Skkn hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số bài toán tính tổng các tổ hợp

Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp I MỞ ĐẦU Trang Lí chọn đề tài Giả thuyết khoa học Mục đích đề tài Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Kinh nghiệm dạy học giải tốn tính tổng tổ hợp 11 Hiểu rõ ý nghĩa kí hiệu ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn , đặc điểm số hạng khai triển 1.2 Hiểu vận dụng linh hoạt số tính chất thường gặp tổ hợp: Xác định số hạng tổng quát tổng 1.4 Giải toán theo nhiều cách để so sánh thấy ưu, nhược điểm cách Giải pháp tiến hành thực III BÀI TỐN TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP Tính tổng tổ hợp dựa vào định nghĩa tính chất tổ hợp 5- 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Các ví dụ minh họa Tính tổng tổ hợp dựa vào khai triển Nhị thức Niu – tơn 2.1 – Kiến thức chuẩn bị 2.1.1 Chọn hợp lí khai triển 1.1.2 Phân tích biến đổi phần tử đại diện Ứng dụng đạo hàm khai triển: IV Bài tập tự luyện V THỰC NGHIỆM DỀ TÀI Mục đích thực nghiệm Nội dung thực nghiệm Tổ chức thực nghiệm KẾT LUẬN Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Qua năm giảng dạy mơn Tốn lớp 11, 12 trường THPT Mai Anh Tuấn – Nga Sơn – Thanh hóa, Bản thân nhận thấy tốn tính tổng tổ hợp nội dung quan trọng chương trình Tốn lớp 11 đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi, dạng tốn xuất thường xun Mặc dù toán gây khó khăn cho khơng học sinh tính chất khai triển phức tạp việc phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải nhiều hạn chế Vậy manh dạn đưa phương pháp cách giải số tốn tính tổng tổ hợp Giả thuyết khoa học Xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng qt hóa … tốn với trợ giúp thích hợp giúp em nắm bắt cách giải dạng tốn đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT Mục đích đề tài - Hướng dẫn phân loại hệ thống tập xây dựng phương pháp giải tốn tính tổng tổ hợp - Rèn luyện thao tác tư duy, bồi dưỡng lực tự học cho học sinh THPT Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phạm vi nội dung dạy học Đại số Giải tích lớp 11 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến học sinh, giáo viên thực trạng dạy học chủ đề trường THPT Mai Anh Tuấn Thực nghiệm sư phạm: - Dạy thử nghiệm lớp khối 11 trường THPT Mai Anh Tuấn Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số toán tính tổng tổ hợp - Đánh giá tính khả thi hiệu hệ thống tập minh họa cho phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra thu hoạch học sinh lớp 11 II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Kinh nghiệm dạy học giải tốn tính tổng tổ hợp Để giải tốn tính tổng chứng minh đẳng thức tổ hợp cần lưu ý cho học sinh lớp 11 số vấn đề sau: 1.1 Hiểu rõ ý nghĩa kí hiệu ; nắm vững khai triển nhị thức Niu- tơn , đặc điểm số hạng khai triển 1.2 Hiểu vận dụng linh hoạt số tính chất thường gặp tổ hợp: với với với 1.3 Xác định số hạng tổng quát tổng a) Nếu số hạng tổng quát chứa tích tổ hợp ta thường sử dụng khai triển Niutơn, xét tích đồng sử dụng trực tiếp định nghĩa phần tử số chọn phần tử (bài toán đếm) b) Nếu số hạng tổng quát chứa tổ hợp ta thường sử dụng khai triển Niutơn Khi lựa chọn khai triển phù hợp ta cần ý phân tích số hạng chứa tổ hợp số điểm sau: - Quan sát số tổ hợp: + Nếu số hạng chứa tổ hợp có số số tự nhiên liên tiếp, số khơng đổi ta thường sử dụng khai triển đầy đủ nhị thức Niu – tơn + Nếu số số tự nhiên đơn vị số hạng không đổi dấu ta thường sử dụng kết hợp hai khai triển Niu – tơn Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp + Nếu số số tự nhiên đơn vị số hạng đổi dấu ta phải sử dụng số phức khai triển liên quan đến + Nếu số số tự nhiên đơn vị, đơn vị, đơn vị, ta sử dụng số phức khai triển Khi cần nắm tính chất sau số phức Nếu , với Với , Với , Khi đó, Vì - Quan sát hệ số đứng trước tổ hợp: + Nếu hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa số tự nhiên (nghĩa xuất dạng ) ta sử dụng trực tiếp khai triển với lựa chọn hợp lí + Nếu hệ số đứng trước tổ hợp xuất số tự nhiên liên tiếp tăng dần, tích số tự nhiên liên tiếp (nhưng khơng thay đổi số mũ) (Ví dụ: ) ta sử dụng tính chất đổi đưa dạng khai triển với để biến sử dụng đạo hàm cấp 1, tương ứng phù hợp + Nếu hệ số đứng trước tổ hợp xuất số hữu tỉ (không có dạng lũy thừa, khơng phải số ngun) (Ví dụ: chất với ; ; ; .) ta sử dụng tính để biến đổi đưa dạng khai triển sử dụng tích phân - Quan sát số tổ hợp + Nếu số tổ hợp khơng thay đổi số mũ khai triển nhị thức Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp + Nếu số hạng có tổ hợp mà số thay đổi, ta cần khai triển tường minh công thức số hạng tổng quát để qui tổ hợp có số khơng thay đổi 1.4 Giải tốn theo nhiều cách để so sánh thấy ưu, nhược điểm cách giải (Ví dụ toán sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân học sinh dễ dàng sáng tạo toán mới) Giải pháp tiến hành thực - Lựa chọn tập phù hợp với đối tượng học sinh, thời điểm khác - Hướng dẫn học sinh phân tích, định hướng, lựa chọn hướng giải gặp dạng toán + Dựa vào định nghĩa tính chất tổ hợp + Dựa khai triển Nhị thức Niu – tơn - Tổ chức, hướng dẫn học sinh hoạt động nhóm, nhóm tự đề xuất đưa tập tương tự nêu cách giải trình học chủ đề III BÀI TỐN TÍNH TỔNG CÁC TỔ HỢP Tính tổng tổ hợp dựa vào định nghĩa tính chất tổ hợp 1.1 Kiến thức chuẩn bị - Định nghĩa tổ hợp: Cho tập hợp có phần tử - Số tổ hợp chập gồm phần tử gọi tổ hợp chập phần tử của Mỗi tập phần tử Qui ước: - Tính chất tổ hợp + Cho số nguyên dương số nguyên với + (Hằng đẳng thức Pascal): Cho số nguyên dương Khi số nguyên với Khi 1.2 Các ví dụ minh họa Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức , với Hướng dẫn Cách (Sử công thức khai triển tường minh tổ hợp) Cách Sử dụng tính chất tổ hợp (hằng đẳng thức Paxcal) Cách - Trước hết ta để ý hệ số đứng trước trước tổ hợp 1, 2, viết lại dạng - Vậy - Xét hai tập Đặt không giao nhau, tập Khi có số cách chọn Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức , với phần tử, tập tập có phần tử , nên số nguyên dương Hướng dẫn Cách (Sử công thức khai triển tường minh tổ hợp) Cách (Sử dụng đẳng thức Pa – xcan, trước sử dụng khai triển tường minh) Tính tổng tổ hợp dựa vào khai triển Nhị thức Niu – tơn 2.1 – Kiến thức chuẩn bị Sử dụng khai triển Nhị thức Niu – tơn để tính tổng tổ hợp cần lưu ý số điểm sau: 2.1.1 Chọn hợp lí khai triển: cho ta đẳng thức tổ hợp 1.1.2 Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát tổng) để đưa tổng cần tính dạng khai triển nhị thức Niu – tơn Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Ứng dụng đạo hàm khai triển: Với số tốn tính tổng mà số hạng khơng có dạng mà có xuất thêm hệ số tự nhiên (khơng phải lũy thừa) ta phải sử dụng đạo hàm kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn Việc sử dụng đạo hàm (cấp cấp 2) khai triển nhị thức Niutơn hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng tổng cần tính Trong đặc biệt ý đến hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) hệ số tổ hợp tương ứng Thông thường ta áp dụng khai triển Với số hạng có lũy thừa hệ số tự nhiên ứng với , tức sau đạo hàm cấp ta tương ứng với hệ số tổ hợp ta phải tạo lũy thừa Nếu hệ số tự nhiên tương cách nhân hai vế với trước đạo hàm Ngoài ra, hệ số tự nhiên tích hai số ta áp dụng đạo hàm cấp hai – Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính Phân tích: Các số hạng tổng có dạng với Vì vậy, ta xét Ví dụ 2: Tính Phân tích: Các số hạng tổng có dạng với Vì vậy, ta xét với Vì vậy, ta xét khai triển với Đáp số: khai triển với Đáp số: Ví dụ 3: Tính Phân tích: Các số hạng tổng khai triển với có dạng Đáp số: Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Ví dụ 4: Tính Phân tích: Các số hạng tổng xét khai triển với có dạng với Vì vậy, ta Đáp số: Ví dụ 5: Tính Phân tích: Các số hạng tổng ta xét khai triển với có dạng với Vì vậy, Đáp số: Nhận xét: Qua ví dụ thấy - Hệ số đứng trước tổ hợp lũy thừa hai số viết dạng tăng giảm số mũ - Chỉ số số tự nhiên liên tiếp tăng dần - Chỉ số tổ hợp định số mũ khai triển nhị thức - Nếu số đơn vị (nghĩa chứa số số lẻ chẵn) xét thêm tổng (chỉ chứa chẵn lẻ) để tổng đủ khai triển Niu – tơn Vì vậy, cần hướng dẫn học sinh lựa chọn hợp lí cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn giải toán đưa toán tương tự IV Bài tập tự luyện Bài tập Tính tổng Bài tập Tính tổng HD: Sử dụng đồng thời đạo hàm phương pháp đồng hệ số Bài tập Tính tổng Bài tập Tính tổng Bài tập (ĐHKA.2005) Tìm số nguyên dương cho Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp ( số tổ hợp chập phần tử) HD: Xét Bài tập Cho khai triển Tính tổng Hướng dẫn Từ khai triển cho ta Cộng vế hai đẳng thức chia hai vế cho ta Bài tập Xét khai triển: Tính Hướng dẫn Ta có Suy Bài tập (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014) Tính tổng Bài tập Tìm số ngun dương thỏa mãn Bài tập 10 Tính tổng với Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Bài tập 11 Tính tổng Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 10 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp V THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi hiệu số hệ thống câu hỏi tập xây dựng nhằm bồi dưỡng lực tự học cho học sinh Nội dung thực nghiệm Dạy thử nghiệm số hệ thống câu hỏi tập xây dựng theo hướng phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng quát hóa … từ bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh 11 Tổ chức thực nghiệm Thiết kế phiếu học tập cho tiết dạy minh họa: Phiếu học tập số 1) Viết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ? ……………………………………………………………………………………… 2) Em chọn hợp lí cơng thức khai triển để tính tổng sau: a) b) c) d) Tìm tịi, mở rộng (Phiếu học tập số 1) GV: Yêu cầu học sinh nhận xét hệ số đứng trước tổ hợp số hạng tổng cần tính? HS: Hệ số lũy thừa với số mũ tự nhiên tăng dần giảm dần GV: Bằng cách chọn khai triển Em đưa toán dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 11 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp GV: Yêu cầu học sinh nhận xét số tổ hợp tổng từ ? HS: Chỉ số số tự nhiên liên tiếp tăng dần GV: Với cách chọn hợp lí khai triển, em tính tổng sau không? Phiếu học tập số Cho a) Với cách chọn tương tự Phiếu học tập số 1, em tính khơng? b) Sử dụng đạo hàm khai triển Niu-tơn để tính tổng c) Một học sinh nhận xét số hạng tổng quát tổng ta sử dụng cơng thức có dạng (1) với với để tính Theo em nhận xét có khơng? Nếu em chứng minh cơng thức (1) vận dụng để tính d) Em sử dụng công thức với để tính tổng Tìm tịi, mở rộng (Phiếu học tập số 2) GV: Tương tự, yêu cầu học sinh chứng minh đẳng thức sau: GV: Em có nhận xét mối quan hệ hệ số số tổ hợp tổng ? HS: Hệ số số tổ hợp tổng ? GV: Qua cách tính tổng nhờ sử dụng đạo hàm, em đưa ví dụ tổng tương tự HS: Tính mà có hệ số số tổ hợp đơn vị? , ta chọn Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn cụ thể 12 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp GV: Sử dụng đạo hàm cấp hai khai triển nhị thức tính tổng GV: Sử dụng đạo hàm cấp khai triển nhị thức GV: Nhấn mạnh cách sử dụng công thức , tính tổng (1) với + Ta thấy sau sử dụng cơng thức (1) số hạng tổng có hệ số đứng trước tổ hợp số khơng đổi, tốn đưa dạng tính tổng tổ hợp Phiếu học tập số + Áp dụng liên tiếp hai lần cơng thức ta có Từ tính tổng + Sử dụng linh hoạt cơng thức , tính tổng + Sử dụng linh hoạt công thức , chứng minh đẳng thức GV: Qua cách giải ta thấy, điểm mạnh cách giải theo đạo hàm giúp ta sáng tạo tốn Tìm tòi, mở rộng: Hướng dẫn HS tiếp tục phát triển toán theo hướng Phiếu học tập số Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 11 tai trường THPT Mai Anh Tuấn Số lượng học sinh lớp 42 Lớp thực nghiệm 11C, 11M Trình độ nhận thức hai lớp đánh giá tương đương Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nơng thơn Tiến trình tổ chức thực nghiệm: Tác giả trực tiếp giảng dạy hệ thống tập lớp lớp 11C, 11M Đánh giá thực nghiệm Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 13 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp a) Kiểm tra Sau hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết thực nghiệm tác giả tiến hành cho học sinh hai lớp 11C, 11M (được đánh giá tương đương nhau) làm kiểm tra 45 phút Nội dung đề kiểm tra sau: Bài kiểm tra Thời gian làm bài: 15 phút Bài Bài Tính tổng với a € R b) Đánh giá kết thực nghiệm Về thái độ học tập học sinh Học sinh hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng lực tự học, học sinh người chủ động lĩnh hội kiến thức Học sinh hút vào hoạt động cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức Đa số em nắm vững kiến thức có ý thức hồn thành hoạt động cơng việc mà giáo viên giao cho Về kết kiểm tra Điểm/Lớp Đối chứng 11C Thực nghiệm 11M Yếu TB Khá Giỏi 21,3% 53,2% 14,9% 10,6% 6,4% 38,3% 34% 21,3% Phân tích kết kiểm tra Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, có 25,5% đạt khá, giỏi Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, 55,3% đạt khá, giỏi Nhận xét Lớp đối chứng: Khả tiếp cận tốn có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải cịn nhiều thiếu xót Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 14 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Lớp thực nghiệm: Khả vận dụng linh hoạt hơn, có sáng tạo Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ Bên cạnh đó, hai lớp có học sinh dừng lại việc bắt chước số tập mẫu, chưa hiểu rõ chất vấn đề làm ý a) tập VI KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau đây: Sáng kiến trình bày việc hưỡng dẫn học sinh giải tốn tính tổng tổ hợp Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập giúp học sinh hiểu rõ chất, phương pháp giải tốn tính tổng tổ hợp Từ đó, học sinh tự xây dựng tốn tương tự, tốn Chính điều kích thích say mê, tìm tịi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Sáng kiến kết tinh kinh nghiệm kiểm chứng qua hoạt động giảng dạy lớp ôn bồi dưỡng HSG nhiều năm đạt kết đáng khích lệ Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh ơn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, bạn đồng nghiệp Trên báo cáo sáng kiến tơi đúc rút q trình học tập cơng tác trường thpt Mai Anh Tuấn, chắn có nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý vị bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thanh hóa, ngày 22 tháng 05 năm 2018 Xác nhận hiệu trưởng Tôi xin cam đoan SKKN viết, trường THPT Mai Anh Tuấn khơng chéo nội dung người khác Người viết SKKN Lê Thị Liên Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 15 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số toán tính tổng tổ hợp TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chun tốn Giải tích 11, NXBGD [2] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên tốn Bài tập Giải tích 11, NXBGD [3] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Đại số Giải tích 11_Nâng cao, NXBGD [4] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Bài tập Đại số Giải tích 11_Nâng cao, NXBGD [5] Trần Thị Vân Anh, Phân dạng phương pháp giải toán Đại số Giải tích 11, NXBĐHQGHN [6] Hồ Sĩ Vinh, Những toán chọn lọc Tổ hợp – Xác suất, NXBĐHQGHN [7] Nguyễn Quang Sơn, Cẩm nang luyện thị đại học tổ hợp – xác suất, NXBĐHQGHN [8] Ngô Văn Thái (Thái Bình), Nhị thức Niu – tơn với tốn bất đẳng thức, Tạp san THTT [9] Nguyễn Anh Dũng (Hà Nội), Một số dạng tốn sử dụng cơng thức tổ hợp nhị thức Niu - tơn, Tạp san THTT [10] Tài liệu mạng Internet qua vài trang web sau http://mathforum.org/dr.math/ www.mathlinks.ro/ http://diendantoanhoc.net/ www.toanthpt.net/  www.mathvn.com/ http://mathworld.wolfram.com/  http://violet.vn/ Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 16 ... skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Bài tập 11 Tính tổng Giáo viên: Lê Thị Liên – Trường THPT Mai Anh Tuấn – Năm 2018 skkn 10 Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số. .. 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức , với Hướng dẫn Cách (Sử công thức khai triển tường minh tổ hợp) Cách Sử dụng tính chất tổ hợp. .. Tuấn – Năm 2018 skkn Hướng dấn học sinh lớp 11 giải mốt số tốn tính tổng tổ hợp Ứng dụng đạo hàm khai triển: Với số tốn tính tổng mà số hạng khơng có dạng mà có xuất thêm hệ số tự nhiên (không