Bất đẳng thức Muirhead và một số vấn đề liên quan ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI VIỆT LONG BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI VIỆT LONG BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI VIỆT LONG BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Mã số: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Mở đầu Chương Bất đẳng thức Muirhead 1.1 Bất đẳng thức Muirhead cho trường hợp hai ba số 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Định lý Muirhead hai ba số 1.1.3 Một số ví dụ 1.2 Bất đẳng thức Muirhead tổng quát 11 1.2.1 Định lý Muirhead trường hợp n biến 11 1.2.2 Bất đẳng thức Muirhead mở rộng 15 Chương Một số áp dụng bất đẳng thức Muirhead 23 2.1 Chứng minh số bất đẳng thức đại số hình học 23 2.1.1 Một số bất đẳng thức đại số 23 2.1.2 Một số bất đẳng thức hình học 36 2.2 Kết hợp với số bất đẳng thức khác 40 2.2.1 Một số bất đẳng thức liên quan 40 2.2.2 Ví dụ áp dụng 42 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức vấn đề nghiên cứu hình thành từ sớm tốn học sơ cấp thu hút quan tâm nhiều tác giả Đây phần kiến thức đẹp đẽ, thú vị toán sơ cấp Do vấn đề bất đẳng thức ln hút nhiều người nghiên cứu tốn sơ cấp có nhiều tập sử dụng để thi kỳ thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Đã có nhiều tác giả ngồi nước có nghiên cứu bất đẳng thức có nhiều chun đề hay, thể tính thời vấn đề nghiên cứu Được hình thành vào đầu kỷ XX, bất đẳng thức Muirhead xuất cơng trình nghiên cứu nhà tốn học R F Muirhead vào năm 1903 tổng quát hóa quan trọng bất đẳng thức AM − GM Nó cho đánh giá tổng Symmetric hai số có quan hệ ≺ Có thể nói, bất đẳng thức Muirhead cơng cụ mạnh việc giải số toán bất đẳng thức có độ phức tạp cao thể việc có nhiều tập thi học sinh giỏi, Olympic nước, khu vực, giới - mà việc giải cần dùng đến bất đẳng thức Muirhead Hơn nữa, bất đẳng thức Muirhead áp dụng với bất đẳng thức khác để xây dựng bất đẳng thức sâu sắc Mặc dầu có nhiều tác giả quan tâm đến bất đẳng thức Muirhead việc cải tiến bất đẳng thức chậm, kỷ sau (năm 2009) kể từ cơng trình R F Muirhead, hai tác giả J B Paris A Vencovská đưa cải tiến bất đẳng thức Sự lựa chọn đề tài Bất đẳng thức Muirhead số vấn đề liên quan nhằm giới thiệu lại cơng trình nghiên cứu R F Muirhead J B Paris A Vencovská đánh giá tổng Symmetric hai số thực khơng âm có quan hệ ≺ Ngồi luận văn giới thiệu số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Muirhead việc chứng minh tập bất đẳng thức sử dụng kỳ thi học sinh giỏi, Olympic nước, khu vực, giới Luận văn chia thành hai chương Chương nhằm giới thiệu kiến thức lý thuyết bất đẳng thức Muirhead mở rộng bất đẳng thức Trong Chương chúng tơi giới thiệu ví dụ toán sử dụng đến bất đẳng thức Muirhead áp dụng định lý Muirhead Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường Q Thầy Cơ giảng dạy lớp Thạc sĩ khóa (6/2014- 6/2016) trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Bùi Việt Long Chương Bất đẳng thức Muirhead 1.1 Bất đẳng thức Muirhead cho trường hợp hai ba số 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 ([6]) Cho n số thực không âm a = (a1 , a2 , , an ) số thực dương x = (x1 , x2 , , xn ) Ta định nghĩa i) Tổng Cyclic (Viết tắt: cyc) xa11 xa22 xann đại lượng X a a x11 x22 xann =xa11 xa22 xann + xa21 xa32 xa1n cyc n + · · · + xan1 xa12 xan−1 ii) Tổng Symmetric (Viết tắt: sym) xa11 xa22 xann đại lượng X a a X a an 2 n T (a) = T (x; a) = x1 x2 xn = xσ(1) xaσ(2) xaσ(n) , sym σ∈S(n) tổng sym lấy tất hoán vị (σ(1), σ(2), , σ(n)) (1, 2, , n), S(n) tập hợp tất hoán vị {1, 2, , n} iii) Trung bình Symmetric xa11 xa22 xann đại lượng [x; a] = T (x; a) n! Ta sử dụng kí hiệu ngắn gọn [a] thay cho kí hiệu [x; a], T (a) thay cho T (x; a) phần tử x xác định rõ 4 Ví dụ 1.1 ([2]) X ab2 c3 = ab2 c3 + bc2 a3 + ca2 b3 ; cyc X abc = 6abc sym Ví dụ 1.2 ([4]) Với a = (1, 3, 2) x = (x1 , x2 , x3 ) T (x; a) = x1 x32 x23 + x1 x33 x22 + x2 x31 x23 + x2 x33 x21 + x3 x31 x22 + x3 x32 x21 Và [x; a] = (x1 x32 x23 + x1 x22 x33 + x2 x31 x23 + x2 x33 x21 + x3 x31 x22 + x3 x32 x21 ) Ví dụ 1.3 ([6]) n (n − 1)! 1X [(1, 0, 0, , 0); (x1 , , xn )] = (x1 + x2 + + xn ) = xi n! n i=1 trung bình cộng số x1 , , xn √ 1 ( ; ; ); (x1 , , xn ) = n x1 x2 xn n n n trung bình nhân số x1 , , xn Mệnh đề 1.1 ([6]) Nếu x1 x2 xn = [a1 , a2 , , an ] = [(a1 − r), (a2 − r), , (an − r)] với r > cho − r > Nếu x1 x2 xn > [a1 , a2 , , an ] > [(a1 − r), (a2 − r), , (an − r)] với r > cho − r > Sử dụng bất đẳng thức AM – GM, với hai số thực không âm a b ta có [a] + [b] a+b > 2 Nhận xét 1.1 Cho số thực không âm a = (a1 , a2 , , an ) số thực dương x = (x1 , x2 , , xn ) Nếu b = (aσ(1) , aσ(2) , , aσ(n) ), (σ(1), σ(2), , σ(n)) hoán vị {1, 2, , n} ta ln có T (x; a) = T (x; b), [x; a] = [x; b] Tiếp theo ta giới thiệu số khái niệm so sánh n số Cho n số thực không âm a = (a1 , a2 , , an ) Dễ thấy ta ln xếp lại trật tự phần tử a để cho a1 > a2 > · · · > an Do luận văn này, khơng tính tổng qt ta ln giả thiết a1 > a2 > · · · > an nói đến n số (a) Ta xem xét khái niệm quan hệ ≺ hai n số thông qua định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 ([6]) Cho hai n số thực không âm a = (a1 , a2 , , an ) b = (b1 , b2 , , bn ) Ta nói b trội a, kí hiệu a ≺ b hay b a điều kiện sau thỏa mãn (sau xếp lại trật tự phần tử a, b cần thiết): 1) a1 > a2 > · · · > an ; b1 > b2 > · · · > bn ; 2) a1 + a2 + · · · + am b1 + b2 + · · · + bm với m : m n − 1; 3) a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn Ví dụ 1.4 ([4]) (2, 1, 0) ≺ (3, 0, 0); (0, 2, 1) ≺ (0, 0, 3), (4, 0, 0, 0) 6≺ (2, 0, 2) số phần tử hai khác nhau, (5, 0, −1) 6≺ (2, 2, 0) có phần tử âm bộ, (2, 1, 1, 1) 6≺ (1, 1, 1, 1)vì + + + 6= + + + 1, (4, 1, 1, 1) 6≺ (3, 3, 1, 0)vì + 6> + Ví dụ 1.5 ([6]) 1 1 , , , ≺ (1, 0, , 0) | {z } n n n | {z } n n 1.1.2 Định lý Muirhead hai ba số Định lý 1.2 (Định lý Muirhead hai số, [2]) Cho số thực dương a1 , a2 , b1 , b2 thỏa mãn: a1 > a2 ; b > b ; a1 > b1 ; a1 + a2 = b1 + b2 Cho x, y số thực dương, X X xb1 y b2 xa1 y a2 > sym sym Đẳng thức xảy : a1 = b1 , a2 = b2 x = y Định lý 1.3 (Định lý Muirhead cho ba số, [2]) Cho hai ba số thực dương a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 thỏa mãn: a1 > a2 > a3 ; b1 > b2 > b3 ; a1 > b1 ; a1 + a2 > b1 + b2 ; a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 Cho x, y, z số thực dương, X X xa1 y a2 z a3 > xb1 y b2 z b3 sym sym Đẳng thức xảy : = bi ; i = 1, 2, x = y = z Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần đến bổ đề sau: Bổ đề 1.4 ([1]) Cho số thực không âm a1 , a2 , b1 , b2 , thỏa mãn: a1 + a2 = b1 +b2 ; max {a1 ; a2 } > max {b1 ; b2 } Khi với số thực dương x, y , ta có: xa1 y a2 + xa2 y a1 > xb1 y b2 + xb2 y b1 Đẳng thức xảy a1 = b1 ; a2 = b2 x = y Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử a1 > a2 , a1 > b1 , b1 > b2 Do a1 + a2 = b1 + b2 nên ta có: xa1 y a2 + xa2 y a1 − xb1 y b2 − xb2 y b1 = xa2 y a2 (xa1 −a2 + y a1 −a2 − xb1 −a2 y b2 −a2 − xb2 −a2 y b1 −a2 ) = xa2 y a2 (xb1 −a2 + y b1 −a2 )(xb2 −a2 − y b2 −a2 ) = a a (xb1 + y b1 )(xb2 − y b2 ) > x 2y Bổ đề chứng minh Ta tiếp tục chứng minh định lý Ta xét hai trường hợp sau: i) Trường hợp Nếu b1 > a2 , điều kéo theo a1 > a1 + a2 − b1 từ a1 > b1 ta có a1 > max {a1 + a2 − b1 , b1 } Kéo theo max {a1 , a2 } = a1 > max {a1 + a2 − b1 , b1 } Từ a1 + a2 − b1 > b1 + a3 − b1 = a3 a1 + a2 − b1 > b2 > b3 ta có max{a1 + a2 − b1 , a3 } > max{b2 , b3 } Áp dụng Bổ đề 1.4 hai lần ta có: X X xa1 y a2 z a3 = z a3 (xa1 y a2 +xa2 y a1 ) sym cyc > X = X > X = X z a3 (xa1 +a2 −b1 y b1 +xb1 y a1 +a2 −b1 ) cyc xb1 (y a1 +a2 −b1 z a3 +y a3 z a1 +a2 −b1 ) cyc xb1 (y b2 z b3 +y b3 z b2 ) cyc sym xb1 y b2 z b3