Skkn ứng dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải một số bài toán đại số trong trường thpt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TRONG TRƯỜNG THPT Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán skkn MỤC LỤC Nội dung Trang Mục lục 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Các hàm số bản………………… 2.1.2 Một số biểu thức lượng giác bản về miền giá tri 2.1.3 Phép đổi biến số………… 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.3 Nội dung nghiên cứu 2.3.1 Dạng 2.3.2 Dạng 2.3.3 Dạng 11 2.3.4 Dạng 13 2.4 Kết quả nghiên cứu của SKKN 15 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………… Tài liệu kham khảo 16 18 skkn MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Là giáo viên dạy nhiều năm mơn tốn THPT, tơi gặp khơng trắc trở việc giảng dạy nhiều tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tích phân, sớ phức Vì tốn có nhiều cách giải khác nhau, cách giải thể khái niệm toán học Trong cách giải khác đó, có cách giải thể tính hợp lí dạy học, có cách giải thể tính sáng tạo tốn học Phương pháp lượng giác hóa mang lại tính sáng tạo, ngắn gọn, dễ hiểu cho học sinh xử lí một số bài toán khó Chính vì vậy chọn đề tài của sáng kiến kinh nghiệm là:”Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán đại sớ trường THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong đề tài muốn hướng dẫn học sinh giải số bài toán bằng “ mắt” lượng giác Từ tốn khơng chứa yếu tố lượng giác, phép đổi biến ta chuyển toán lượng giác, cách giải gọi phương pháp lượng giác hoá Qua phương pháp này giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, tư logic và tổng quát hóa bài toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần giải phương trình, hệ phương trình vô tỉ, số phức Phương pháp này dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Ở nêu phương pháp xây dựng sở lí thuyết thơng qua số bài toán cụ thể về phương trình, có hệ phương trình, sớ phức Trong ví dụ tơi cố gắng phân tích để dẫn dắt người đọc hiểu áp dụng phương pháp lượng giác hóa để giải Bên cạnh tơi cịn nêu số tập để người đọc rèn luyện thêm kiến thức skkn NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Việc giảng dạy ôn luyện giúp học sinh giải toán liên quan đến lượng giác hoá, địi hỏi người giáo viên có phương pháp định hướng dạng toán, sử dụng phương pháp logic, biết phân biệt phương pháp ngộ nhận logic Vấn đề chỗ tốn thích hợp cho việc lượng giác hoá Những kiến thức liên quan: 2.1.1 Các hàm số bản: *) Hàm số: ,  Miền xác định:  Miền giá trị:  Chu kì: *) Hàm số:  Miền xác định:  Miền giá trị:  Chu kì: *) Hàm số:  Miền xác định:  Miền giá trị:  Chu kì: 2.1.2 Một số biểu thức lượng giác miền giái trị: *) Nếu ta có *) Nếu ta có *) Nếu ta có 2.1.3 Phép đổi biến số: skkn *) Nếu ta đặt *) Nếu ta đặt *) Nếu thoả mãn điều kiện ta đặt , *) Nếu thoả mãn với ta đặt , *) Một số biểu thức (dấu hiệu) thường gặp: Biểu thức Cách đặt (hoặc ) (hoặc ) Miền giá trị biến (hoặc ) (hoặc ) hoặc skkn 2.2 Cơ sở thực tiễn Trong trường THPT có nhiều đối tượng học sinh, cơng việc giảng dạy cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu vận dụng giải tốn khơng phải cơng việc đơn giản giáo viên Để giảng dạy nâng cao kết học tập học sinh, thực nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ khơng thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tịi, nghiên cứu, sở khoa học mà người thầy gieo Trong biện pháp có vấn đề liên quan đến đề tài mà tơi trình bày đề tài có nhấn mạnh đến số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, khơng phải để dạy lớp có nhiều đối tượng học sinh Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải 2.3 Nội dung nghiên cứu 2.3.1 DẠNG 1: Trong có chứa biểu thức dạng Phương pháp: Ta đặt , với (hoặc Ví dụ 1: Giải phương trình: , với ) Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu với Giải: Điều kiện: Với điều kiện (*) ta đặt (*) (**) Khi phương trình chuyển dạng: skkn Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Lưu ý: Ta đặt Ví dụ 2: Giải phương trình: Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu với Giải: Điều kiện: (*) Với điều kiện (*) ta đặt Khi phương trình chuyển dạng: Vậy phương trình có nghiệm phân biệt Lưu ý: Ta đặt Ví dụ 3: Giải bất phương trình: Giải: ĐK: Ta đặt (**) skkn Khi BPT chuyển dạng: Vậy tập nghiệm BPT Ví dụ 4: Giải hệ phương trình Giải: ĐK: Ta đặt với Khi hệ đưa dạng: Vậy hệ có nghiệm Ví dụ 5: Tìm để hệ sau có nghiệm: (1) Giải: ĐK: Ta đặt Khi từ (1) có dạng: (2) Để hệ (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn Vậy BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: skkn Giải PT, BPT, Hệ PT sau: 1) ĐS: PT có nghiệm: ; 2) ĐS: PT có nghiệm: 3) 4) 5) 6) 2.3.2 DẠNG 2: Trong có chứa biểu thức dạng Phương pháp: Ta đặt (hoặc , với , với ) Ví dụ 6: Giải phương trình Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu với Giải: Điều kiện: (*) Với điều kiện (*) ta đặt Khi phương trình chuyển dạng: skkn Đặt (điều kiện ), ta có Kho phương trình có dạng: Vậy phương trình có nghiệm: Lưu ý: Ta đặt Ví dụ 7: Giải bất phương trình HD: Điều kiện: (*) Với điều kiện (*) ta đặt Bất phương trình trở thành (2) Xét hai trường hợp: TH1: Phương trình (2) có dạng: Đặt (2’) BPT (2’) trở thành: skkn TH2: Ví dụ 8: Giải bất phương trình HD: ĐK: Ta đặt (**) Khi BPT có dạng: Xét hai trường hợp: TH1: TH2: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình: ĐS: Phương trình có nghiệm: ; 2) Giải bất phương trình: 2.2.3 DẠNG 3: Trong có chứa biểu thức dạng Phương pháp: Ta đặt , với (hoặc ) , với Ví dụ 9: Giải phương trình Nhận xét: Trong phương trình có xuất dấu hiệu với Giải: 10 skkn ĐK: Đặt , với Phương trình cho trở thành: Với Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 10: Giải bất phương trình Giải: ĐK: Đặt , với Bất phương trình cho trở thành: ln Vậy BPT có nghiệm Ví dụ 11: Với , giải bất phương trình Nhận xét: Có dạng ví dụ 10 Giải: ĐK: Đặt , với 11 skkn Bất phương trình cho trở thành: Vậy BPT có nghiệm đứng BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải phương trình: ĐS: 2) Giải bất phương trình: 2.2.4 DẠNG 4: Nếu x,y thỏa mãn điều kiện , ta đặt Ví dụ 12: Cho phương trình a) Tìm điều kiện (với tham số) (1) để phương trình (1) có nghiệm b) Giải phương trình Giải: ĐK: Ta thấy , nên ta đặt , với Khi phương trình trở thành: a) Điện để (1) có nghiệm b) Khi (1’) (1’) có nghiệm , phương trình cho trot thành: (do *) Với ) 12 skkn *) Với Vậy phương trình (1) có nghiệm , Lưu ý: Bài tốn ta giải phương pháp khác Ví dụ : Giải bất phương trình ĐK: (*) Với điều kiện (*) ta đặt , với Khi bất phương trình chuyển dạng: Vậy bất phương trình có nghiệm Ví dụ 13 : Tìm để bất phương trình sau có nghiệm: Giải: ĐK: Với điều kiện (*) ta đặt (*) , với (**) Khi bất phương trình chuyển dạng: Từ (**) ta được: Vậy để bất phương trình có nghiệm điều kiện là: Ví dụ 14: Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun lớn số phức A B C D Giải: Gọi Ta có: 13 skkn Đặt Chọn đáp án A Ví dụ 15: Cho số phức thoả mãn Gọi nhỏ biểu thức A Đặt Ta có Mặt khác Đặt Suy Ta có Do giá trị lớn giá trị Tính mơđun số phức B Giải C D , , Chọn B BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1) Giải bất phương trình: ĐS: 2) Tìm ĐS: để BPT sau có nghiệm: 3) Cho số phức thỏa mãn Tìm mơđun nhỏ số phức ĐS: 2.3 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Qua trình giảng dạy thấy học sinh giải toán thuộc dạng cách nhanh hơn, linh hoạt phương pháp lượng giác hóa Thực tế, nhiều năm liền may mắn giảng dạy lớp nâng cao có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi Vào tiết luyện tập có việc lồng ghép phương 14 skkn pháp lượng giác háo để học sinh giải tập nâng cao nhằm em thu thập thên kiến thức kinh nghiệm để áp dụng kì thi đại học, cao đẳng Năm học 2018 – 2019 phân dạy mơn tốn lớp 12C6, 12C7 trường THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 nhà trường) Kết kiểm tra nhóm học sinh (có học lực từ TB trở lên) cuối năm lớp 12 chủ đề: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vơ tỉ, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô-đun số phức thu kết sau: Sĩ Giỏi số SL TL% 20 35,0% 10 50,0% 10,0% 5,0% Nhóm 20 10,0% 45,0% 35,0% 10,0% Nhóm Nhóm1 Khá SL TL% Trung bình Yếu SL SL TL% TL% Nhóm 1(Được dạy phương pháp lượng giác hóa): là các học sinh của lớp 12C6 Nhóm 2(không được dạy phương pháp lượng giác hóa): là học sinh của lớp 12C7 KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Với kết nghiên cứu đạt được, thành công việc hướng dẫn, bồi dưỡng đối tượng hoc sinh khá, giỏi Tuy nhiên , để giải tốn phương pháp lượng giác hóa en học sinh cần phải nắm vững công thức LG giải phương trình, BPT lượng giác 3.2 Kiến nghị: Trong thời gian tới, có điều kiện tơi mở rộng nghiên đề tài Trên phương pháp giải phương trình, BPT, hệ phương trình vơ tỉ, tìm GTLN, GTNN của mơ-đun sớ phức phương pháp lượng giác hóa việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Tuy nhiên, đề tài không tránh khỏi thiếu sót cần bổ sung Tơi mong góp ý quý đồng nghiệp để SKKN tơi hồn thiện Xin trân thành cảm ơn! 15 skkn XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 25 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Trịnh Đình Chiến TÀI LỆU THAM KHẢO Phương pháp giải toán – Lê Hồng Đức (chủ biên) Phương trình bất phương trình – Phan Huy Khải Giải tích đại – Vũ Tuấn (3 tập) Một số số báo “ Toán học tuổi trẻ” 16 skkn DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Trịnh Đình Chiến Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên TT Tên đề tài SKKN Kết Năm học Cấp đánh giá đánh giá đánh giá xếp loại xếp loại xếp loại 17 skkn (A, B, C) Phát hiện và sửa chữa sai Sở giáo dục đào lầm của học sinh giải bài tạo hóa C 2013-2014 B 2015-2016 toán tổ hợp Một số phương pháp giải toán Sở giáo dục đào hình học khơng gian ở trường tạo hóa THPT 18 skkn ... LỆU THAM KHẢO Phương pháp giải toán – Lê Hồng Đức (chủ biên) Phương trình bất phương trình – Phan Huy Khải Giải tích đại – Vũ Tuấn (3 tập) Một số số báo “ Toán học tuổi trẻ” 16 skkn DANH MỤC... sinh khá, giỏi Tuy nhiên , để giải toán phương pháp lượng giác hóa en học sinh cần phải nắm vững công thức LG giải phương trình, BPT lượng giác 3.2 Kiến nghị: Trong thời gian tới, có điều kiện... bằng “ mắt” lượng giác Từ tốn khơng chứa yếu tố lượng giác, phép đổi biến ta chuyển toán lượng giác, cách giải gọi phương pháp lượng giác hoá Qua phương pháp này giúp học sinh phát triển