GIÁO TRÌNH TĨNH HỌC VÀ ĐỘNG HỌC
Học viện kỹ thuật quân sự Bộ môn cơ học vật rắn khoa cơ khí Đỗ Anh Cờng ( Chủ biên ) Vũ Quốc Trụ Lê Nho Thiết Tạ Hữu Vinh Lê Hải Châu Bài tập Cơ học lý thuyết Tập 1 Tĩnh học và động học Đối tợng sử dụng : Đại học và Cao đẳng Hà Nội - 2005 3 Mục lục Lời nói đầu 5 Chơng 1 : Bài toán phẳng 7 1.1- Cơ sở lý thuyết 7 1.2- Hớng dẫn áp dụng 14 1.3- Bài giải mẫu 16 1.4- Bài tập 29 Chơng 2 : Bài toán không gian 45 2.1- Cơ sở lý thuyết 45 2.2- Hớng dẫn áp dụng 50 2.3- Bài giải mẫu 51 2.4- Bài tập 61 Chơng 3 : Bài toán ma sát 69 3.1- Cơ sở lý thuyết 69 3.2- Hớng dẫn áp dụng 73 3.3- Bài giải mẫu 75 3.4- Bài tập 84 Chơng 4 : Bài toán trọng tâm 91 4.1- Cơ sở lý thuyết 91 4.2- Hớng dẫn áp dụng - bài toán giải mẫu 94 4.3- Bài tập 100 Chơng 5 : Chuyển động của điểm 104 5.1- Cơ sở lý thuyết 104 5.2- Phơng pháp giải 105 5.3- Bài giải mẫu 106 5.4- Bài tập 116 Chơng 6 : Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định 127 6.1- Cơ sở lý thuyết 127 4 6.2- Phơng pháp giải 130 6.3- Bài giải mẫu 131 6.4- Bài tập 137 Chơng 7 : Hợp chuyển động của điểm 143 7.1- Cơ sở lý thuyết 143 7.2- Phơng pháp giải 144 7.3- Bài giải mẫu 146 7.4- Bài tập 160 Chơng 8 : Chuyển động song phẳng của vật rắn 173 8.1- Cơ sở lý thuyết 173 8.2- Phơng pháp giải 178 8.3- Bài giải mẫu 181 8.4- Bài tập 195 Chơng 9 : Chuyển động của vật rắn quanh một điểm cố định 208 9.1- Cơ sở lý thuyết 108 9.2- Phơng pháp giải 212 9.3- Bài giải mẫu 213 9.4- Bài tập 219 Chơng 10 : Hợp chuyển động của vật rắn 224 10.1- Cơ sở lý thuyết 224 10.2- Phơng pháp giải 227 10.3- Bài giải mẫu 228 10.4- Bài tập 235 Tài liệu tham khảo 241 5 Lời nói đầu Cơ học lý thuyết là khoa học về các quy luật cân bằng và chuyển động của các vật thể dới tác dụng của lực, là một trong những môn học trọng điểm cho sinh viên các trờng Đại học kỹ thuật. Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ học lý thuyết là yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp họ hiểu sâu thêm về lý thuyết, đồng thời nâng cao khả năng t duy và rèn luyện kỹ năng trong học tập. Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết đợc biên soạn theo chơng trình giảng dạy môn Cơ học lý thuyết cho sinh viên của hầu hết các ngành đuợc đào tạo tại Học viện kỹ thuật quân sự, nó cũng phù hợp với chơng trình môn học của Bộ Giáo dục & đào tạo. Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết đợc phân thành hai tập. Tập 1 gồm 2 phần: Tĩnh học (từ chơng 1 đến chơng 4) và Động học (từ chơng 5 đến chơng 10). Trong mỗi chơng đều có phần tóm tắt lý thuyết, phân loại bài tập và phơng pháp giải, các ví dụ mẫu và phần bài tập. Cuối mỗi bài tập có trả lời hoặc đáp số để sinh viên tham khảo và tự kiểm tra lời giải của mình. Cần lu ý trong phần trả lời, đối với các đại lợng véctơ (lực, vận tốc, gia tốc ), kết quả đợc cho ở dạng trị đại số. Giáo trình Bài tập Cơ học lý thuyết Tập 1 do Nhóm môn học Cơ học lý thuyết thuộc Bộ môn Cơ học vật rắn Khoa Cơ khí Học viện Kỹ thuật quân sự biên soạn : Vũ Quốc Trụ, Tạ Hữu Vinh (phần Tĩnh học), Lê Nho Thiết, Lê Hải Châu (phần Động học), Đỗ Anh Cờng chủ biên. 6 Trong sách chắc chắn còn có thiếu sót, chúng tôi mong nhận đợc ý kiến của bạn đọc, xin trân trọng cảm ơn và tiếp thu để bổ sung, sửa chữa cho giáo trình đợc tốt hơn. Các nhận xét, góp ý xin gửi về : Bộ môn Cơ học vật rắn, Khoa Cơ khí, Học viện KTQS. Các tác giả 7 Chơng 1. Bài toán phẳng 1.1. Cơ sở lý thuyết 1.1.1. Thu gọn hệ lực phẳng: Hệ lực phẳng khi thu gọn về một tâm ( O ), nhận đợc một véc tơ chính R' r và một mô men chính O M r , véc tơ mô men chính luôn vuông góc với mặt phẳng tác dụng của lực, xảy ra các trờng hợp sau: O R' 0;M 0= rr , Hệ lực tơng đơng với một lực k k RF= rr . O R' 0;M 0= rr , Hệ lực tơng đơng với một ngẫu () OOk k MmF= rr r . O R' 0;M 0 rr , Hệ lực tơng đơng với một lực k k RF= rr với tâm thu gọn đặt tại điểm O cách O một đoạn O M d R' = r r . Chú ý: Véc tơ chính là một bất biến, nó có giá trị và phơng chiều không thay đổi và không phụ thuộc vào tâm thu gọn. 1.1.2. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng: Từ các kết quả thu gọn hệ lực nêu trên, ta có định lí về điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng nh sau: Định lí (về điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng): Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và mômen chính của hệ lực đối với điểm O nào đó triệt tiêu. () nn kOOk k1 k1 R' F 0; M m F 0 == == = = rr r . (1.1) Từ định lí trên có thể suy ra rằng, hệ lực phẳng có ba hệ phơng trình cân bằng viết theo ba dạng sau: Dạng 1 : () nnn kx ky O k k1 k1 k1 F 0; F 0; m F 0; === == = r Ox Oy ; (1.2) 8 Dạng 2 : () () nn n kAk Bk k1 k1 k1 F0;mF0;mF0; == = == = rr (1.3) Điều kiện: Đờng nối AB không vuông góc với . Dạng 3 : () () () nnn Ak Bk Ck k1 k1 k1 m F 0; m F 0; m F 0; === === rrr (1.4) Điều kiện: Các điểm A, B, C không thẳng hàng. Trờng hợp các hệ lực đặc biệt: - Hệ đồng quy: có hai phơng trình cân bằng: nn kx ky k1 k1 F0;F0; == = = (1.5) Đối với hệ lực đồng quy, chúng ta còn sử dụng điều kiện cân bằng dới dạng hình học: Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực tự khép kín. - Hệ lực song song (giả thiết với trục y): có hai hệ phơng trình cân bằng: () nn ky O k k1 k1 F0;mF0; == = = r (1.6) hoặc: () () nn Ak Bk k1 k1 m F 0; m F 0; == = = rr (1.7) Điều kiện: Đờng nối AB không song song với trục y Chú ý: Đối với hệ vật, có hai loại điều kiện cân bằng: Điều kiện cân bằng của từng vật tách riêng. Điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn (xem toàn hệ nh một vật rắn duy nhất) hay còn gọi là điều kiện cân bằng của các ngoại lực (vì khi hoá rắn, hệ các nội lực xem nh cân bằng). Những điều kiện cân bằng của toàn hệ hoá rắn là hệ quả của các điều kiện cân bằng của từng vật. Chúng ta cũng có thể xét riêng một phần hệ, hoá rắn và lập các điều kiện cân bằng tơng ứng. 9 Nh thế đối với hệ vật, khả năng lập các điều kiện cân bằng là rất rộng rãi, vấn đề đặt ra là lập điều kiện cân bằng thích hợp để có thể giải quyết bài toán đặt ra một cách thuận lợi nhất. Hệ quả: Hệ ba lực phẳng cân bằng, không song song là hệ đồng quy phẳng; Hệ n lực cân bằng, trong đó có (n-1) lực song song là hệ lực song song (lực thứ n song song với n-1 lực đầu); Hai lực cân bằng với một ngẫu lực phải tạo thành một ngẫu lực ngợc chiều quay và cùng trị số mômen. Kết quả thu gọn hệ lực phẳng đợc tổng kết trong bảng 1.1. Bảng 1.1 Hệ lực Kết quả thu gọn hệ lực Điều kiện cân bằng Phơng trình cân bằng Bất kỳ () ( ) 12 n F ,F , ,F R,M rr r r n j j1 RR' F = == rr r () n OOk k1 MM mF = == r k OO RF0 Mm0 == = = rr O X0 Y0 m0 = = = Đồng quy ( ) ( ) 12 n F ,F , ,F R rr r r n k k1 RR' F = == rr r k RF0 = = rr X0 Y0 = = Ngẫu () ( ) 12 n F ,F , ,F M rr r () n OOk k1 MM mF = == r Ok MM0 = = k M0= 10 Song song () ( ) 12 n F ,F , ,F R,M rr r r k OO RF0 Mm0 == = = O Y0 m0 = = 1.1.3. Các phép biến đổi và xác định lực a. Lực hoạt động và phản lực liên kết: 1. Lực hoạt động : là lực có quy luật xác định, hoặc tập trung, hoặc phân bố. Lực phân bố xác định bởi biểu đồ và cờng độ phân bố và thờng đợc thu gọn. Với hệ lực song song cùng chiều phân bố đều hoặc theo tam giác, kết quả thu gọn trên hình 1.1(a), (b). Trờng hợp phân bố theo hình thang, có thể quy về phân bố đều và tam giác. Kết quả thu gọn hệ lực song song cùng chiều phân bố tổng quát trên chiều dài ta đợc lực thu gọn song song cùng chiều với hệ phân bố, đặt tại trọng tâm và có cờng độ bằng số đo diện tích S (theo đơn vị thích hợp) của biểu đồ phân bố. (a) (b) Hình 1.1 2. Phản lực liên kết : Phản lực liên kết từ vật gây liên kết (vật có gạch chéo) đặt vào vật khảo sát (vẽ trắng) đợc biểu diễn dới dạng lực và ngẫu lực tập trung. Khi gặp các liên kết phức tạp, chúng ta phải phân tích cấu tạo của liên kết, trạng thái chịu lực của vật rắn, điều kiện làm việc của liên kết, các di chuyển bị liên kết cản trở để quy về các liên kết đơn giản đã giới thiệu ở trên nhờ quy tắc sau: Tơng ứng một di chuyển ( thẳng, quay) bị cản trở, liên kết tạo đợc một phản lực (lực, ngẫu lực) ngợc chiều di chuyển. q G Q=ql l/2 l/2 l/2 q G l/2 Q= q l/2 11 Bảng 1.2 nêu đặc điểm của các liên kết và các phản lực liên kết thờng gặp. Bảng 1.2 Liên kết Cấu tạo và cách biểu diễn Đặc điểm phản lực 1 2 3 Tựa trơn Thẳng góc với mặt tựa, hớng vào vật khảo sát, kí hiệu: N Dây Nằm dọc theo dây, hớng ra ngoài vật khảo sát, kí hiệu: T Thanh Nằm dọc theo thanh (đờng nối hai đầu thanh), kí hiệu: S . Bản lề, gối cố định Phản lực R đặt tại bản lề, đợc chia thành hai thành phần X, Y theo hai trục x, y. Ngàm Phản lực gồm: hai thành phần lực X, Y và một ngẫu lực M. N 2 N 1 T 2 T 1 T BA S A S B S x R Y X y A X M A Y