DẠNG 3 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp chung Ở phần lý thuyết, với các hàm số lượng giác cơ bản, ta đã biết rằng 1 Hàm số sin y x * Đồng biến trên các khoảng 2[.]
DẠNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp chung: Ở phần lý thuyết, với hàm số lượng giác bản, ta biết rằng: Hàm số y sin x : * Đồng biến khoảng k2; k2 , k k 2 , k * Nghịch biến khoảng k2; 2 Hàm số y cos x : * Đồng biến khoảng k 2; k 2 , k * Nghịch biến khoảng k 2; k 2 , k Hàm số y tan x đồng biến khoảng k; k , k Hàm số y cot x nghịch biến khoảng k; k , k Với hàm số lượng giác phức tạp, để xét tính đơn điệu ta sử dụng định nghĩa II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Xét hàm số y sin x đoạn ; Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ; 2 B Hàm số cho đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng 2 ;0 C Hàm số cho nghịch biến khoảng ; đồng biến khoảng 2 ;0 D Hàm số nghịch biến khoảng ; 2 Lời giải Chọn A Cách 1: Từ lý thuyết hàm số lượng giác ta có hàm số y sin x nghịch biến khoảng đồng biến khoảng 2 ;0 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Do đề bài, phương án A, B, C, D xuất hai khoảng 2 ; nên ta dùng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn Máy f X ta nhập sinX START? Nhập END? Nhập STEP? Nhập 10 Lúc từ bảng giá trị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến khoảng 2 đồng biến khoảng ; Ví dụ Xét hàm số y cos x đoạn ; Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng 0; B Hàm số đồng biến khoảng nghịch biến khoảng 0; C Hàm số nghịch biến khoảng đồng biến khoảng 0; D Hàm số đồng biến khoảng 0; Lời giải Chọn B Theo lý thuyết ta có hàm số y cos x đồng biến khoảng k2; k2 , k Từ ta có với k hàm số y cos x đồng biến khoảng nghịch biến khoảng 0; Tiếp theo ta đến với hàm số y tan nx; n , Ta có ví dụ k2; k2 , k nghịch biến khoảng Ví dụ Xét biến thiên hàm số y tan x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận đúng? A Hàm số cho đồng biến khoảng ; 4 4 2 B Hàm số cho đồng biến khoảng nghịch biến khoảng ; 4 2 4 C Hàm số cho đồng biến khoảng 0; 2 D Hàm số cho nghịch biến khoảng đồng biến khoảng ; 4 2 4 Lời giải Chọn A \ k |k 4 Hàm số y tan x tuần hồn với chu kì , dựa vào phương án A; B; C; D ta xét tính đơn điệu hàm số 0; \ 4 Dựa theo kết khảo sát biến thiên hàm số y tan x phần lý thuyết ta có Tập xác định hàm số cho D thể suy với hàm số y tan x đồng biến khoảng ; 4 4 2 STUDY TIP Ở ta khơng chọn C hàm số không liên tục 0; , hàm số bị gián đoạn 2 (tức hàm số không xác định x ) 4 Ví dụ Xét biến thiên hàm số y sin x chu kì tuần hồn Trong kết luận sau, kết luận sai? A Hàm số cho nghịch biến khoảng ; x B Hàm số cho nghịch biến khoảng 0; 2 C Hàm số cho đồng biến khoảng ; 2 D Hàm số cho nghịch biến khoảng 2 Lời giải Chọn D Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 kết hợp với phương án đề ta 3 xét biến thiên hàm số ; 2 Ta có hàm số y sin x : * Đồng biến khoảng ; 2 * Nghịch biến khoảng ; 2 Từ suy hàm số y sin x : * Nghịch biến khoảng ; 2 * Đồng biến khoảng ; Từ ta chọn D 2 Dưới đồ thị hàm số y sin x hàm số y sin x Ví dụ Xét biến thiên hàm số y sin x cos x Trong kết luận sau, kết luận đúng? 3 A Hàm số cho đồng biến khoảng ; 4 3 B Hàm số cho đồng biến khoảng ; 4 C Hàm số cho có tập giá trị 1; 1 D Hàm số cho nghịch biến khoảng ; 4 Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có y sin x cos x sin x 4 Từ ta loại đáp án C, tập giá trị hàm số 2; Hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ 2 ta xét biến thiên hàm số đoạn ; Ta có: * Hàm số đồng biến khoảng ; 4 * Hàm số nghịch biến khoảng ; Từ ta chọn A 4 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự ví dụ 1, ta sử dụng máy tính cầm tay chức MODE 7: TABLE để giải toán Ấn Máy f X ta nhập sinX cosX Chọn STAR; TEND; STEP phù hợp ta có kết hình dưới: Từ bảng giá trị hàm số f x ta thấy x chạy từ 0, 785 đến 2,3561 3 giá trị hàm số tăng dần, tức hàm số đồng biến khoảng ; 4 7 5, 49778 giá trị hàm số giảm Phân tích thêm: Khi x chạy từ đến 4 dần, tức hàm số nghịch biến khoảng ; 4 STUDY TIP 3 Ta ý có , 2 nên ta suy STEP phù hợp 4 4 Trong gán STEP Ví dụ Chọn câu đúng? A Hàm số y tan x luôn tăng B Hàm số y tan x luôn tăng khoảng xác định C Hàm số y tan x tăng khoảng k; 2 k 2 , k D Hàm số y tan x tăng khoảng k ; k 2 , k Lời giải Chọn B Với A ta thấy hàm số y tan x không xác định điểm x nên tồn điểm làm cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số tăng Với B ta thấy B hàm số y tan x đồng biến khoảng k k , k Từ loại C D Ví dụ Xét hai mệnh đề sau: 3 : Hàm số 2 (I) x ; y s inx giảm 3 giảm : Hàm số y cos x (II) x ; Mệnh đề hai mệnh đề là: A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả sai Lời giải Chọn B Cách 1: D Cả Như toán xét xem hàm số tăng hay giảm Ta lấy x1 x ; 3 2 Lúc ta có f x f x1 1 sinx1 sinx sinx sinx ` sinx1 sinx Ta thấy x1 x ; 3 sinx1 sinx sinx1 sinx 2 sinx1 sinx sinx1 sinx f x1 f x Vậy y hàm sinx1 sinx s inx tăng Tương tự ta có y hàm giảm Vậy I sai, II cos x Cách 2: Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm máy tính Với hàm ta nhập MODE 7: TABLE ( s inx MODE ) Nhập hàm f x hình bên: START? ; END? SIN ALPHA ) ) = 3 STEP? 10 hình bên Ta thấy giá trị hàm số tăng dần x chạy từ s inx 3 3 đến Nên ta kết luận ; hàm số y tăng s inx Tương tự với II kết luận Của hàm số y Ví dụ Khẳng định sau ? A y tan x đồng biến ; 2 2 B y tanx hàm số chẵn D R \ k | k Z C y tanx có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ 2 D y tanx nghịch biến ; Lời giải Chọn B Ta đồ thị hình vẽ Ta thấy hàm số y tanx nghịch biến ;0 2 đồng biến 0; Nên ta loại A D Với B ta có f x tan x tan x f x hàm số y tan x hàm số chẵn Với C ta thấy đồ thị hàm số cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ ta chọn B STUDY TIP Ta suy diễn đồ thị hàm hàm số y f x từ đồ thị hàm số y f x từ suy khoảng đơn điệu hàm số y f x - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x nằm phía trục Ox - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x phía trục Ox qua Ox - Hợp hai phần ta đồ thị hàm số y f x STUDY TIP Với tốn ta khơng suy diễn đồ thị mà làm theo hướng tư sau: - Với A: y tan x không xác định x nên đồng biến ; - Từ B suy C;D sai