Skkn giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình001

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện: Mai Huy Sáu Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn học THANH HOÁ NĂM 2020 skkn MỤC LỤC Các phần Nội dung 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu Mở đầu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các giải pháp thực Nội dung 2.3.1 Sử dụng đạo hàm để giải phương trình 2.3.2 Sử dụng đạo hàm để giải bất phương trình 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, 3.1 Kết luận kiến nghị 3.2 Kiến nghị skkn Trang 1 2 3 12 18 19 19 GIẢI PHÁP HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Ba Đình năm học 2019- 2020 Trong chương trình giảng dạy mơn Tốn bậc trung học phổ thơng tốn phương trình, bất phương trình chiếm vị trí quan trọng, xun suốt chương trình ba khối lớp Bên cạnh phong phú dạng tốn, từ phương trình, bất phương trình vơ tỷ lớp 10, phương trình lượng giác lớp 11 đến phương trình, bất phương trình mũ, logarit lớp 12, mà phương pháp để giải dạng tốn phong phú, nhiều ý tưởng độc đáo bất ngờ phát tìm hiểu để giải toán tạo lên hấp dẫn toán học người học người dạy Như ta biết phương trình, bất phương trình xây dựng sở khái niệm hàm số, mà phương pháp giải thiếu chúng dạng tốn sử dụng đạo hàm giải toán Xuất nhiều tài liệu, từ chuyên đề hàm số đến chuyên đề phương trình đại số đề thi THPT QG, thi học sinh giỏi cấp có tốn giải phương pháp đạo hàm Tuy nhiên hệ thống tập số chun đề cịn rời rạc, việc khai thác khắc sâu ý tưởng giải chưa triệt để Điều gây khó khăn cho học sinh việc xây dựng cho phương pháp giải hồn chỉnh dạng tốn phương trình, bất phương trình Xuất phát từ thực tế cần có hệ thống tập theo chuyên đề hồn chỉnh tơi tập hợp, bổ sung xếp toán dạng theo cấu trúc rõ ràng đa dạng Vì tơi lựa chọn đề tài: “Giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình’’ làm sáng kiến kinh nghiệm, mong với tìm hiểu giúp học sinh nhận biết, sử lý tốn giải phương trình, bất phương trình nhanh chóng thành thạo 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình bất phương trình mang lại hiệu rõ nét Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn, qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Ôn tập cho học sinh lớp 12 sử dụng đạo hàm để giải số phương trình bất phương trình thường gặp kỳ thi THPT QG, kỳ thi học sinh giỏi… -1- skkn Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng hệ thống phương pháp: Phân tích, tổng hợp từ sách báo, tài liệu liên quan, internet… Phương pháp quan sát: Hướng dẫn học sinh vận dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình để rút kết luận Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 nêu số cách giải phương trình, bất phương trình cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm dừng lại toán khảo sát vẽ đồ thị hàm số, ứng dụng đạo hàm việc giải tốn sơ cấp chưa sử dụng nhiều học sinh vận dụng hạn chế chưa linh hoạt, song đề thi THPT QG thi học sinh giỏi gần việc giải tốn có ứng dụng đạo hàm nhiều Đặc biệt ứng dụng đạo hàm để giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình giúp cho học sinh giải số toán đơn giản Ví dụ Giải phương trình: Nếu giải theo cách bình thường biết lớp 10 như: bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn, nhiên tinh ý chút ta thấy chuyển biến x sang vế trái vế trái hàm đồng biến nghiệm phương trình, sử dụng phương pháp đạo hàm ta giải phương trình cách đơn giản Ví dụ Giải bất phương trình sau: Bài ta khơng thể sử dụng phép biến đổi bình thường để giải Nhưng sử dụng phương pháp hàm số toán đơn giản nhiều.Và nhiều toán khác mà việc sử dụng đạo hàm cần thiết hữu ích Để làm điều học sinh cần nắm vững kiến thức sau đây: Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b), với a Hàm số f(x) gọi đồng biến (tăng) (a; b) x1 < x2 f(x1) < f(x2) b Hàm số f(x) gọi nghịch biến (giảm) (a; b) x1 < x2 f(x1) > f(x2) *Mệnh đề 1: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D a Phương trình: có khơng q nghiệm D b *Chú ý: +Từ mệnh đề trên, ta áp dụng vào giải phương trình sau: Bài tốn u cầu giải phương trình: F(x) = Ta thực phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng (trong ) ta chứng minh f(x) hàm đồng biến (nghịch biến) Nếu phương trình: ta tìm nghiệm, chứng minh nghiệm -2- skkn Nếu phương trình: ta có , giải phương trình ta tìm nghiệm +Ta áp dụng định lí cho tốn chứng minh phương trình có nghiệm Định lý Cho hàm số có đạo hàm D + Nếu dấu xảy hữu hạn điểm đồng biến D +Nếu dấu xảy hữu hạn điểm nghịch biến D Hàm số đơn điệu hàm số tăng giảm *Mệnh đề 2: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số nghịch biến (hoặc ln đồng biến) liên tục D số nghiệm D phương trình khơng nhiều *Chú ý: Khi gặp phương trình F(x) = ta biến đổi dạng: , f g khác tính đơn điệu ta tìm nghiệm phương trình chứng minh nghiệm *Mệnh đề 3: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D thì: (hoặc x < y) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong thực hành giải toán, gặp toán giải phương trình bất phương trình mà cách giải khơng phải sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ…., số học sinh chưa tìm cách giải có tìm cách giải thường làm phức tạp hóa tốn nên khó kết thúc tốn, em chưa biết lựa lựa chọn phương phù hợp với toán biết khơng có kỹ giải 2.3 Các giải pháp giải vấn đề (sử dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình) Để giúp học sinh giải tốt phương trình, bất phương trình kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng sử dụng tốt phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số học lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Ở đây, tơi đề cập đến vài khía cạnh nhỏ việc giải phương trình, bất phương trình phương pháp ứng dụng tính đơn điệu hàm số 2.3.1 Sử dụng đạo hàm để giải phương trình: -3- skkn Dạng 1: Phương trình cho đưa dạng: (hoặc ) a) Phương pháp: Bước 1: Biến đổi phương trình cho dạng : (hoặc ) Bước 2: Xét hàm số D *Tính xét dấu , kết luận tính đơn điệu hàm số D *Kết luận hàm số: đơn điệu D *Tìm cho (hoặc tìm ) Bước 3: kết luận *Phương trình cho có nghiệm (hoặc giải phương trình ) *Kết luận nghiệm phương trình *Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục D Thì phương trình có nghiệm b) Bài tập áp dụng Bài Gọi S tổng nghiệm phương trình thì: A S = B S= C S = 2019 D S = 2020 *Nhận xét: Đối với tốn giải theo cách bình thường như: bình phương hai vế hay đặt ẩn phụ, đưa phương trình tích… gặp nhiều khó khăn, nhiên ý chút ta thấy vế trái hàm đồng biến vế phải hàm số nghịch biến số, sử dụng tính chất đơn điệu hàm số ta có cách giải sau Giải TXĐ : PT Xét liên tục D hàm số đồng biến D Mà =  phương trình = vơ nghiệm  x > phương trình = vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Chon A *Chú ý: + Vì hàm số với hàm đồng biến hàm đồng biến hàm số (với điều kiện thức tồn tại) hàm đồng biến nên ta dễ dàng nhận tính chất đồng biến (nghịch biến) hàm số + Dự đốn nghiệm ta ưu tiên giá trị x cho biểu thức dấu nhận giá trị số phương -4- skkn Bài Gọi S tập hợp nghiệm phương trình: Số phần tử S là: A B C D *Nhận xét: Bài ta khơng thể sử dụng phép biến đổi bình thường để giải Vì ta giải phương pháp hàm số sau: Giải a) TXĐ : D = Ta có: Xét ta có nên hàm số đồng biến Mặt khác ta thấy * Nếu nên phương trình vơ nghiệm * Nếu nên phương trình vơ nghiệm Vậy x = nghiệm phương trình Chọn D *Chú ý: Nếu phương trình có chứa hàm số mũ (hoặc lơgarit) hàm đa thức ta thông thường hướng suy nghĩ lựa chọn cách giải sử dụng phương pháp đạo hàm Bài Gọi P tích nghiệm thực phương trình (1) Khi giá trị P là : A P = B P = -3 C P = D Giải TXĐ: D = PT(1) (do ) Đặt t = phương trình cho trở thành Xét hàm số: với t , (2) Ta có hàm số nghịch biến với t nghiệm t = hay với t < 0, , mà t phương trình (2) có Vậy P = -3 Chọn B Bài Gọi S tập hợp nghiệm thực phương trình phần tử S là: A B C Số D Phân tích: Khi áp dụng tính chất tính đơn điệu hàm số khơng nắm rõ kiến thức, học sinh thường mắc sai lầm giải tốn nên thường có kết -5- skkn luận nghiệm chưa xác Sai lầm thường gặp học sinh: Phương trình tương đương với: có Ta có: Hàm số nên đồng biến, hàm số hàm nghịch biến, Do f(1) = g(1) nên x = nghiệm Khi hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất hàm số người thầy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ: Nếu hàm số f(x) đồng biến D, hàm số g(x) nghịch biến D phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm, đối chiếu với lời giải ta thấy hai hàm số có tập xác định hồn tồn khác nên áp dụng dẫn đến sai lầm Lời giải đúng: Hàm số nghịch biến khoảng đồng biến , hàm số Ta có bảng biến thiên Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f(x) g(x) cắt nhiều hai điểm Mà f(1) = g(1) ; f(-1) = g(-1) Nên phương trình cho có hai nghiệm Chọn B Bài Cho hai hàm số ( số thực) có đồ thị Tập hợp tất giá trị cắt bốn điểm phân biệt A B C D (Trích đề thi THPTQG năm 2019) Giải: -6- skkn tham để Xét phương trình hồnh độ giao điểm: Điều kiện: Ta có Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị Ta có: , (vì ) Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm phân biệt Chọn A Dạng 2: Phương trình cho đưa dạng: a) Phương pháp: Bước 1: Biến đổi phương trình dạng: Bước 2: Xét hàm số D * Tính xét dấu y’ * Kết luận hàm số hàm tăng ( giảm) D, Bước 3: Kết luận * Phương trình cho có nghiệm * Giải phương trình: * Kết luận nghiệm của phương trình cho b) Bài tập vận dụng -7- skkn Bài Phương trình có nghiệm , với a, b số nguyên dương Giá trị a + b + ab bằng: A 14 B C D Hướng dẫn: PT tương đương: (1) Đặt Đưa pt dạng: (2) Xét hàm số , có hàm số đồng biến Mà (2) nên Suy ra: a = ; b = Vậy: a + b + ab = 14 Chọn A Nhận xét: Phương trình cịn có nhiều cách giải song việc sử dụng đạo hàm tỏ có hiệu lực Bài Gọi S tổng nghiệm phương trình  biết S = , Tính , : A 22 B 21 C 20 D 13 * Nhận xét: Phương trình ta nhân chia với biểu thức liên hợp ta đưa dạng tích Hướng dẫn giải: Điều kiện : (*) Phương trình cho tương đương với : Phân tích: Nếu bình phương hai vế (1) ta thu phương trình bậc phức tạp Chính ta liên tưởng tới phương pháp sử dụng đạo hàm (1) (2) Xét hàm số số đồng biến có hàm Vậy (2) Đối chiếu với điều kiện (*), ta pt cho có hai nghiệm phân biệt: a = 7, b = 13, c = Bài Có giá trị nguyên dương tham số có nghiệm thực? -8- skkn a + b + c = 22 Chọn A để phương trình A B C D ( Trích đề minh họa THPT QG 2018) Phân tích: Ta lập phương hai phương trình, ta được: Đến ta biến đổi dạng: f(u) = f(v) Ta coi ta cộng vào hai vế phương trình với ta phương trình: Giải: Ta có (1) Xét hàm số có >0 Mà (1) Suy Phương trình cho có nghiệm thực (2) có nghiệm thực Đặt xét hàm có (2) Nên hàm số nghịch biến Vậy Chọn A Nhận xét: Nhiều học sinh nghĩ tới lập phương hai vế liên tiếp, việc biến đổi ta dẫn đến phương trình lượng giác bậc 9, phức tạp Bài Phương trình  , (m tham số) A Vơ nghiệm B Có nghiệm thực C Có nghiệm thực với D Có thể có nhiều nghiệm Phân tích: Phương trình chứa hàm số mũ hàm đa thức nên việc ta sử dụng đạo hàm Giải: Nhận thấy : Do phương trình tương đương với (1) Xét hàm số có hàm đồng biến Mà (1) , nên (1) (2) Phương trình (2) có Có nghiệm thực với Chọn C Bài Có cặp số nguyên thỏa mãn A B C D (Trích đề minh họa THPT QG 2020) -9- skkn ? Phân tích: Đây phương trình ẩn số, ta khơng giải phương pháp đưa số, đặt ẩn phụ, logarit hóa hay mũ hóa Lời giải Ta có: Đặt Phương trình trở thành: Xét hàm số , ta có: , đồng biến Vì nên Vì Vì nên , có giá trị nên có giá trị Đáp số: D Dạng Sử dụng đạo hàm để tìm hết số nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau : (*) Giải TXĐ: D = Ta có pt (*) Xét hàm số với x D Ta có , x hàm số đồng biến x Mặt khác hàm số liên tục x Ta lại có x0 (0;1) cho x Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox Căn vào bảng biến thiên ta thấy có tối đa giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox Mà Vậy tập nghiệm phương trình S = {0;1} Bài Hỏi phương trình A B có nghiệm phân biệt ? C D ( Đề minh họa THPTQG – 2017) Hướng dẫn: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm số nghiệm phương trình Lời giải: ĐKXĐ: - 10 - skkn Ta có: Từ đây, ta có bảng biến thiên f(x): Nhìn vào bảng biến thiên ta có phương trình cho có nghiệm phân biệt Chọn C Bài Có giá trị nguyên tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt ? A B C 2019 Giải : Điều kiện : (*) Đặt Có D 2020 , với < x < (2) Phương trình có dạng Xét hàm số khoảng có nghịch biến khoảng Do (2) Ta có bảng biến thiên hàm số Ta có: , , Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt  Mà m nguyên nên m = 9; m = 10 - 11 - skkn g(t) x = Vậy đoạn [0; 6] Chọn A *) Nhận xét: Nhiều học sinh gặp toán thường cố gắng giải cách đặt ẩn số phụ 2.3.2 Sử dụng đạo hàm để giải bất phương trình: Dạng 1: Bất phương trình cho đưa dạng: (hoặc ) a) Thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi bất phương trình cho dạng: (hoặc ) Bước 2: Xét hàm số D *Tính , xét dấu , kết luận tính đơn điệu hàm số D *Tìm cho (hoặc tìm ) *Nếu đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc hàm hằng) thì: (hoặc ) Nếu đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc hàm hằng) thì: (hoặc ) Bước 3: kết luận *Kết luận nghiệm bất phương trình Chú ý: +) Bất phương trình +) Bất phương trình nghiệm với có nghiệm b) Bài tập vận dụng: Bài Tập nghiệm bất phương trình (*) Tính a +2b A B C D 17 *Nhận xét Bài toán dùng phương pháp biến đổi tương đương, nhiên ta cần biến đổi nhiều bước đưa bất phương trình bậc cao dẫn đến khó khăn biến đổi Nhìn nhận tốn góc độ đạo hàm ta có cách giải sau Giải TXĐ : D = - 12 - skkn Xét hàm số: liên tục D Ta có f(x) hàm nghịch biến Do BPT Kết hợp điều kiện tập nghiệm bất phương trình là: S = Vậy a +2b = Chọn A Bài 2: Cho hàm số Hàm số Bất phương trình A có bảng biến thiên sau nghiệm với B C D ( Trích đề thi THPT QG 2019) Giải: Xét hàm số khoảng (-1; 1), có nghịch biên khoảng (-1; 1) Bất phương trình nghiệm với f(v) ta cần coi Vậy cần cộng vào hai vế với VT viết dạng u3 + u - 16 - skkn Chọn D có tập nghiệm D , , cho Lời giải: BPT cho tương đương với: (*) Xét hàm số trên tập Ta có , f(t) đồng biến Khi (*) viết dạng Chọn D Bài Có cặp số nguyên có nghiệm nhỏ ? A B Lời giải: Do ta có: thỏa mãn để phương trình C D Ta có Do Ta giải bất phương trình (*): Xét hàm số (Với ) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: Trường hợp 1: từ (*): Do nên ta có 95 cặp số dạng thỏa mãn Trường hợp 2: hàm số nghịch biến - 17 - skkn Suy với Trên khoảng có số nguyên, ta có cặp số nguyên thỏa mãn Vậy, ta có cặp số thỏa mãn yêu cầu toán Chọn A Nhận xét: Giải bất phương trình (*) nhiều học sinh khơng thể làm xét hàm đặc trưng hàm số khơng đơn điệu miền xác định 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Kết nghiên cứu Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 12E 12G Trong lớp 12E chưa giới thiệu cách khai thác sử dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình với hình thức kiểm tra tự luận thời gian làm 45 phút cho câu hỏi Đề bài: Bài Giải phương trình: Bài Giải bất phương trình: Bài Giải Phương trình: 2.4.2 Kết thu Lớp Sĩ số 12E 12G 42 42 Điểm