421-Article Text-1822-1-10-20221018.Pdf

THIẾT KẾ VI MÔ TƠ TỊNH TIẾN KIỂU TĨNH ĐIỆN DỰA TRÊN CÔNG NGHỆ VI CƠ ĐIỆN TỬ MEMS Journal of Science and Technique – ISSN 1859 0209 24 NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT BIẾN DẠNG CỦA VỎ TRỤ FGM TRÊN CƠ SỞ[.]

Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209 NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG CỦA VỎ TRỤ FGM TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC CAO KIỂU QUASI-3D Trần Ngọc Đoàn1,*, Vũ Quốc Trụ1, Trần Văn Hùng1 1Đại học Kỹ thuật Lê Q Đơn Tóm tắt Bài báo trình bày sở lý thuyết tính toán vỏ trụ FGM sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D, chuyển vị mặt phân tích thành đa thức bậc 3, chuyển vị ngang - đa thức bậc theo chiều dày vỏ Quy luật phân bố thể tích thành phần vật liệu vỏ hàm lũy thừa theo chiều dày Mơ hình tốn học tốn chương trình tính tốn kiểm chứng thông qua so sánh với kết cơng bố Sử dụng chương trình tính tốn xây dựng, tác giả thực nghiên cứu ảnh hưởng số tham số: Chiều dày vỏ, hệ số phân bố vật liệu lên trạng thái ứng suất - biến dạng vỏ chịu tác dụng áp lực Từ khóa: Vỏ trụ; vật liệu FGM; trạng thái ứng suất-biến dạng; lý thuyết biến dạng trượt bậc cao; ứng suất pháp ngang Đặt vấn đề Mặc dù sử dụng rộng rãi ngành kỹ thuật, vật liệu composite lớp thơng thường có nhược điểm tập trung ứng suất bề mặt phân chia lớp vật liệu Điều dẫn đến phá hủy kết cấu hình thức tách lớp, đứt gãy phân tách vật liệu [1] Do đó, vật liệu có tính biến thiên (Functionally graded materials - FGM) tạo để khắc phục nhược điểm FGM vật liệu composite tiên tiến làm từ hai nhiều pha cấu thành với thay đổi liên tục, trơn tru tính chất vật liệu từ bề mặt sang bề mặt khác, loại bỏ tập trung ứng suất vật liệu composite lớp thông thường Khái niệm FGM nhà khoa học vật liệu Nhật Bản đưa vào năm 1984 [2] Với đặc tính vượt trội, vật liệu FGM ứng dụng rộng rãi, ngành hàng không vũ trụ, điện hạt nhân, y học… Hiện nay, tính tốn kết cấu làm từ vật liệu FGM nhiều nhà khoa học nước quốc tế quan tâm nghiên cứu Các mơ hình tính tốn sử dụng phân tích tấm, vỏ làm từ vật liệu FGM xây dựng như: Lý thuyết cổ điển (classical plate theory - CPT), biết tới với tên gọi lý thuyết Kirchoff [3], lý thuyết biến dạng trượt bậc (first-order shear deformation theory - FSDT) phát triển Mindlin [4], lý thuyết biến dạng trược bậc ba (third-order shear deformation theory - TSDT) Reddy [5], lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (higher* Email: ngocdoanmai@gmail.com 24 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật – ISSN 1859-0209 order shear deformation theories - HSDT), lý thuyết đàn hồi ba chiều Trong đó, lý thuyết biến dạng trượt bậc cao nhà nghiên cứu sử dụng tính phức tạp cồng kềnh mơ hình tính tốn Do đó, việc tiếp tục nghiên cứu phát triển, xây dựng mơ hình tính tốn theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D cho kết cấu vỏ FGM cần thiết có tính khoa học Cơ sở lý thuyết Xét vỏ trụ FGM có độ dày 2h với tham số hình học trình bày hình Giả thiết vỏ trụ FGM chịu tác dụng tải trọng hướng kính q( , ) bề mặt ngồi,   x / R Hình Các tham số hình học vỏ trụ, hệ trục tọa độ tải trọng Biến thiên tham số vật liệu theo chiều dày xác định công thức: P( z )  Pc  ( Pm  Pc )Vm (1) đó, số m, c biểu thị cho kim loại gốm Quy luật phân bố tỉ lệ thể tích theo  1 z  chiều dày vỏ FGM nghiên cứu quy luật lũy thừa: Vm      2h  Vc   Vm , phía gốm, phía ngồi kim loại,  - hệ số lũy thừa Chuyển vị vỏ trụ phân tích dạng tổng sau [6, 7]: u  , , z   u0  ,   u1  ,  z  u2  ,  z / 2! u3  ,  z / 3!, v  , , z   v0  ,   v1  ,  z  v2  ,  z / 2! v3  ,  z / 3!, (2) w  , , z   w0  ,   w1  ,  z  w2  ,  z / 2! đó: u0 , v0 , w0 tương ứng chuyển vị thẳng mặt trung bình; u1 , v1 , w1 - góc xoay pháp tuyến mặt trung bình; u2 , v2 , w2 - chuyển vị thẳng bậc cao; u3 , v3 - thành phần chuyển vị góc bậc cao Việc phân tích trường chuyển vị dạng tổng (2) cho phép nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng vỏ trụ có tính đến ảnh hưởng biến dạng trượt bậc cao ứng suất pháp ngang 25 Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209 Biến dạng vỏ trụ FGM xác định theo công thức sau [1]:   z  u   u  u   v    w  ,         ,   ,   R    R  z   R  z    R      w   u   w  v v w   , z         ,  z  R     z  R  z    z R  z z (3) Ứng suất vỏ xác định từ định luật Hooke [1]:    A11   A12  A13 z ,    A21   A22  A23 z ,    A44  ,  z  A31   A32  A33 z ,   z  A55  z ,   z  A66  z (4) đó, Aij (i  1, 2,3, j  1, 2,3), A44 , A55 , A66 số đàn hồi quy đổi vật liệu làm vỏ xác định sau [8]: A11  A22  A33  E ( z ) 1   ( z )  1   ( z )1  2 ( z) A12  A21  A13  A31  A23  A32  , A44  A55  A66  E( z) , 1   ( z )  E ( z) ( z) 1   ( z )1  2 ( z) Áp dụng nguyên lý biến phân Lagrange, ta có [1]:                            R( R  z)d d dz     q( , )  w( , , h)  R( R  z )  d d  z z z z z z (5) Thay (2), (3) (4) vào (5), thực phép biến đổi đơn giản, ta nhận hệ phương trình cân sau: N N N   Q  0,     Q Q M  M    N   R  h  q  0,   RQ  0,     M  M  S S   Q  0,   M   RQz   R  h  hq       N* N N*  0, N* N *   S R  0,    RS  Q*      Q* M * M * Q* h2 *   N  RS z   R  h  q  0,   RQ*  0,     M *  26  M *  RQ*  S*   (6) Tạp chí Khoa học Kỹ thuật – ISSN 1859-0209 Trong hệ phương trình (6), ta sử dụng kí hiệu lực suy rộng sau:  N , N , Q , Qz   h      ,  ,  ,  1  R  dz , z z z h M  , M  , S , S z   h      ,  ,  ,  1  R  zdz , z z z h  N* , N* , Q*   h h  zz  zz * *  ,  ,   dz , M , M   ,   h     z   R      h      R  3! dz ,  N , N , Q   h h h h    ,  ,  z  dz,  M , M , S      ,  ,   zdz, z h h  N , N , Q      ,  , z  z2 dz ,  M* , M* , S*      ,  ,  z  z3! dz h h * * * Hệ phương trình cân (6) viết lại dạng chuyển vị:  m  un  2un  m  2vn w m m K u  K  K  K  K3mn,1 n  0,     1n n 1n ,11 1n ,22 n ,12 2     n 0  n 0  n 0  3 K n 0 i 1n ,12  K1jn,1 n 0  i  un  2vn  2vn  i wn i i    K n  K n,11  K n ,22  0,    K3n ,2  n 0     n 0  (7) un  j  wn  wn  j vn j    K3n wn  K3jn,11  K   K 2n ,2  K 43j q, 3n ,22 2   n 0     n 0  m  1, 2, 3, 4; i  5, 6, 7, 8; j  , 10, 11 đó, hệ số K phụ thuộc vào thơng số vật liệu hình học vỏ trụ FGM Do tính chất cồng kềnh biểu thức xác định hệ số K , nên khn khổ báo khơng trình bày biểu thức xác định hệ số Các điều kiện biên số trường hợp hay gặp thực tế tính tốn cho dạng sau: - Đối với điều kiện biên ngàm chặt, ta có: Tại   0, L / R : ui  0, vi  0, wj  0,  i  0,1, 2,3; j  0,1, 2 Tại   1 ,2 : ui  0, vi  0, w j  0,  i  0,1, 2,3; j  0,1,  - Đối với điều kiện biên tự do, ta có: Tại   0, L / R : N  N  Q  M   M   S  0, * * N*  N  Q*  M *  M   27 Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209 Tại   1 ,2 : N  N  Q  M  M  S  0, N*  N*  Q*  M*  M*  - Đối với điều kiện biên gối tựa, ta có: Tại   0, L / R : N  M   N*  M *  0, vi  0, w j  0,  i  0,1, 2,3, j  0,1,  Tại   1 ,2 : N  M  N*  M*  0, vi  0, w j  0,  i  0,1, 2,3, j  0,1,  Việc giải hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng (7) điều kiện biên tương ứng phân tích theo chuỗi lượng giác đơn kết hợp với phép biến đổi Laplace trình bày chi tiết [7, 9] Sau xác định chuyển vị ui , vi  i  0, 1, 2, 3 , w j  j  0, 1, 2 , từ phương trình hình học (3) ta tìm biến dạng   ,   ,  z ,   ,   z   z Tiếp theo, sử dụng ba biểu thức   ,     (4) để xác định ứng suất màng   ,   ,   Các thành phần ứng suất lại tìm dựa phương trình cân lý thuyết đàn hồi không gian:  z z  z           R  z h  R      dz ,   z     z      z  1  R    1  R    dz, h   z   z    z   z z        dz 1     R  z  h  R     R  ( R  z )2 z Tính tốn số thảo luận 3.1 Tính tốn kiểm chứng Trong mục này, để làm ví dụ phân tích kiểm chứng, ta sử dụng thơng số đầu vào theo [8], cụ thể sau: Bán kính R  0,1905 (m), chiều dài L  0,381 (m), chiều dày vỏ trụ 2h  0,000501 (m); vỏ chịu tác dụng áp lực phân bố bên ngồi q0  103 (Pa); thơng số vật liệu nhiệt độ 300K sau: Mặt vỏ gốm (ZrO2) với c  0,2980, Ec  168, 06 GPa  , cịn mặt ngồi thép khơng gỉ (SUS304) với m  0,3178, Em  207,79 GPa  Dưới tác dụng tải trọng đối xứng trục nêu trên, thành phần trường chuyển vị trạng thái ứng suất - biến dạng hàm số  Ngoài ra, thành phần chuyển vị theo hướng vòng cung vk đồng 28 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật – ISSN 1859-0209 Trong trường hợp vỏ đồng chất, vật liệu vỏ thép (SUS304) gốm (ZrO2), kết tính tốn độ võng   L / 2R vỏ trụ kín ngàm hai đầu trình bày bảng Kết tính tốn so sánh với [8] - sử dụng mơ hình phần tử hữu hạn bán giải tích (semi-analytical finite element model) [10] - lý thuyết Donnell Phân tích kết nhận cho thấy, tính tốn theo mơ hình quasi-3D gần trùng khớp với mơ hình phần tử hữu hạn bán giải tích sử dụng 120 phần tử Trong bảng trình bày kết tính tốn tốn độ võng   L / 2R vỏ trụ FGM theo lý thuyết quasi-3D, mơ hình phần tử hữu hạn bán giải tích [8], lý thuyết Donnell [10] với giá trị  khác Phân tích kết cho thấy giá trị độ võng vỏ FGM vị trí theo lý thuyết quasi-3D mơ hình phần tử hữu hạn bán giải tích trùng khớp với so với lý thuyết Donnell có sai lệch nhỏ, khẳng định tính xác mơ hình tốn học phương pháp nghiên cứu sử dụng báo Bảng Độ võng w  m  vỏ trụ đồng chất Vật liệu Donnell [8], 90 Elements [8], 120 Elements Quasi-3D SUS304 -3,134.10-7 -3,150.10-7 -3,149.10-7 -3,149.10-7 ZrO2 -3,927.10-7 -3,946.10-7 -3,944.10-7 -3,944.10-7 Bảng Độ võng w  m  vỏ trụ FGM  Donnell 10 -3,839.10-7 [8], 90 Elements [8], 120 Elements Quasi-3D -3,859.10-7 -3,857.10-7 -3.856.10-7 -3,769.10-7 -3,789.10-7 -3,787.10-7 -3.786.10-7 -3,488.10-7 -3,506.10-7 -3,504.10-7 -3.504.10-7 0,25 -3,267.10-7 -3,284.10-7 -3,282.10-7 -3.282.10-7 0,125 -3,207.10-7 -3,223.10-7 -3,221.10-7 -3.221.10-7 Đồ thị biến thiên độ võng ứng suất pháp vỏ theo chiều dài trường hợp   trình bày hình 2, Đồ thị biến thiên ứng suất pháp 11 ,  22 ,  33 ứng suất cắt  13 theo chiều dày vỏ biên vỏ trình bày hình 4, 29 Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209 Hình Độ võng w  m  vỏ theo chiều dài Hình Phân bố ứng suất 11 , 22 , 33 theo chiều dài vỏ Hình Phân bố ứng suất Hình Phân bố ứng suất 11 ,  22 ,  33 , 13 biên ngàm (   ) 11 ,  22 ,  33 , 13 vỏ (   L / 2R ) Phân tích kết nhận đồ thị, ta thấy vị trí biên ngàm giá trị ứng suất pháp ngang  33 (bị bỏ qua hầu hết lý thuyết tấm, vỏ) có giá trị xấp xỉ 44,6% so với ứng suất pháp cực đại Tại vị trí vỏ (xa biên) ứng suất pháp ngang  33 ứng suất cắt  13 nhỏ so với ứng suất khác Điều hoàn toàn phù hợp với giả thuyết sử dụng lý thuyết tấm, vỏ cổ điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc [1] 30 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật – ISSN 1859-0209 3.2 Khảo sát ảnh hưởng chiều dày vỏ Để tiện so sánh, ta chọn trường hợp sở trường hợp tính tốn ứng với tham số mục 3.1   Thực thay đổi chiều dày vỏ, cho độ dày tương đối vỏ 2h / R nhận giá trị 1/ 380 (trường hợp sở), 1/ 200 , 1/100 , 1/ 50 1/ 20 Kết tính tốn ứng suất pháp độ võng vỏ trụ FGM biên ngàm vị trí vỏ trình bày bảng Phân tích kết tính tốn cho thấy, chiều dày vỏ có ảnh hưởng lớn đến phân bố ứng suất Tại vỏ, ứng suất pháp 11 ,  22 tăng gần tỉ lệ nghịch với tăng độ dày vỏ Tại vùng biên, ứng suất pháp ngang  33 có giá trị vào khoảng 42,0 ÷ 44,6% so với ứng suất pháp cực đại Ở vỏ, ứng suất pháp ngang  33 nhỏ so với ứng suất khác vỏ mỏng; chiều dày vỏ tăng lên, tỉ lệ  33 /  22 tăng lên tới giá trị 4,5% trường hợp 2h / R  1/ 20 Bảng Giá trị ứng suất pháp độ võng vỏ trụ FGM với độ dày khác Tại vị trí vỏ   L / 2R Tại biên ngàm 2h R  11 / q0  22 / q0  33 / q0  11 / q0  22 / q0  33 / q0 w 108  m  1/20 -49,21 -20,89 -20,66 -6,05 -22,15 -1 -1,87 1/50 -120,29 -51,06 -51,81 -16,34 -55,66 -1 -4,64 1/100 -237,30 -100,73 -103,77 -33,29 -111,29 -1 -9,25 1/200 -469,55 -199,32 -207,70 -67,66 -222,59 -1 -18,45 1/380 -885,98 -376,09 -395,06 -130,13 -423,20 -1 -35,04 3.3 Khảo sát ảnh hưởng hệ số phân bố vật liệu Về ta giữ nguyên tham số hình học vỏ, tải trọng mục 3.1, khác độ dày tương đối vỏ 2h / R  1/ 38 , thực thay đổi hệ số phân bố vật liệu  khoảng từ 0,02 đến 50 Kết tính tốn ứng suất pháp độ võng vỏ trụ FGM biên ngàm vị trí vỏ trình bày bảng Phân tích ứng suất độ võng vỏ vị trí ta thấy,  tăng (pha kim loại giảm, pha gốm tăng) ứng suất độ võng tăng theo, độ chênh lệch giá trị chúng tương ứng với min max xấp xỉ khoảng 20% Tại vùng biên, ứng suất đạt giá trị lớn trường hợp vật liệu phân bố theo hàm lũy thừa với số mũ lớn trường hợp giá trị ứng suất pháp ngang xấp xỉ khoảng 40 ÷ 46% so với ứng suất pháp cực đại 31 Journal of Science and Technique – ISSN 1859-0209 Bảng Giá trị ứng suất pháp độ võng vỏ trụ FGM với hệ số  khác  Tại vị trí vỏ   L / 2R Tại biên ngàm  11 / q0  22 / q0  33 / q0  11 / q0  22 / q0  33 / q0 w 108  m  0,02 -100,05 -46,08 -42,84 -11,12 -38,17 -1 -3,19 0,1 -93,67 -41,72 -42,13 -11,26 -38,71 -1 -3,24 0,2 -89,92 -39,11 -41,45 -11,42 -39,31 -1 -3,28 -92,05 -39,08 -39,37 -12,34 -42,32 -1 -3,54 -97,53 -41,40 -39,15 -13,87 -46,22 -1 -3,82 10 -98,52 -41,82 -39,21 -14,38 -47,32 -1 -3,89 50 -99,51 -42,24 -39,06 -14,97 -48,47 -1 -3,96 Kết luận Trên sở nghiên cứu lý thuyết mơ số, rút số kết luận chủ yếu sau: - Bài báo trình bày sở lý thuyết phân tích số tính tốn vỏ trụ FGM dựa lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D Độ tin cậy phương pháp nghiên cứu chương trình tính tốn khẳng định thông qua so sánh với kết nghiên cứu cơng bố tạp chí quốc tế uy tín - Tại vị trí biên, ứng suất pháp ngang nhận cơng trình có giá trị tương đối lớn, xấp xỉ khoảng 40 ÷ 46% so với ứng suất pháp cực đại Vì vậy, để đánh giá độ bền kết cấu với độ xác cao vùng biên ngàm (hoặc vùng có thay đổi đột ngột tham số kết cấu) cần sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D - Chiều dày vỏ có ảnh hưởng lớn đến phân bố ứng suất Khi nghiên cứu vỏ có độ dày trung bình vỏ dày, cần sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao kiểu quasi-3D Tài liệu tham khảo Reddy J.N (2004) Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis CRC Press Koizumi M (1997) FGM activities in Japan Composites Part B: Engineering, 28 (1), 1-4 Kirchhoff V.G (1850) Uber das gleichgewicht und die bewegung einer elastischen scheibe Journal Fur Die Reine und Angewandte Mathematik, 40, 51-88 32 Tạp chí Khoa học Kỹ thuật – ISSN 1859-0209 Mindlin R.D (1951) Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates Journal of Applied Mechanics, 18 (1), 31-38 Reddy J.N (1984) A simple higher-order theory for laminated composite plates Journal of Applied Mechanics, 51, 745-752 Firsanov V.V., Doan T.N (2014) Natural Oscillations of General Shells Based on Nonclassical Theory Journal of Machinery Manufacture and Reliability, 43(5), 349-357 Firsanov V.V., Doan T.N (2015) Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal, 6(2), 135-166 Santos H., Cristóvão M Mota Soares, Carlos A Mota Soares, Reddy J.N (2009) A semianalytical finite element model for the analysis of cylindrical shells made of functionally graded materials Composite Structures, 9, 427-432 Фирсанов В.В., Чан Нгок Доан, Данг Нгок Тхань (2011) Операционный метод исследования напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек на основе энергетически согласованной теории Вестник МАИ, 18(2), 186-199 10 Ng T.Y., Lam K.Y., Liew K.M., Reddy J.N (2001) Dynamic stability analysis of functionally graded cylindrical shells under periodic axial loading International Journal of Solids and Structures, 38, 1295-1309 INVESTIGATING THE STRESS-STRAIN STATE OF FGM CYLINDRICAL SHELLS BASED ON THE QUASI-3D HIGHER-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY Abstract: This paper presents the theoretical basic to study FGM cylindrical shells by using the quasi-3D higher-order shear deformation theory The displacement field accounts for a cubic variation of the inplane displacements and a quadratic variation of the transverse displacement through the thickness The material volume distribution of the shell is given in a form of a power function of thickness The mathematical model and the computational program are validated through a comparison with previous results Based on the mathematical model and the computational program, the paper presents the effect of several parameters, including the thickness and the coefficient of material distribution on the stress-strain state of a shell subjected to external load Keywords: Cylindrical shell; FGM material; stress-strain state; higher-order shear deformation theory; normal transverse stress Ngày nhận bài: 11/01/2019; Ngày nhận sửa lần cuối: 15/8/2019; Ngày duyệt đăng: 28/8/2019  33