Cac dang bai tap dien hinh lien he giua cung va day co loi giai

BÀI TẬP LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I Phương pháp giải Sử dụng hai định lý sau Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau b)[.]

Trang 1

BÀI TẬP LIấN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I Phương phỏp giải

Sử dụng hai định lý sau: Định lớ 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau : a) Hai cung bằng nhau căng hai dõy bằng nhau

b) Dõy lớn hơn căng cung lớn hơn Định lớ 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau a) Cung lớn hơn căng dõy lớn hơn

b) Dõy lớn hơn căng cung lớn hơn

II Bài tập

Bài 1: (10/71/SGK T2)

a) Vẽ đường trũn tõm O bỏn kớnh R 2cm Nờu cỏch vẽ cung AB cú số đo bằng 60 Hỏi dõy AB dài bao nhiờu cm

b) Làm thế nào để chia được đường trũn thành sỏu cung bằng nhau như hỡnh vẽ b

Giải

a) Cỏch vẽ cung AB cú số đo bằng 60

Trang 2

AOB

 (vỡ đường trũn tõm A cú bỏn kớnh AB 2cm nờn đi qua O) cú

đều60sđ60

OAABBO AOB AOB   AB (theo định lớ : số đo của cung nhỏ bằng số đo của gúc ở tõm chắn cung đú)

b) Cỏch chia đường trũn thành 6 cung bằng nhau

Vẽ đường trũn tõm O bỏn kớnh tựy ý Trờn đường trũn này lấy điểm A bất kỳ Vẽ đường trũn tõm A bỏn kớnh bằng OA cho cắt (O) tại B

Vẽ đường trũn tõm B bỏn kớnh OB cho cắt đường trũn (O) tại C Vẽ cỏc đường kớnh AD, BE, CF của đường trũn (O) ta được 6 cung AB BC CD DE EF FA

Bài 2: (11/72/SGK T2)

Cho hai đường trũn bằng nhau (O) và  O cắt nhau tại hai điểm A và B Kẻ cỏc đường kớnh AOC và AO D Gọi E là giao điểm thứ 2 của AC với đường trũn  O khỏc điểm O

a) So sỏnh cỏc cung nhỏ BC và BD

b) Chứng minh rằng B là điểm chớnh giữa cung EBD (tức là điểm B chia cung lớn ED thành hai cung bằng nhau BE BD

Giải

Trang 3

*Cỏch 1:

Muốn chứng minh BC BD ta phải chứng minh được BOC BO D

Muốn chứng minh được BOC BO D ta phải chứng minh được AOB AO B

Muốn chứng minh được AOB AO B ta vận dụng giả thiết: “Hai đường trũn (O) và  O bằng nhau” và “(O) cắt  O tại A và B” Từ đú ta cú: OAAOO BBO

(cỏc bỏn kớnh của hai đường trũn bằng nhau) Tứ giỏc AO BO' là hỡnh thoi (Theo dấu hiệu 1 : Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi)



AOB AO B (Hai gúc đối của một hỡnh thoi) mà

180 Hai góc kề bù180 Hai góc kề bùAOBBOCAO BBO D 

BOC BO C (Hai gúc kề bự với hai gúc bằng nhau) BC BD

(Theo định nghĩa: Số đo của cung nhỏ bằng số đo của gúc ở tõm chắn cung đú )

*Cỏch 2:

Muốn chứng minh được BC BD ta phải chứng minh dõy BC dõy BD Muốn chứng minh dõy BC bằng dõy BD phải chứng minh ABC ABD

ABC cú O là trung điểm của AC (tõm và đường kớnh của một đường trũn) BO

là trung tuyến ứng với cạnh AC

Lại cú 2

A C

OAOBOC (cỏc bỏn kớnh của một đường trũn) ABCvuụng tại B (Theo định lớ : Nếu một tam giỏc cú trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng)

Chứng minh tương tự cũng được ABD vuụng tại B

ABC và ABDvuụng tại B cú :





đường kính của hai đường trịn bằng nhaucạnh góc vng chung của hai tam giác vuông

ACADABAB ABCABD   (cạnh huyền - cạnh gúc vuụng)

BC BD(Hai cạnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau) Dõy BC bằng dõy BD của hai đường trũn bằng nhau BC BD(Theo định lớ 1: Với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau thỡ:

Trang 4

Muốn chứng minh được B là điểm chớnh giữa của cung EBD ta phải chứng minh được cung BE bằng cung BD

Muốn chứng minh được cung BE bằng cung BD ta phải chứng minh dõy BE bằng dõy BD

Muốn chứng minh BE BD BC ta chứng minh CED vuụng tại E Muốn chứng minh CEDvuụng tại E ta chứng minh AED vuụng tại E

Muốn chứng minh AED vuụng tại E ta vận dụng AD là đường kớnh  O và E nằm trờn  OAED cú O AO EO D (cựng là bỏn kớnh của  2AD

OO EO AO D AED vuụng tại E (Theo định lớ: Nếu một tam giỏc cú trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng)

CED

  vuụng tại E

CED

 cú BC BD(chứng minh trờn) EB là trung tuyến thuộc cạnh huyền CD nờn BC BE BD(Theo định lớ: Trong một tam giỏc vuụng, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) Vậy BD BE Mà BD và BE là hai dõy của đường trũn  O BE BD(Theo định lớ 1 : Với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau thỡ :

Hai dõy bằng nhau căng hai cung bằng nhau ) Vậy B là điểm chớnh giữa của cung EBD

Bài 4: (12/72/SGK T2)

Cho ABC Trờn tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD AC Vẽ đường trũn tõm O ngoại tiếp DBC Từ O lần lượt hạ cỏc đường vuụng gúc : OH, OK với BC và

 ; 

BD HBC KBD

a) Chứng minh rằng OH OK

b) So sỏnh hai cung nhỏ BD và BC

Trang 5

Chứng minh

a) Chứng minh OH OK

Muốn chứng minh OH OK ta phải chứng minh BC BD

Muốn chứng minh được bất đẳng thức BC BD ta phải sử dụng bất đẳng thức tam giỏc với ABC ta cú : BC AB AC mà AC AD(giả thiết) BC AB AD

Do đú BC BD

Với đường trũn (O) ngoại tiếp BCDcú dõy BD lớn hơn dõy BC

Theo định lớ về dõy cung và khoảng cỏch từ dõy đến tõm : Trong hai dõy của một đường trũn

*Dõy nào lớn hơn thỡ gần tõm hơn Do đú OK OH

b) Chứng minh BC BD

Theo cõu a) OK OH BD BC (Theo định lớ : Trong hai dõy của một đường trũn dõy nào gần tõm hơn thỡ lớn hơn) BDBC(Theo định lớ : Trong một đường trũn dõy nào lớn hơn thỡ căng cung lớn hơn)

Bài 5: (13/72/SGK T2)

Chứng minh rằng trong một đường trũn hai cung bị chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau

Giải

*Trường hợp tõm O của đường trũn

Trang 6

Muốn chứng minh được CE FD ta phải dựng phương phỏp trung gian Kẻ đường kớnh AB // CD // EF

Do EF // AB nờn FEO EOA (hai gúc so le trong)



EFOFOB (hai gúc so le trong)

EOF

 cú OE OF R nờn EOF cõn tại O FEO EFO(Theo định lớ : Tam giỏc cõn cú hai gúc ở đỏy bằng nhau)

Do đú EOA FOB AE BF (Theo định lớ: Số đo của cung nhỏ bằng số đo gúc ở tõm chắn cung nhỏ)

Do AE BF nờn ta cú AE AC BF BD CE DF

Vậy hai cung chắn giữa hai dõy song song thỡ bằng nhau

*Trường hợp tõm O của đường trũn nằm trong hai dõy song song cũng chứng minh tương tự

Bài 6: (14/72/SGK T2)

a) Chứng minh rằng đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung thỡ đi qua trung điểm của dõy căng cung ấy Mệnh đề đảo cú đỳng khụng ? Hóy nờu thờm điều kiện để mệnh đề đảo đỳng

b) Chứng minh rằng đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung thỡ vuụng gúc với dõy căng cung ấy và ngược lại

Giải

Trang 7

ta dựa vào giả thiết : "IA IB"

Từ IA IB IA IB (Theo định lớ: với hai cung nhỏ trong một đường trũn hay hai đường trũn bằng nhau : Hai cung bằng nhau căng hai dõy bằng nhau) I cỏch đều A và B Lại cú OA OB ( vỡ cũng là bỏn kớnh của đường trũn (O) mà I và O là hai điểm nằm ở hai phớa của đoạn thẳng AB I và O nằm trờn đường trung trực của đoạn thẳng AB H là trung điểm của dõy AB

b) Chứng minh mệnh đề đảo:

Muốn chứng minh IA IB

phải chứng minh được O1 O2

Muốn chứng minh được O1 O2

ta chứng minh AOB cõn tại O

AOB

 cú OA OB(cựng là bỏn kớnh một đường trũn)  AOBcõn tại O (Tam giỏc cú hai cạnh bằng nhau là tam giỏc cõn )  trung tuyến OH thuộc đỏy AB vừa là phõn giỏc của A OB vừa là đường cao ứng đỏy AC O1 O2

IA IB (Theo định lớ: Số đo của hai cung nhỏ bằng số đo của gúc ở tõm chắn cung đú)

Vậy cũng cú OHAB và HA HB (Tớnh chất của tam giỏc cõn) Ngược lại nếu đường kớnh OI AB thỡ O1 O2 IA IB

b) Chứng minh rằng đường kớnh đi qua điểm chớnh giữa của một cung thỡ vuụng gúc với dõy cung và ngược lại

Đường kớnh IH đi qua điểm I là điểm chớnh giữa của cung AB nờn 



IAIBAOIBOI hay O1 O2

AOB

 cú OA OB R nờn là tam giỏc cõn tại O Phõn giỏc OI là đường cao ứng với đỏy ABOI AB