạ độ M(c,d) M nằm đường thẳng.N(a,b) N nằm đường tròn M I N K Từ O kẻ đường thẳng OKI vng góc với đường thẳng.Trên đường tròn lấy điểm N, Trên đường thẳng lấy điểm M MN IK=OI-OK= (OI khoảng cách từ O tới đường thẳng OK bán kính dường trịn tâm O.Dấu = xảy M I,N K c=d=3,a=b= Nhận xét: Các ví dụ cho thấy sử dụng phương pháp hình học( cụ thể vị trí tương đối đường thẳng đường trịn) lời giải tốn đơn giản nhiều Ví dụ 5:Tìm GTNN hàm số: y= thoả mãn a0 với a,b số Định hướng tư cho học sinh: skkn +Hãy biến đổi biểu thức dấu thành đẳng thức +Liên hệ với cơng thức tính khoảng cách điểm Giải B b a A b M(x,0) a Viết lại hàm số dạng Xét điểm A(a;a), B(b;b), M(x;0) Ta thấy A đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ III) B đường thẳng: x-y=0 (Góc phần tư thứ I) M di động Ox Ta có MA= Do Vậy Miny= ; MB= =MA+MB AB= đạt M trùng O Nhận xét: Ta biến đổi biểu thức tronh dấu để sử dụng công thức tính khoảng cách điểm.Chúng ta phải khéo léo chọn điểm A,B,M để thỗ mãn cơng thức tính khoảng cách MA,MB,khi ta chuyển tốn tốn hình học với mơ tả trực quan hình vẽ Ví dụ 6: Cho x;y thõa mãn x+2y-3=0.Tìm GTNN x2+y2 Giải Xem PT x+2y-3=0 PT đường thẳng skkn d t R M(1-2t;1+t) x2+y2=(1-2t)2+(1+t)2=5t2-2t+2 Gọi M(x;y) d Vậy Min(x2+y2)= Ví dụ 7: đạt t= M( ) Cho a,b,c [0;1] CM a+b+c 1+ab+bc+c Hướng dẫn + Từ giả thiết a,b,c [0;1] Ta vẽ tam giác ABC A cạnh =1 Đặt AM=a;BN=b;CP=c +Hãy tính SAMP,SBMN,SCNP,SABC M P Giải Ta vẽ tam giác ABC cạnh =1 Đặt AM=a;BN=b;CP=c B N C Ta có SAMP+SBMN+SCNP SABC a(1-c)+b(1-a)+c(1-b) Dấu = xảy a+b+c 1+ab+bc+ca tam giác AMP,BMN,CNP trùng với tam giác ABC Chẳng hạn AMP ABC M B P C nên a=1,c=0,b tuỳ ý Ví dụ 8:Cho số thực a,b,c thuộc khoảng (0;1) chứng minh a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)AB , HC>AH B a c N b A C M Bài toán đưa CM : BC-AB