Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương 1 TẬP HỢP PHÂN TÍCH ĐƯỢC 2 1 1 Các tính chất cơ bản 2 1 2 Tập phân tích được trong ( ),pL T R 12 1 3 Một kết quả tách được 18 Chương 2 HÀM CHỌN[.]
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương TẬP HỢP PHÂN TÍCH ĐƯỢC 1.1 Các tính chất 1.2.Tập phân tích Lp (T , R ) 12 1.3 Một kết tách 18 Chương HÀM CHỌN 20 2.1 Một số khái niệm kết 20 2.2 Hàm chọn liên tục 23 2.3 Hàm chọn loại Caratheodory 37 Chương TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG 38 Chương GIẢI TÍCH TRÊN CÁC TẬP PHÂN TÍCH ĐƯỢC 40 4.1.Các khái niệm kết sử dụng 40 4.2.Bao đóng yếu tập phân tích 41 4.3 Ánh xạ phân tích 47 4.4 Phiếm hàm phân tích 49 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 MỞ ĐẦU Tập lồi không gian vectơ mở rộng tự nhiên đa giác mặt phẳng đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực quan trọng Tốn học Đại số tuyến tính, Giải tích hàm, Giải tích đa trị, Lý thuyết tối ưu, Việc nghiên cứu đối tượng có liên quan đến tính chất lồi nhà toán học quan tâm nghiên cứu nhiều chục năm qua thu kết sâu sắc, từ hình thành hướng nghiên cứu riêng gọi Giải tích lồi Do nhu cầu phát triển nội toán học để đáp ứng nhu cầu phải mô tả tượng mơ hình phát sinh Khoa học-kỹ thuật mà nhiều lớp tập hợp với tính chất lồi giảm nhẹ tính chất tựa lồi, giả lồi quan tâm nghiên cứu Đặc biệt tính chất “ phân tích được” tập hợp T.R.Rockafellar đưa năm 1968 mở rộng sâu sắc tính chất lồi Từ năm 1970 đến nay, ánh xạ đa trị với giá trị tập phân tích nhận nhiều quan tâm nghiên cứu đưa đến kết sâu sắc với nhiều ứng dụng vào bao hàm thức vi phân, Lý thuyết tích phân Tuy nhiên, cịn nhiều vấn đề liên quan đến Giải tích lớp tập phân tích chờ nghiên cứu Trong phạm vi luận văn tơi tìm hiểu vấn đề sau Chương Tập hợp phân tích Chương nêu khái niệm tập phân tích tính chất Chương Hàm chọn Chương nêu tồn lát cắt đơn trị (hàm chọn) ánh xạ đa trị với giá trị tập phân tích được, xét lát cắt liên tục có tính chất Caratheodory Chương Tính chất điểm bất động Chương nêu tồn điểm bất động ánh xạ đa trị có giá trị phân tích Chương Giải tích tập phân tích Chương nêu số tính chất tơ pơ tập phân tích được, phiếm hàm ánh xạ phân tích Chương TẬP HỢP PHÂN TÍCH ĐƯỢC 1.1 Các tính chất Giả sử X không gian Banach, cho X* không gian khả ly (T , L, µ ) khơng gian độ đo, T khơng gian mê tríc khả ly đầy đủ, với σ − đại số L tập đo Lebesgue, µ độ đo xác suất hữu hạn, µ (T ) = M (T , X ) không gian hàm đo từ T đến X Giả sử P : T → N ( X ) ánh xạ đa trị, ( N ( X ) tập tập khác rỗng X) Kí hiệu K P = {u ∈ M (T , X ) : u ( t ) ∈ P ( t ) h.k.n T } KP = {u ∈ LP (T , X ) : u ( t ) ∈ P ( t ) h.k n T } Định nghĩa 1.1.1 Tập K ⊂ M (T , X ) K ⊂ Lp (T , X ) thỏa mãn χ A u + (1 − χ A ).v∈ K , ∀u, v ∈ K , ∀A ∈ L gọi tập phân tích Kí hiệu: dec0 (T , X ) : họ tập phân tích khác rỗng M (T , X ) dcl0 (T , X ) : họ tập phân tích đóng M (T , X ) dec p (T , X ) : họ tập phân tích khác rỗng Lp (T , X ) dcl p (T , X ) : họ tập phân tích đóng Lp (T , X ) Nếu p=1 ta viết dec (T , X ) , dcl (T , X ) Mệnh đề 1.1.1 i) Cho { Kα }α∈Λ ⊂ dec p (T , X ) {Kα }α ii) ∈Λ Kα ∈ dec (T , X ) Tương tự cho α ∈Λ p ⊂ dcl p (T , X ) Cho { K n }n∈N ⊂ dec p (T , X ) dãy tăng Khi ∞ K n =1 n ∈ dec p (T , X ) iii) Cho K ∈ dec p (T , X ) Khi clK ∈ dcl p (T , X ) iv) Cho K ∈ dec p (T , X ) , ∀u ∈ Lp (T , X ) ⇒ K − u ∈ dec p (T , X ) Tương tự K ∈ dcl p (T , X ) , ∀u ∈ Lp (T , X ) ⇒ K − u ∈ dcl p (T , X ) Chứng minh i) Lấy u , v ∈ Kα , A ∈ L ∀α ∈ L : χ Au + (1 − χ A )v∈ Kα α ∈L ⇒ χ Au + (1 − χ A )v ∈ Kα α ∈Λ Tương tự cho { Kα }α∈Λ ⊂ dcl p (T , X ) ⇒ Kα tập đóng ( giao tùy ý α ∈Λ tập đóng tập đóng) Lấy u , v ∈ Kα , A ∈ L ∀α ∈ L : χ Au + (1 − χ A )v∈ Kα α ∈L ⇒ χ Au + (1 − χ A )v ∈ Kα α ∈Λ Nên Kα tập đóng phân tích hay α Kα ∈ dcl α ∈Λ ∈Λ p (T , X ) ∞ ii) Lấy u , v ∈ K n , A ∈ L Do { K n }n∈N dãy tăng nên tồn n đủ lớn cho n =1 ∞ u , v ∈ K n ⇒ χ Au + (1 − χ A )v∈ K n ⊂ K n n =1 iii) clK bao đóng tập K nên tập đóng Lấy u , v ∈ clK , A ∈ L tồn dãy un ∈ K , ∈ K cho un → u , → v Do K tập phân tích nên χ Aun + (1 − χ A )vn ∈ K ∀n ta có χ Aun + (1 − χ A )vn → χ Au + (1 − χ A )v , χ Aun + (1 − χ A )vn ∈ K nên suy cc u + (1 − A )v ∈ clK A iv) Lấy v − u , w − u ∈ K − u , A ∈ L v, w ∈ K ⇒ χ Av + (1 − χ A )w ∈ K nên ta có χ A (v - u ) + (1 - χ A )(w-u)=χ Av + (1 - χ A )w-u ∈ K - u ⇒ K − u ∈ dec p (T , X ) Tương tự cho K ∈ dcl p (T , X ) : K − u tập đóng K đóng {-u} tập compact kết hợp chứng minh iv) K − u ∈ dec p (T , X ) ta kết luận K − u ∈ dcl p (T , X ) Do M (T , X ) , Lp (T , X ) phân tích được, nên họ tập phân tích chứa K ∈ dec p (T , X ) khác rỗng Và từ mệnh đề 1.1.1 ta thấy giao tùy ý tập phân tích phân tích được, nên K ⊂ Lp (T , X ) ln tồn tập phân tích nhỏ tập đóng phân tích nhỏ chứa K (chính giao tất tập phân tích chứa K giao tất tập đóng phân tích chứa K) Ta gọi chúng bao tập phân tích bao đóng tập phân tích kí hiệu dec p ( K ) , dcl p ( K ) Chú ý : K ⊂ dec p ( K ) ⊂ dcl p ( K ) Mệnh đề 1.1.2 Cho u , v ∈ Lp Khi dec p {u , v= } dcl p {u, v=} u + (1 − {cc A A )v : A ∈ L} Chứng minh K= {χ u + (1 − χ A )v : A ∈ L} tập đóng chứa u,v Thật vậy,lấy A= X ∈ L ,khi A χ X u + (1 − χ X )v ∈ K hay u ∈ K ,lấy A = ∅ ∈ L χ ∅u + (1 − χ ∅ )v ∈ K hay v∈K Nếu u = v K đóng Giả sử u ≠ v , ta biết tập A đo đồng với χ A L1 (T ) Lấy χ A u + (1 − χ A )v → w với n n {A } ⊂ L n Ta chứng minh w∈K Đặt k= χ A u + (1 − χ A )v n χ A = n n k −v k −v w −v và= Khi tồn A ∈ L χA → u−v u−v u−v w −v = χA u−v n Suy χ A → χ A w= χ Au + (1 − χ A ) v ∈ K Vậy K tập đóng n Nên ta có dec p {u , v} ⊂ dcl p {u , v} ⊂ K Do tính chất hàm đặc trưng, ta có χ A A B rời χ A∩ B =χ A χ B , χ A∪ B =χ A + χ B − χ A χ B , χT \ A =− χ A∪= χ A + χ B Từ ta có nhận xét ∀A, B, C ∈ L : B χ C ( χ A u + (1 − χ A ) v ) + (1 − χ C ) ( χ B u + (1 − χ B ) v ) = = (χ (χ C χ A + (1 − χ C ) χ B ) u + ( χ C − χ A χ C + − χ B − χ C + χ C χ B ) v C χ A + (1 − χ C ) χ B ) u + (1 − χ A χ C − (1 − χ C ) χ B ) v = χ D u + (1 − χ D ) v Với D = [ A ∩ C ] ∪ B ∩ (T \ C ) Nên suy K tập phân tích chứa u,v Lấy E tập phân tích chứa u,v Ta có : ∀ ( χ A u + (1 − χ A ) v ) ∈ K ⇒ ( χ A u + (1 − χ A ) v ) ∈ E Nên K ⊂ E hay K tập phân tích nhỏ chứa u, v : K = dec p {u , v} suy ra: = = K dec u , v} dcl p {u , v} p{ Mệnh đề 1.1.3 Cho K ∈ dec p (T , X ) ,1 ≤ p < ∞ : a)= Nếu ∀{uk }k = ⊂ K , ∀{ Ak }k ∈ T rời n n n ∑χ k =1 Ak uk ∈ K b) Nếu K ⊂ Lp (T , X ) p-khả tích bị chặn ∀{uk }k = ⊂ K , ∀{ Ak }k ∈ T rời = ∞ ∞ ∞ ∑c k =1 Ak uk ∈ dcl p ( K ) Chứng minh a) Ta chứng minh quy nạp Do mệnh đề 1.1.1 ta giả sử ∈ K ( ∉ K ta lấy u ∈ K xét K − u ∈ dec p (T , X ) ∈ K − u ∈ dec p (T , X ) ) ( ) Với n=2: u1 , u2 ∈ K , A1 , A2 ∈ L, A1 ∩ A2 = ∅ χ A u1 + − χ A 0= χ A u1 ∈ K 1 suy χ A u2 + (1 − χ A ) χ A u=1 χ A u1 + χ A u2 ∈ K 2 1 tùy ý {uk }k = Giả sử với n ≥ a) thỏa Lấy= ⊂ K , { Ak }k ∈ T rời Ta kí n +1 n +1 hiệu , i 1, n − B= An ∪ An +1 = Bi A= i n Rõ ràng { Bk }k =1 tập rời T Do theo giả thiết quy nạp : n = w n ∑χ k =1 Bk uk ∈ K n −1 n n Nhưng w =∑ χ B uk =∑ χ A uk + χ A ∪ A un =∑ χ A uk + χ A un Suy k k = k 1= k (1 − χ ) w = χ An+1 Do n n +1 = k n T \ An+1 w = ∑ χ A uk k =1 k (1 − χ A ∑ χ A uk = ∑ χ A uk + χ A un+1 = n +1 n k = k 1= k n +1 k n +1 k n +1 )w + χ An+1 un +1 ∈ K a) với n+1 Vậy a) với n b)Tập K ⊂ Lp (T , X ) p-khả tích bị chặn tồn a ∈ Lp (T , R ) cho ∀u ∈ K : | u (t ) |≤ a (t ) h.k n T Giả sử K ⊂ Lp (T , X ) p-khả tích bị chặn ϕ ∈ Lp (T , X ) Do mệnh đề 1.1.1 ta giả sử 0∈ K (nếu ∉ K ta lấy u ∈ K xét K − u ∈ dec p (T , X ) ∈ K − u ∈ dec p (T , X ) Khi K − u p-khả tích bị chặn).Cố định {uk }k =1 ⊂ K họ { Ak }k =1 rời ∞ ∞ T Ta cần chứng minh ∑c k =1 ∞ ∑= ∫ | ϕ (t ) | µ (dt ) p k = n +1 Ak Ak uk ∈ dcl p ( K ) Lấy tùy ý ε > , lấy n đủ lớn để ∫ | ϕ (t ) | µ (dt ) < ε p ∞ k = n +1 ∞ Ak p (lấy n định lý Vitaly-Hahn-Saks) Khi lim m →∞ n { A }= ∞ k k = n +1 n n ∑ χ A uk = Mà vn= ∑χ k = k 1= k Ak uk + χ A ∈ K k +1 ∞ ∑χ p ∞ ∑ ∞ u ∑ χ= ∫ ∑χ u = −v Ak k n k= p ≤ p ∞ p (t ).u (t ) µ (dt ) Ak k Ak k k= n +1 n +1 p T k= p ∫ | χ A (t ) || u (t ) | µ (dt ) = k k= n +1 T ∞ ∑ p ∫ | u (t ) | µ (dt ) ≤ k= n +1 Ak ∞ ∑ ∫ | ϕ (t ) | µ (dt ) < ε p p k= n +1 Ak Do ∞ d p ∑ χ A uk , K < ε k =1 k Do ε > tùy ý , ta kết luận ∞ ∑c k =1 Ak uk ∈ dcl p ( K ) Mệnh đề 1.1.4 Cho B cầu đơn vị Lp (T , X ) ,1 ≤ p < +∞ Khi dec p ( B) = Lp (T , X ) Chứng minh Lấy u ∈ Lp (T , X ) Ta chứng minh u ∈ dec p ( B ) Cố định n ∈ N cho u p p ≤ n Đặt { Ar }r∈I đoạn theo độ đo thực m ( A ) = ∫ | u (t ) | p m (dt ) Nghĩa { Ar }r∈I A dãy tăng thuộc T, A1 ⊂ A2 ⊂ với A0 = ∅, A1 = T ∀r ∈ I : m ( Ar ) =r.m (T ) Với k=1, n, kí hiệu: Bk = Ak \ Ak −1 Rõ ràng { Bk }k =1 dãy tập rời T với n n n m ( Bk ) = m ( Ak / n \ A( k −1)/ n ) = m ( Ak / n ) − m ( A( k −1)/ n ) ( Ak / n ⊃ A( k −1)/ n ) 1 k k −1 m (T ) =m (T ) =∫ | u (t ) | p m (dt ) ≤ =m (T ) − n n n nT Nhưng ánh xạ= uk χ B u ∈ B Do k | χ (t ) | | u (t ) | m ( dt ) ∫ | χ ∫= p = χB u p p p Bk k T Bk (t ) || u (t ) | p m ( dt ) T ( dt ) ∫ | u (t ) | m= = m ( Bk ) ≤ p Bk Ta có ∑ χ B ( χ B u=) n u χ + + χ u u ∑ χ B= ( B ∑ χ B= B n ∑ χ B u=k k k k 1= k = n k k = ( = u ( χ B ∪= u χA ∪ B ) n n k k = ) k n ) = u= ( χT ) u ( χ A ) u= 1/ n ∪ ∪ An / n \ A( n −1)/ n Vì uk ∈ B nên uk ∈ dec p ( B ) , theo mệnh đề 1.1.3 ta có n ∑c k =1 Bk uk ∈ dec p ( B ) Suy u ∈ dec p ( B ) Mệnh đề 1.1.5 K ∈ dec p (T , X ) tập compact Lp (T , X ) Khi K rút gọn điểm Chứng minh Do mệnh đề 1.1.1, ta giả sử ∈ K Giả sử ngược lại, có điểm u ≠ K Do tìm ε > đủ nhỏ để tập {t : | u (t ) |≥ ε } = B có độ đo dương Lưu ý ∈ K nên u χ B ∈ K Và : A ∈ L= } {u : A ∈ L=} dcl {u ,0} ⊂ clK {u ccc = K0 A A∩ B |B p B compact Lp (T , X ) Ta có χ A ∆A =χ A \ A + χ A \ A =χ A (1 − χ A ) + χ A (1 − χ A ) =χ A − χ A χ A + χ A 2 =( χ A − χ A ) 2 2 1 2 =χ A − χ A Nên với A1 , A2 ∈ L|B ta có uχ A − uχ A p p = =∫ ( χ A − χ A T ∫ A1∆A2 ) ( t ) u ( t ) µ ( dt ) =∫ ( χ ) ( t ) u ( t ) µ ( dt ) u ( t ) µ ( dt ) ≥ ε p p p p A1∆A2 T ∫ µ ( dt =) ε µ ( A ∆A =) ε p A1∆A2 p A1 − A2 Hay A1 − A2 ≤ εp uχ A − uχ A p p Và ánh xạ u χ A → A định nghĩa hợp lý liên tục từ K đến L|B Nhưng điều nghĩa L|B tập compact, điều trái với điều ta biết tập = U {u χ A : A ∈ L} với ≠ u ∈ Lp (T ) không compact Lp (T ) , nên tập L|B = { χ A∩ B : A ∈ L} = { χ A χ B : A ∈ L} , u = χ B ∈ L1 (T ) không compact L1 (T ) Định lý 1.1.1 Tập đóng K ⊂ L1 (T , X ) phân tích tồn ánh xạ đo P :T → cl ( X ) K = K P Chứng minh ⇐ KP = {u ∈ L1 (T , X ) : u ( t ) ∈ P ( t ) h.k n T } Tính chất phân tích K P rõ ràng Ta cần chứng minh K tập đóng Điều dễ dàng kết luận từ khẳng định dãy hội tụ L1 (T , X ) chứa dãy hội tụ h.k.n Lấy {un } ⊂ K P un → u Ta chứng minh u ∈ K P tức chứng minh u ( t ) ∈ P ( t ) { } h.k.n T Do un → u L1 (T , X ) nên chứa dãy un hội tụ h.k.n k T u Do tồn tập B đo với µ ( B ) = cho un ( t ) → u ( t ) , ∀t ∈ T \ B k Do un ( t ) ∈ P ( t ) h.k n T, nên có tập C đo với µ ( C ) = cho k un ( t ) ∈ P ( t ) , ∀t ∈ T \ C k Như ∀t ∈ (T \ B ) ∩ (T \ C ): un ( t ) → u ( t ) , un ( t ) ∈ P ( t ) k Suy u ( t ) ∈ cl ( P (= t ) ) P ( t ) , ∀t ∈ T \ ( B ∪ C ) k ... rỗng Và từ mệnh đề 1.1.1 ta thấy giao tùy ý tập phân tích phân tích được, nên K ⊂ Lp (T , X ) tồn tập phân tích nhỏ tập đóng phân tích nhỏ chứa K (chính giao tất tập phân tích chứa K giao tất tập. .. xạ đa trị có giá trị phân tích Chương Giải tích tập phân tích Chương nêu số tính chất tơ pơ tập phân tích được, phiếm hàm ánh xạ phân tích 2 Chương TẬP HỢP PHÂN TÍCH ĐƯỢC 1.1 Các tính chất... sâu sắc với nhiều ứng dụng vào bao hàm thức vi phân, Lý thuyết tích phân Tuy nhiên, nhiều vấn đề liên quan đến Giải tích lớp tập phân tích chờ nghiên cứu Trong phạm vi luận văn tơi tìm hiểu vấn